I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Quiero empezar mi historia en Alemania, en 1877, con un matemático llamado Georg Cantor. Y Cantor decidió que iba a tomar una línea y a borrar el tercio central de la línea, y a tomar esas dos líneas resultantes y a traerlas de vuelta al mismo proceso, un proceso recursivo. Así que comienza con una línea, luego con dos, luego cuatro, luego 16, y así sucesivamente. Y si hace esto un número infinito de veces, lo cual se puede hacer en matemáticas, termina con un número infinito de líneas, cada una de las cuales tiene un número infinito de puntos. Así que se dio cuenta que tenía un conjunto cuyo número de elementos era mayor que infinito. Y esto le sacudió la mente. Literalmente. Ingresó en un psiquiátrico. (Risas) Y cuando salió del psiquiátrico, estaba convencido que había venido a la Tierra para fundar la teoría de conjuntos transfinitos, porque el mayor conjunto de infinito sería Dios mismo. Era un hombre muy religioso. Era un matemático en una misión.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Y otros matemáticos hicieron cosas del mismo tipo. El matemático sueco, von Koch, decidió que en vez de restar líneas, las sumaría. Y así salió con esta hermosa curva. Y no hay una razón en particular para que tengamos que empezar con esta forma semilla; podemos empezar con cualquier forma semilla. Y voy a reorganizar esto y meter esto en algún lado -- ahí abajo, OK -- y ahora iterando, esa forma semilla como que se despliega en una estructura que se ve muy diferente. Así que todas estas tienen la propiedad de la autosimilitud: la parte se ve como el todo. Es el mismo patrón en muchas escalas diferentes.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Ahora, los matemáticos pensaron que esto era algo muy extraño, porque a medida que encoges una regla, mides una distancia cada vez más larga. Y como pasaron por las iteraciones un número infinito de veces, a medida que la regla se encoge infinitamente, la longitud se extiende hacia el infinito. Esto no tenía ningún sentido, así que relegaron estas curvas al final de los libros de matemáticas. Dijeron que éstas son curvas patológicas, y que no tenemos que discutirlas. (Risas) Y eso funcionó durante cien años.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Y luego en 1977, Benoit Mandelbrot, un matemático francés, se dio cuenta que si haces gráficas por computadora y usas estas formas que llamó fractales obtienes las formas de la naturaleza. Obtienes los pulmones humanos, obtienes acacias, obtienes helechos, obtienes estas hermosas formas naturales. Si miran su pulgar y su dedo índice y se fijan justo donde se encuentran -- adelante, háganlo ahora -- y relajen su mano, van a ver un pliegue, y luego una arruga dentro del pliegue, y un pliegue dentro de la arruga. ¿Verdad? Su cuerpo está cubierto de fractales. Los matemáticos que decían que éstas eran formas patológicamente inútiles. Ellos estaban respirando esas palabras con pulmones fractales. Es muy irónico. Y les voy a mostrar una pequeña recursión natural acá. De nuevo, tan solo tomamos estas líneas y las reemplazamos recursivamente con toda la figura. Asi que aquí está la segunda iteración, y la tercera, la cuarta, y así sucesivamente.
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Así que la naturaleza tiene esta estructura autosimilar. La naturaleza usa sistemas auto-organizativos. En los años 80 me pasó que noté que si uno mira una fotografía aérea de una aldea africana, uno ve fractales. Y pensé: "¡Esto es fabuloso! Me pregunto: ¿por qué?" Y por supuesto tuve que ir a África y preguntarle a la gente por qué. Así que obtuve una beca Fulbright para viajar alrededor de Africa por un año preguntándole a la gente por qué estaban construyendo fractales, lo cual es un gran trabajo si pueden conseguirlo. (Risas)
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Y finalmente llegué a esta ciudad, y había hecho un pequeño modelo fractal para la ciudad sólo para ver cómo se desplegaría -- pero cuando llegué ahí, llegué al palacio del jefe, y mi francés no es muy bueno, dije algo como: "Soy un matemático y quisiera subirme a su techo". Pero él estuvo realmente tranquilo con eso, y me subió ahí, y hablamos de fractales. Y dijo: "¡Oh si, si! Nosotros sabíamos de un rectángulo en un rectángulo, sabemos al respecto". Y resulta que la insignia real tiene un rectángulo dentro de un rectángulo dentro de un rectángulo, y el camino a través del palacio es en efecto esta espiral. Y a medida que uno atraviesa el camino, uno tiene que ser más y más educado. Así que están trazando el mapa de la escala social sobre una escala geométrica; es un patrón consciente. No es inconsciente como el montículo fractal de las termitas.