I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Je veux commencer mon histoire en Allemagne, en 1877, avec un mathématicien nommé Georg Cantor. Cantor avait décidé de prendre une ligne, d'en effacer un tiers au milieu, de prendre les deux lignes restantes et de leur appliquer le même processus, un processus récursif. Il commence donc avec une ligne, et puis deux, et puis quatre, et ensuite 16, et ainsi de suite. Et s'il le fait un nombre infini de fois, ce que l'on peut faire en mathématiques, il obtient un nombre infini de lignes, chacune étant constituée d'un nombre infini de points. Il réalisa donc qu'il était face à un ensemble dont le nombre d'éléments était supérieur à l'infini. Et ça l'a sidéré à tel point qu'il fut admis en maison de repos. (Rires) Et quand il en sortit, il était convaincu qu'il avait été mis sur Terre pour fonder la théorie des ensembles transfinis, parce que le plus grand ensemble de l'infini serait Dieu lui-même. C'était un homme très religieux. C'était un mathématicien avec une mission.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Et d'autres mathématiciens faisaient la même chose. Un mathématicien suédois, von Koch, décida qu'au lieu de soustraire des lignes, il les ajouterait. Il trouva donc cette magnifique courbe. Il n'y pas de raison particulière qui nous force à commencer par cette forme initiale ; on peut utiliser la forme initiale que l'on souhaite. Je vais changer celle-ci, bouger ça par là -- en bas, OK -- et par itération, la forme initiale se déplie en une structure très différente. Tous ces exemples possèdent la propriété d'autosimilitude : la sous-partie ressemble à l'ensemble. C'est le même motif à différentes échelles.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Et donc, les mathématiciens ont trouvé ça très étrange, parce que quand vous rétrécissez une règle, vous mesurez une longueur de plus en plus grande. Et comme ils répétaient les itérations un nombre infini de fois, comme la règle rétrécissait à l'infini, la longueur augmentait à l'infini. Cela n'avait aucun sens. ils ont donc relégué ces courbes à la fin des livres de maths. Ils dirent : « Ce sont des courbes pathologiques, pas la peine d'en discuter. » (Rires) Et ça a duré pendant une centaine d'années.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Et puis en 1977, Benoît Mandelbrot, un mathématicien français, réalisa que si l'on utilise des images de synthèses associées aux formes qu'il appela des fractales on obtenait les formes de la nature. On obtient les poumons humains, les acacias, les fougères, on obtient ces magnifiques formes naturelles. Si vous regardez là où se rejoignent votre pouce et votre index -- allez-y, faites-le -- -- et que vous détendez la main, vous verrez un pli, et puis une ride au sein du pli, et un pli au sein d'une ride. C'est vrai, non ? Votre corps est recouvert de fractales. Les mathématiciens qui disaient que ces formes étaient pathologiquement inutiles ? Ils respiraient ces mots avec des poumons fractals. C'est très ironique. Et je vais vous montrer une petite récursion naturelle. Encore une fois, on prend ces lignes et on les remplace récursivement par la forme en entier. Voici la deuxième itération, et la troisième, la quatrième et ainsi de suite.
