Θέλω να ξεκινήσω την ιστορία μου στην Γερμανία, το 1877, με έναν μαθηματικό ονόματι Γκέοργκ Καντόρ. Ο Καντόρ αποφάσισε να πάρει μια γραμμή και να διαγράψει το μεσαίο τρίτο της γραμμής, και να πάρει τις δύο γραμμές που προκύπτουν και να τις επιφέρει στην ίδια επαναληπτική διαδικασία. Αρχίζει λοιπόν με μία γραμμή, έπειτα δύο, μετά τέσσερις και μετά 16, και πάει λέγοντας. Και αν το κάνει αυτό άπειρες φορές, πράγμα που επιτρέπεται στα μαθηματικά, καταλήγει με έναν άπειρο αριθμό από γραμμές, η καθεμμία από τις οποίες περιέχει έναν άπειρο αριθμό σημείων. Συνειδητοποίησε λοιπόν ότι είχε ένα σύνολο του οποίου ο αριθμός των στοιχείων ήταν μεγαλύτερος από το άπειρο. Και αυτό του πήρε το μυαλό. Κυριολεκτικά. Μπήκε στο φρενοκομείο. (Γέλια) Και όταν βγήκε από το φρενοκομείο, ήταν πεπεισμένος πως ο σκοπός του στην Γή ήταν να ανακαλύψει την υπερπεπερασμένη θεωρία συνόλων, επειδή το μεγαλύτερο σύνολο απείρου θα ήταν ο ίδιος ο Θεός. Ήταν ένας πολύ θρήσκος άνθρωπος. Ήταν ένας μαθηματικός σε μία αποστολή.
I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Και άλλοι μαθηματικοί κάναν τα ίδια περίπου πράγματα. Ένας Σουηδός μαθηματικός,ο φον Κόχ, αποφάσισε ότι αντί να αφαιρεί γραμμές, θα τις προσέθετε. Κατέληξε επομένως σε αυτήν την όμορφη καμπύλη. Και δεν υπάρχει συγκεκριμένος λόγος γιατί να ξεκινήσουμε με αυτό το αρχικό σχήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε αρχικό σχήμα επιθυμούμε. Θα αλλάξω αυτό και θα τοποθετήσω αυτό κάπου -- εκεί κάτω, ΟΚ -- και τώρα μετά από επανάληψη, αυτό το αρχικό σχήμα αναπτύσεται σε μια τελείως διαφορετική δομή. Όλα αυτά λοιπόν παρουσιάζουν την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας: το μέρος μοιάζει με το όλο. Είναι το ίδιο σχέδιο σε πολλές διαφορετικές κλίμακες.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Οι μαθηματικοί τώρα σκέφτηκαν ότι αυτό ήταν πολύ περίεργο, επείδη όσο μικραίνεις έναν χάρακα, μετράς μεγαλύτερες και μεγαλύτερες αποστάσεις. Και επειδή η επανάληψη γινόταν άπειρες φορές, ενώ ο χάρακας μικράινει επ'άπειρον, η απόσταση τείνει στο άπειρο. Αυτό δεν έβγαζε καθόλου νόημα, οπότε τοποθέτησαν αυτές τις καμπύλες στο πίσω μέρος των βιβλίων μαθηματικών. Είπαν, αυτές είναι παθολογικές καμπύλες, και δεν χρειάζεται να τις συζητήσουμε. (Γέλια) Αυτό λειτούργησε για εκατό χρόνια.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Και έπειτα το 1977, ο Μπενουά Μάντελμπροτ, ένας Γάλλος μαθηματικός, συνειδητοποίησε πως αν κάνεις γραφικά με υπολογιστή και χρησιμοποιήσεις αυτά τα σχήματα που ονόμασε Φράκταλς προκύπτουν σχήματα της φύσης. Προκύπτουν οι ανθρώπινοι πνεύμονες, δέντρα ακακίας, φτέρες, προκύπτουν αυτές οι πανέμορφες φυσικές μορφές. Αν πάρετε τον αντίχειρα και τον δείκτη και κοιτάξετε εκεί που συναντιούνται -- κάντε το αυτή την στιγμή -- -- και χαλαρώσετε το χέρι σας, θα δείτε μια ζάρα, και μετα μια ρυτίδα μέσα στην ζάρα, και μια ζάρα μέσα στην ρυτίδα. Σωστα; Το σώμα σας είναι γεμάτο φράκταλς. Οι μαθηματικοί που έλεγαν ότι αυτές ήταν παθολογικά άχρηστα σχήματα; Αυτοί ανέπνεαν αυτά τα λόγια με φράκταλ πνεύμονες. Είναι μεγάλη ειρωνία. Και θα σας δείξω μια μικρή φυσική επανάληψη εδώ. Ξανά, απλά παίρνουμε αυτές τις γραμμές και τις αντικαθιστούμε επαναληπτικά με ολόκληρο το σχήμα. Εδώ είναι λοιπόν η δεύτερη επανάληψη, η τρίτη, η τέταρτη κ.ο.κ.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Η φύση λοιπόν έχει αυτήν την δομή αυτο-ομοιότητας. Η φύση χρησιμοποιεί αυτό-οργανωτικά συστήματα. Την δεκαετία του 80, πρόσεξα πως αν κοιτάξεις μια εναέρια φωτογραφία ενός Αφρικανικού χωριού, βλέπεις φράκταλς, Και σκέφτηκα, "Αυτό είναι φανταστικό! Αναρωτιέμαι γιατι;" Και φυσικά έπρεπε να πάω στην Αφρική και να ρωτήσω τον κόσμο γιατί. Έλαβα λοιπόν μια υποτροφία Φούλμπράιτ για να γυρίσω την Αφρική για έναν χρόνο ρωτώντας ανθρώπους γιατί έχτιζαν φράκταλς, που είναι μια φανταστική δουλειά αν μπορείς να την βρείς. (Γέλια)