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Esto es una aldea en el sur de Zambia. Los ba-ila construyeron esta aldea de alrededor de 400 metros de diámetro. Hay un anillo enorme. Los anillos que representan los recintos familiares se agrandan cada vez más, a medida que uno va hacia atrás, y luego uno tiene el anillo del jefe acá hacia atrás y el recinto de la familia inmediata del jefe en ese anillo. Así que aquí hay un pequeño modelo fractal de él. Acá hay una casa con el altar sagrado, acá está la casa de casas, el recinto familiar, con los humanos acá donde estaría el altar sagrado, y luego acá está la aldea como un todo -- un anillo de anillo de anillos con la familia extensa del jefe acá, la famiia inmediata del jefe acá, y acá hay una diminuta aldea tan sólo así de grande. Ahora podrán ustedes preguntarse: ¿cómo puede la gente caber en una diminuta aldea tan solo así de grande? Eso es porque ellos son gente espíritu. Son los ancestros. Y, por supuesto, la gente espíritu tiene una pequeña aldea miniatura en su aldea, ¿verdad? Así es que es tal como dijo Georg Cantor, la recursión continúa para siempre.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Esto sucede en el macizo de Mandara, cerca de la frontera nigeriana con Camerún, en Mokoulek. Vi este diagrama dibujado por un arquitecto francés, y pensé: "¡Guau! ¡Qué fractal tan hermoso!" Así que traté de salir con una forma semilla, la cual, iterándola, se desplegaría en esta cosa. Llegué a esta estructura de acá. Veamos, primera iteración, segunda, tercera, cuarta. Ahora, después de que hice la simulación, me di cuenta que toda la aldea gira en espiral, justo así, y acá está esa línea de recurrencia -- una línea autorrecurrente que se desdobla en un fractal. Bueno, noté que esa línea está más o menos donde está el único edificio cuadrado de la aldea. Así que, cuando llegué a la aldea, dije: "¿Me pueden llevar al edificio cuadrado? Creo que algo está pasando ahí". Y ellos dijeron: "Bueno, lo podemos llevar ahí, pero usted no puede entrar porque ese es el altar sagrado, donde hacemos sacrificios cada año para mantener esos ciclos anuales de fertilidad en los campos". Y comencé a darme cuenta que los ciclos de fertilidad eran justo como los ciclos recursivos del algoritmo geométrico que construye esto. Y la recursión en algunas de estas aldeas continúa hasta escalas diminutas.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Acá hay una aldea nankani en Mali. Y pueden ver, uno entra al recinto familiar -- uno entra y acá hay ollas en el fogón, apiladas recursivamente. Acá hay calabazas que Issa justo nos mostraba, y están apiladas recursivamente. Ahora, la más pequeña de las calabazas guarda el alma de la mujer. Y cuando muere hacen una ceremonia en la que rompen la pila llamada la zalanga y su alma viaja a la eternidad. De nuevo, el infinito es importante.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Ahora, ustedes pueden hacerse tres preguntas en este punto. ¿No son estos patrones de escala simplemente universales en toda arquitectura aborigen? Y esa era en efecto mi hipótesis inicial. Cuando vi por primera vez esos fractales africanos, pensé: "¡Guau! Así que cualquier grupo aborigen que no tiene sociedad estatal, esa especie de jerarquía, debe tener algún tipo de arquitectura de abajo hacia arriba." Pero eso resulta no ser cierto.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Comencé a recolectar fotografías aéreas de arquitectura aborigen de EE.UU. y del Pacífico Sur; y sólo las africanas eran fractales. Y si piensan al respecto, todas estas distintas sociedades usan diferentes temas de diseños geométricos. Así que los aborígenes de EE.UU. usan una combinación de simetría circular y simetría cuádruple. Lo pueden ver en la cerámica y la cestería. Acá hay una fotografía aérea de una de las ruinas anasazi; pueden ver que es circular en la escala más amplia, pero rectangular en la escala más pequeña, ¿verdad? No es el mismo patrón en dos escalas diferenrtes.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Segundo, podrían preguntar: "Bueno, Dr. Eglash, ¿no está Ud. ignorando la diversidad de culturas africanas?" Y, tres veces, la respuesta es no. En primer lugar, estoy de acuerdo con el maravilloso libro de Mudimbe, "La Invención de África". en que África es un invento artificial, primero, del colonialismo y, luego, de los movimientos opositores. No, porque una práctica de diseño ampliamente compartida no implica necesariamente una unidad cultural -- y definitivamente no está en el ADN. Y finalmente, los fractales tienen autosimilitud -- así que son similares a sí mismos pero no son necesariamente similares entre sí -- uno ve usos muy diferentes de los fractales. Es una tecnología compartida en África.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