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
La nature possède cette structure autosimilaire. La nature utilise des systèmes qui s'auto-organisent. Dans les années 80, je me suis aperçu que si l'on regardait une photo aérienne d'un village africain, on voyait des fractales. Je me suis dit : « C'est fabuleux ! Je me demande bien pourquoi ? » Bien sûr il me fallait aller en Afrique et poser la question aux gens. J'ai donc reçu une bourse Fulbright pour voyager en Afrique pendant un an demandant aux gens pourquoi ils construisaient des fractales, ce qui est un super travail si vous l'obtenez. (Rires)
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Je me suis retrouvé dans cette ville, j'avais créé un petit modèle fractal de la ville juste pour voir un peu comment il se développerait -- quand j'y suis arrivé, je me suis rendu au palais du chef, et mon français n'est pas très bon ; j'ai dit quelque chose comme : « Je suis un mathématicien et j'aimerais monter sur votre toit. » Il a été très sympa, et il m'y a emmené, et nous avons parlé des fractales. Il a dit : « Oh oui, bien sûr ! Nous savons ça : un rectangle dans un rectangle, nous savons tout de ça. » Il s'avère que l'insigne royal est composé d'un rectangle dans un rectangle dans un rectangle, et le chemin à travers le palais est en fait cette spirale ici. Et quand vous empruntez ce chemin, vous devez être de plus en plus poli. Ils reportent donc l'échelle sociale à l'échelle géométrique ; c'est un motif conscient. Ce n'est pas inconscient comme les fractales d'une termitière.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Voici un village au sud de la Zambie. Les Ba-Ilas ont construit ce village d'environ 400 mètres de diamètre. C'est un immense cercle. Les cercles, qui représentent les enceintes familiales, s'agrandissent à mesure que vous avancez vers le fond, et puis vous avez le cercle du chef à l'arrière et la famille proche du chef dans ce cercle. En voici un petit modèle fractal. Voici une maison avec l'autel sacré, et là, la maison des maisons, l'enceinte familiale, avec ici les humains où se trouverait l'autel sacré, et puis voilà le village en entier -- un cercle de cercles de cercles avec ici la famille élargie du chef, et là sa famille proche, et il y a ici un tout petit village, petit comme ça. On pourrait se demander : « Comment des gens peuvent-ils rentrer dans un village si petit ? » C'est parce que ce sont les esprits. Ce sont les ancêtres. Et bien sûr les esprits ont un village miniature dans leur village, vous comprenez ? C'est donc comme Georg Cantor l'avait dit, la récursion continue à jamais.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Ça c'est dans les monts Mandara, à Mokoulek au Cameroun près de la frontière avec le Nigeria. J'ai vu ce schéma d'un architecte français, et je me suis dit : « Waouh ! Quelle belle fractale ! » J'ai donc essayé de trouver la forme initiale, dont la transformation, par itération, aboutirait à ça. J'ai trouvé cette structure-ci. Voyons voir, première itération, deuxième, troisième, quatrième. Après avoir fait cette simulation, j'ai réalisé que tout le village suit un tracé en spirale, comme ça, et voici cette ligne qui se réplique -- une ligne qui s'autoréplique et se transforme en fractale. J'avais remarqué que cette ligne était à l'endroit où se trouvait le seul bâtiment carré du village. Donc, quand je suis arrivé au village, j'ai demandé : « Pouvez-vous me montrer le bâtiment carré ? Je pense qu'il y a quelque chose d'intéressant. » Et ils répondirent : « On veut bien vous le montrer, mais vous ne pourrez pas y entrer parce que c'est l'autel sacré, où nous faisons des sacrifices chaque année pour entretenir les cycles annuels de fertilité de nos champs. » Et je me suis rendu compte que les cycles de fertilité étaient comme les cycles récursifs de l'algorithme géométrique qui construit tout ça. La récursion dans certains de ces villages continue jusqu'à de très petites échelles.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Voici un village nankani au Mali. Comme vous pouvez le voir, on entre dans l'enceinte familiale -- on y entre et il y a des récipients dans l'âtre, empilés récursivement. Voici les calebasses qu'Issa nous montrait, et elles sont empilées récursivement. La plus petite calebasse est là pour conserver l'âme de la femme. Et quand elle meurt, ils organisent une cérémonie où ils cassent la pile appelée le zalanga et son âme s'envole vers l'éternité. Encore une fois, l'infini est important.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
On peut se poser trois questions maintenant. Ces motifs fractals ne sont-ils pas communs à toutes les architectures indigènes ? En fait c'était mon hypothèse à l'origine. Quand j'ai vu ces fractales africaines pour la première fois, j'ai pensé : « Waouh, donc n'importe quel groupe indigène sans société étatique, ce type de hiérarchie, doit posséder une sorte d'architecture du bas vers le haut. » Mais il s'avère que ce n'est pas vrai.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