Y finalmente, bueno, ¿no es esto tan solo intuición? No es realmente conocimiento matemático. No es posible que los africanos realmente estén usando geometría fractal, ¿cierto? No fue inventada sino hasta los años 70. Bueno, es verdad que algunos fractales africanos son, hasta donde yo sé, sólo pura intuición. Así que algunas de estas cosas, yo recorrería las calles de Dakar pregutándole a la gente: "¿Cuál es el algoritmo? ¿Cuál es la regla para hacer esto?" y me dirían, "Bueno, sólo lo hacemos así porque se ve bonito, estúpido". (Risas) Pero algunas veces no es ese el caso. En algunos casos hay, en efecto, algoritmos y algoritmos muy sofisticados. Así en la escultura manghetu uno vería esta geometría recursiva. En las cruces etíopes uno ve este maravilloso desdoblamiento de la forma.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
En Angola la etnia chokwe dibuja líneas en la arena y es lo que el matemático alemán Euler llamó un grafo; ahora lo llamamos un camino euleriano -- nunca puedes levantar tu bolígrafo de la superficie y nunca puedes pasar sobre la misma línea dos veces. Pero lo hacen recursivamente, y lo hacen con un sistema de gradación por edades, así que los niños pequeños aprenden éste, y luego los mayores aprenden éste, luego en la siguiente iniciación por grado de edad, uno aprende éste. Y con cada iteración del algoritmo, uno aprende las iteraciones del mito. Uno aprende el siguiente nivel de conocimiento.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Y finalmente, en toda África, uno ve este juego de tablero. Se llama owari en Ghana, donde yo lo estudié; se llama mancala acá en la costa este, bao en Kenia, sogo en otras partes. Bueno, uno ve patrones auto-organizados que ocurren espontáneamente en este juego de tablero. Y la gente en Ghana sabe de estos patrones auto-organizados y los usan estratégicamente. Así que éste es un conocimiento muy consciente.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Acá hay un maravilloso fractal. Donde quiera que vayan en Sahel, verán esta pantalla de viento. Y por supuesto las cercas del mundo son cartesianas, todas estrictamente lineales. Pero acá en África, Uds. tienen estas cercas no lineales en escalas. Así que busqué a una de las personas que fabrican estas cosas. un tipo en Mali justo en las afueras de Bamako, y le pregunté: "¿Cómo es que Ud. anda haciendo cercas fractales? Porque nadie más las hace". Y su respuesta fue muy interesante. Dijo: "Bueno, si viviera en la selva, sólo usaría las hileras largas de paja, porque son rápidas, y son muy baratas. No lleva mucho tiempo ni consume mucha paja". Dijo: "Pero el viento y el polvo se filtran muy fácilmente. Ahora, las filas apretadas en lo más alto, realmente detienen el viento y el polvo. Pero lleva mucho tiempo, y mucha paja, porque están realmente apretadas". "Ahora", dijo, "sabemos por experiencia que entre más arriba del piso vayas, más fuerte sopla el viento". ¿Verdad? Es justo como en el análisis costo-beneficio. Y yo medí las longitudes de la paja, lo puse en una matriz bi-logarítmica, saqué el exponencial de escala, y casi exactamente equivale al exponencial de escala para la relación entre altura y velocidad del viento del manual de ingeniería de vientos. Así que estos tipos dan justo en el blanco con el uso práctico de tecnología de escala.
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
El ejemplo más complejo que encontré de una aproximación algorítmica a los fractales en realidad no fue en geometría, sino en un código simbólico, y esto fue la adivinación bahmani en arena. Y el mismo sistema de adivinación se encuentra por toda África. Lo pueden encontrar en la costa este y en la costa oeste, y usualmente los símbolos están muy bien preservados, así que cada uno de estos símbolos tiene cuatro bits -- es una palabra binaria de cuatro bits -- uno dibuja esta líneas aleatoriamente sobre la arena, y luego cuenta, y si es un número impar, uno dibuja un trazo, y si es un número par, uno dibuja dos trazos. Y hacían esto muy rápidamente y yo no podía entender hacia qué iban -- ellos sólo hicieron la aleatoridad cuatro veces -- Yo no podía entender de dónde sacaban los otros 12 símbolos. Y no me lo dirían. Decían: "No, no, no te puedo hablar de esto". Y yo decía: "Bueno, mira, te pago, puedes ser mi profesor, y yo vengo cada día y te pago". Ellos dijeron: "No es cuestión de dinero. Este es un asunto religioso".