J'ai commencé à collectionner des photos aériennes de l'architecture amérindienne et de celle du Pacifique Sud ; seules les architectures africaines sont fractales. Et si vous y pensez, toutes ces différentes sociétés utilisent des thèmes de conception géométriques différents. Les Amérindiens utilisent une combinaison de symétrie circulaire et de quadruple symétrie. On peut voir ça sur les poteries et les paniers. Voici une photo aérienne d'une des ruines anasazies ; on peut voir qu'elles sont circulaires à grande échelle, mais rectangulaires à petite échelle, vous voyez ? Ce n'est pas le même motif à deux échelles différentes.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Deuxièmement, vous pourriez demander : « Eh bien, Dr Eglash, n'êtes pas vous en train d'ignorer la diversité des cultures africaines ? » Et trois fois, la réponse est non. Pour commencer, je suis d'accord avec le magnifique livre de Mudimbe, « L'invention de l'Afrique, » qui dit que l'Afrique est une invention premièrement du colonialisme, et deuxièmement des mouvements d'opposition. Non, parce qu'un style largement répandu ne donne pas nécessairement une unité culturelle -- et ce n'est certainement pas dans l'ADN. Et enfin, les fractales sont autosimilaires -- elle sont donc similaires à elles-mêmes, mais ne sont pas forcément similaires aux autres -- on remarque des utilisations très différentes des fractales. C'est une technologie partagée en Afrique.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
Et enfin, eh bien, n'est-ce pas simplement de l'intuition ? Ce n'est pas vraiment un savoir mathématique. Les Africains ne peuvent tout de même pas utiliser la géométrie fractale, non ? Elle n'a pas été inventée avant les années 70. Eh bien, c'est vrai que certaines fractales africaines sont à mon avis purement de l'intuition. Par exemple, je me promènerais dans les rues de Dakar en demandant : « Quel est l'algorithme ? Quelle est la règle pour faire ça ? » et ils répondraient : « Eh bien, nous faisons comme ça parce que c'est joli, bêta. » (Rires) Mais parfois, ce n'est pas le cas. Dans certains cas, il y avait de vrais algorithmes, et même de très sophistiqués. Dans cette sculpture mangbetu, vous verriez cette géométrie récursive. Dans les croix éthiopiennes, on voit ce merveilleux déploiement de la forme.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
En Angola, le peuple Tchokwé dessine des lignes dans le sable, et c'est ce que le mathématicien allemand Euler a appelé un graphe ; nous appelons ça un chemin eulérien -- il ne faut jamais lever son crayon de la surface et il ne faut pas repasser sur une même ligne. Mais ils le font récursivement, et ils le font avec un système basé sur l'âge, les petits enfants apprennent celui-ci, et les plus grands celui-là, à l'initiation suivante, on apprend ce nouveau dessin. A chaque itération de cet algorithme, on apprend les itérations du mythe. On apprend le niveau supérieur de savoir.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Et enfin, partout en Afrique, on voit ce jeu de plateau. On l'appelle awélé au Ghana, où je l'ai étudié ; on l'appelle mancala ici sur la côte est, bao au Kenya, sogo ailleurs. On voit apparaître spontanément des motifs auto-organisés dans ce jeu. Les gens au Ghana connaissent ces motifs auto-organisés et les utilisent de façon stratégique. C'est un savoir très conscient.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Voici une merveilleuse fractale. Partout au Sahel, vous verrez ce brise-vent. Et bien sûr les clôtures à travers le monde sont toutes cartésiennes, toutes strictement linéaires. Mais ici en Afrique, il y a ces clôtures aux proportions non linéaires. J'ai trouvé une des personnes qui les fabriquent, un gars au Mali près de Bamako, et je lui ai demandé : « Comment se fait-il que vous fabriquiez des clôtures fractales ? Personne d'autre ne le fait. » Et sa réponse fut très intéressante. « Eh bien, si je vivais dans la jungle, je n'utiliserais que de longues rangées de paille, parce qu'elles sont rapides à faire et très peu coûteuses. Ça ne prend pas beaucoup de temps, pas beaucoup de paille. » Il enchaîna : « Mais le vent et la poussière y passent très facilement. Les rangées serrées tout en haut retiennent vraiment le vent et la poussière. Mais ça prend beaucoup de temps et de paille, puisqu'elles sont très serrées. » Il poursuivit : « Nous savons par expérience que plus on s'éloigne du sol, plus le vent souffle fort. » Vous voyez ? C'est tout comme une analyse coût-bénéfice. Et j'ai mesuré les longueurs de paille, je les ai retranscrites sur un graphique logarithmique, j'ai trouvé l'exposant, et il correspond presque exactement à l'exposant de la relation entre la vitesse du vent et la hauteur dans le manuel d'ingénierie du vent. Ces gens sont dans le mille pour l'utilisation concrète d'une technologie fractale.