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
Y finalmente, de la desesperación, yo dije: "Bueno, déjenme explicar Georg Cantor en 1877". Y empecé a explicar por qué estaba yo en África, y se emocionaron mucho cuando vieron el conjunto de Cantor. Y uno de ellos dijo: "Ven acá. Creo que te puedo ayudar con esto". Y así me llevó por el proceso de iniciación ritual de un sacerdote bahmani. Y por supuesto, yo sólo estaba interesado en la matemática, así que todo el tiempo, él sacudía su cabeza diciendo: "Tu sabes, yo no lo aprendí de esta manera". Pero yo tenía que dormir con una nuez de cola al lado de la cama, enterrada en la arena, y darle siete monedas a los siete leprosos y todo eso. Y finalmente, él me reveló la verdad del asunto. Y resulta que es un generador de números pseudo-aleatorios que usa caos determinístico. Cuano uno tiene un símbolo de cuatro bits, uno puede juntarlo con otro de costado. Así, par más impar da impar. Impar más par da impar. Par más par da par. Impar más impar da par. Es adición módulo 2, justo como en la prueba de paridad de bits de su computadora. Y, luego, uno toma este símbolo y lo vuelve a meter así que es una diversidad de símbolos autogenerada. Realmente están usando un tipo de caos determinístico al hacer esto. Ahora, como es un código binario, uno puede en efecto implementar esto en hardware -- qué fantástica herramienta de enseñanza sería esto en las escuelas africanas de ingeniería.
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Y lo más interesante que encontré al respecto fue algo histórico. En el siglo 12, Hugo Santillana lo trajo de los místicos musulmanes a España. Y ahí entró en la comunidad alquimista como geomancia: adivinación a través de la tierra. Esto es una carta geomántica dibujada por el rey Ricardo II en 1390. Leibniz, el matemático alemán, habló de geomancia en su disertación llamada "De Combinatoria" Y dijo: "Bueno, en vez de usar un trazo y dos trazos, usemos un uno y un cero, y podemos contar por potencias de dos". ¿Correcto? Unos y ceros: el código binario. George Boole tomó el código binario de Leibniz y creó el álgebra booleana, y John von Neumann tomó el álgebra boolena y creó la computadora digital. Así que todos estos pequeños PDAs y computadores portátiles -- todo circuito digital en el mundo -- comenzó en África. Y sé que Brian Eno dice que no hay suficiente África en las computadoras; saben, yo no creo que haya suficiente historia africana en Brian Eno. (Aplausos)
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Así que déjenme terminar con unas pocas palabras sobre aplicaciones que hemos encontrado para esto. Y pueden ir a nuestro sitio web, las aplicaciones son gratuitas; simplemente corren en el browser. Cualquier persona en el mundo puede usarlas. El programa de Ampliación de la Participación en la Computación de la Fundación Nacional de la Ciencia recientemente nos otorgó una beca de investigación para hacer una versión programable de estas herramientas de diseño, así que esperamos que en tres años cualquiera pueda entrar a la Web y crear sus propias simulaciones y sus propios artefactos. Nos hemos centrado en EE.UU., en estudiantes afro, aborigenes y latinos de EE.UU. Hemos encontrado mejorías estadísticamente significativas en niños que usan este software en clases de matemáticas en comparación con un grupo de control que no tenía el software. Así que es realmente muy exitoso enseñándole a los niños que tienen una herencia que es sobre matemáticas, que no es sólo sobre canto y danza. Hemos comenzado un programa piloto en Ghana, tenemos una pequeña beca semilla, sólo para ver si la gente está dispuesta a trabajar con nostros en esto; estamos muy emocionados de las posibilidades futuras para eso.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
También hemos estado trabajando en diseño. No puse su nombre acá -- mi colega, Kerry, en Kenia, salió con esta gran idea de usar estructuras fractales para direcciones de correo en aldeas que tienen estructura fractal porque si uno trata de imponer un sistema postal con estructura matricial en una aldea fractal, no se ajusta muy bien. Bernard Tschumi en la Universidad de Columbia ha terminado de usar esto en un diseño para un museo de arte africano. David Hughes en la Universidad Estatal de Ohio ha escrito un manual de arquitectura afrocéntrica en el que usa algunas de estas estructuras fractales.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.
Y finalmente, yo sólo quería apuntar que esta idea de auto-organización, como oímos más temprano, está en el cerebro. Está en -- está en el motor de búsqueda de Google. De hecho, la razón por la cual Google ha sido tan exitoso es porque fueron los primeros en tomar ventaja de las propiedades auto-organizativas de la red. Está en la sostenibilidad ecológica. Está en el poder del emprendimiento para el desarrollo, en el poder ético de la democracia. También está en algunas cosas malas. La auto-organización es la razón por la cual el SIDA se esparce tan rápido. Y si Uds. no creen que el capitalismo, que es auto-organizativo, puede tener efectos destructivos, es que no han abierto suficientemente los ojos. Así que debemos pensar sobre, como fue dicho antes, los métodos africanos tradicionales para hacer auto-organización. Estos son algoritmos robustos. Estas son maneras de hacer auto-organización -- de hacer emprendimiento -- que son delicadas, que son igualitarias. Así que si queremos encontrar una mejor manera de hacer ese tipo de trabajo, no necesitamos buscar más allá de África para encontrar estos robustos algoritmos auto-organizativos. Gracias.