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
L'exemple le plus complexe d'une approche algorithmique que j'ai trouvé n'était en fait pas en géométrie, c'était dans un code symbolique, c'était la divination bamana par le sable. On retrouve le même système de divination partout en Afrique. On le trouve aussi bien sur la côte est que la côte ouest, et les symboles sont souvent très bien conservés, chacun de ces symboles a quatre bits -- c'est un mot binaire à quatre bits -- on dessine aléatoirement ces lignes dans le sable, et ensuite on les compte, si le nombre est impair, on fait une marque, et s'il est pair, on en fait deux, Et ils le faisaient très rapidement, et je ne comprenais pas ce qu'ils voulaient en faire -- ils ne dessinaient les lignes aléatoires que quatre fois -- Je ne comprenais pas comment ils obtenaient les 12 autres symboles. Et ils ne voulaient pas me le dire. « Non, non. Je ne peux pas vous en parler », disaient-ils. Et moi de répondre : « Bon, je vous paierai, vous serez mon professeur, et je viendrai chaque jour et je vous paierai. » « Ce n'est pas une histoire d'argent. C'est une histoire de religion », disaient-ils.
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
Et finalement, désespéré, j'ai dit : « Laissez-moi vous expliquer Georg Cantor en 1877. » Et j'ai commencé à leur expliquer pourquoi j'étais en Afrique, et ils devinrent très excités quand ils virent l'ensemble de Cantor. L'un d'eux a dit : « Venez. Je pense que je peux vous aider. » Et donc il me fit passer le rituel initiatique des prêtres bamanas. Mais évidemment, je n'étais intéressé que par les maths, donc pendant tout le processus, il secouait la tête en disant : « Vous savez, je ne l'ai pas appris comme ça. » J'avais à dormir avec une noix de kola, enterrée dans le sable, près de mon lit, et à donner sept pièces à sept lépreux et ainsi de suite. Et finalement, il me dévoila le fond de la chose. Il s'avère que c'est un générateur de nombres pseudo-aléatoires utilisant le chaos déterministe. Quand on a un symbole à quatre bits, on l'associe à un autre à côté. Donc pair plus impair donne impair. Impair plus pair donne impair. Pair plus pair donne pair. Impair plus impair donne pair. C'est l'addition modulo 2, comme le contrôle de bit de parité dans votre ordinateur. Ensuite on prend ce symbole, et on le remet en jeu c'est donc une diversité autogénératrice de symboles. Ils utilisent vraiment une sorte de chaos déterministe pour le faire. Comme c'est un code binaire, on peut en faire un circuit électronique -- ce serait un fantastique outil d'apprentissage dans les écoles africaines d'ingénieurs.
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Et la chose la plus intéressante que j'ai trouvée à ce propos est historique. Au XIIe siècle, Hugo Santalia l'a introduite en Espagne après avoir vu des mystiques musulmans. Et elle a fait son entrée chez les alchimistes sous le nom de géomancie : la divination par la terre. Voici un tableau de géomancien dessiné pour le roi Richard II en 1390. Leibniz, le mathématicien allemand, parle de la géomancie dans sa dissertation appelée « De Combinatoria. » Et il dit : « Au lieu d'utiliser une marque et deux marques, utilisons plutôt un un et un zéro, et nous pouvons compter par puissances de deux. » Vous voyez ? Des uns et des zéros, le code binaire. George Boole a pris le code binaire de Leibniz et a créé l'algèbre booléen, et John von Neumann a pris l'algèbre booléen et a créé l'ordinateur numérique. Et ainsi tous ces PDA et ces ordinateurs portables -- chaque circuit électronique au monde -- a ses racines en Afrique. Et je sais que Brian Eno dit qu'il n'y a pas assez d'Afrique dans les ordinateurs ; moi je pense qu'il n'y a pas assez d'histoire de l'Afrique chez Brian Eno. (Applaudissements)
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Laissez-moi finir par quelques mots à propos des applications que nous avons trouvées. Vous pouvez visiter notre site web, les applets sont gratuites ; elles marchent dans votre navigateur internet. Tout le monde peut les utiliser. Le programme de développement de la participation en informatique de la National Science Foundation nous a récemment offert un financement pour créer une version programmable de ces outils de conception, avec un peu de chance dans trois ans, tout le monde pourra aller sur le web et créer ses propres simulations et ses propres artéfacts. Nous nous sommes concentrés aux USA sur les étudiants afro-américains, amérindiens et latinos. Nous avons trouvé une amélioration statistiquement significative chez les enfants utilisant ce logiciel en classe de maths comparés à un groupe de contrôle n'utilisant pas le logiciel. Ça marche très bien pour montrer aux enfants qu'ils ont un héritage basé sur les mathématiques, et pas seulement sur le chant ou la danse. Nous avons débuté un programme pilote au Ghana, nous avons obtenu un financement initial, juste pour voir si les gens accepteraient de travailler avec nous sur ce projet ; nous sommes très excités par les possibilités à venir.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Nous travaillons aussi dans le design. Je n'ai pas mis son nom ici -- mon collègue, Kerry, au Kenya, a eu cette merveilleuse idée d'utiliser une structure fractale pour les adresses postales dans les villages ayant une structure fractale, parce que si vous essayez d'imposer un système postal en grille à un village fractal, ça ne marche pas très bien. Bernard Tschumi de l'université de Columbia vient d'utiliser ça pour un dessin pour un musée d'art africain. David Hughes de l'université de l'état de l'Ohio a écrit un manuel sur l'architecture afrocentrique dans lequel il utilise certaines de ces structures fractales.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.
Pour conclure, je tiens à signaler que cette idée d'auto-organisation, comme nous l'avons entendu avant, est dans le cerveau. Elle est dans le moteur de recherche de Google. En fait, la raison du succès de Google vient du fait qu'ils ont été les premiers à utiliser les propriétés d'auto-organisation du web. On retrouve cette notion dans la durabilité écologique. Elle est dans la puissance de développement de l'entrepreneuriat, dans la puissance éthique de la démocratie. Elle est aussi dans certaines mauvaises choses. L'auto-organisation est la raison pour laquelle le virus du SIDA se propage si rapidement. Et si vous ne pensez pas que le capitalisme, qui s'auto-organise, peut avoir des effets destructeurs, vous n'ouvrez pas assez grand les yeux. Il nous faut réfléchir, comme ça a été dit avant, sur les méthodes africaines traditionnelles d'auto-organisation. Ce sont des algorithmes robustes. C'est une façon d'utiliser l'auto-organisation -- de faire de l'entrepreneuriat -- de façon douce, de façon égalitaire. Si nous voulons trouver un meilleur moyen de faire ce genre de choses, il ne nous faut pas regarder plus loin que l'Afrique pour trouver ces algorithmes robustes d'auto-organisation. Merci.