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Έφτασα λοιπόν τελικά σε μια πόλη, και έκανα ένα μικρό φράκταλ μοντέλο της πόλης απλά για να δώ πως θα βγεί περίπου -- όταν έφτασα όμως εκεί, πήγα στο παλάτι του αρχηγού, και τα Γαλλικά μου δεν είναι πολύ καλά, είπα κάτι σαν, "Είμαι μαθηματικός και θα ήθελα να σταθώ στην οροφή σας." Αλλά ήταν πολύ εντάξει με αυτό, με ανέβασε εκεί πάνω, και συζητήσαμε για φράκταλς. Και είπε, "Ω ναι, ναι! Γνωρίζαμε για το παραλληλόγραμμο μέσα σε ένα παραλληλόγραμμο, τα ξέρουμε όλα αυτά." Προκύπτει ότι το βασιλικό έμβλημα περιέχει ένα παραλληλόγραμμο μέσα σε ένα παραλληλόγραμμο μέσαν σε ένα παραλληλόγραμμο, και το μονοπάτι μέσα από το παλάτι είναι αυτή η σπείρα εδώ. Και όσο προχωράς στο μονοπάτι, πρέπει να γίνεις όλο και πιο ευγενικός. Αντιστοιχούν λοιπόν την κοινωνική κλίμακα επάνω στην γεωμετρική κλίμακα, Είναι ένα συνειδητό πρότυπο, Δεν είναι ασυνείδητο όπως το φράκταλ ενός αναχώματος τερμιτών.
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Αυτό είναι ένα χωριό στην Νότια Ζάμπια. Οι Μπαί-λά έχτισαν αυτό το χωριό με διάμετρο 400 περίπου μέτρα. Έχεις έναν τεράστιο δαχτύλιο. Οι δαχτύλιοι που αναπαριστούν τα οικήματα των οικογενειών γίνονται όλο και μεγαλύτερα όσο πηγαίνεις προς τα πίσω, και μετά έχεις τον δαχτύλιο του αρχηγού προς τα πίσω και η άμεση οικογένεια του αρχηγού μέσα σ'αυτόν τον δαχτύλιο. Εδώ είναι λοιπόν ένα μικρό μοντέλο φράκταλ για αυτό. Εδώ είναι ένα σπίτι με τον ιερό βωμό, εδώ είναι το σπίτι από σπίτια, το οικογενειακό οίκημα, με τους ανθρώπους εκεί που θα βρισκόταν ο ιερός βωμός, και εδώ είναι το χωριό ολόκληρο -- ένας δαχτύλιος απο δαχτύλιους από δαχτύλιους με την επεκταμένη οικογένεια του αρχηγού εδώ, την άμεση οικογένεια εδώ, και εδώ υπάρχει ένα μικροσκοπικό χωριό τόσο μεγάλο. Μπορεί να αναρωτιέστε, πως χωράνε οι άνθρωποι σε ένα τόσο μικροσκοπικό χωριό; Αυτό γίνεται επειδή είναι πνεύματα. Είναι οι πρόγονοι. Και φυσικά τα πνεύματα έχουν ένα μικροσκοπικό χωριό μέσα στο δικό τους, σωστά; Είναι λοιπόν όπως έλεγε ο Γκέοργκ Καντόρ, η επανάληψη συνεχίζεται για πάντα.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Αυτά είναι τα βουνά Μαντάρα, κοντά στα Νιγηριανά σύνορα με το Καμερούν, Μούκουλεκ, Είδα αυτό το διάγραμμα που το είχε σχεδιάσει ένας Γάλλος αρχιτέκτονας, και σκέφτηκα, "Ουάου! Τι πανέμορφο φράκταλ!" Δοκίμασα λοιπόν να δημιουργήσω ένα αρχικό σχήμα, το οποίο μετά από επανάληψη θα ξεδιπλωνόταν σε αυτό εδώ το πράγμα. Κατέληξα σε αυτή την δομή εδώ πέρα. Ας δούμε, πρώτη επανάληψη, δεύτερη, τρίτη, τέταρτη. Αφού έκανα την προσομείωση, συνειδητοποίησα ότι ολόκληρο το χωριό ακολουθεί μια σπείρα, περίπου έτσι, και εδώ είναι η αναπαραγόμενη γραμμή -- μια αυτό-αναπαραγόμενη γραμμή που ξεδιπλώνεται σε ένα φράκταλ. Πρόσεξα λοιπόν ότι αυτή η γραμμή βρίσκεται εκεί όπου είναι το μοναδικό τετράγωνο κτίσμα στο χωριό. Όταν έφτασα λοιπόν στο χωριό, είπα, "Μπορείτε να με οδηγήσετε στο τετράγωνο κτίσμα; Νομίζω κάτι συμβαίνει εκεί πέρα." Και εκείνοι απάντησαν, "Μπορούμε να σε οδηγήσουμε, αλλά δεν μπορείς να μπεις μέσα επειδή αυτός είναι ο ιερός βωμός, όπου κάνουμε τις θυσίες μας κάθε χρόνο για να διατηρήσουμε τους ετήσιους κύκλους γονιμότητας για τα χωράφια." Και άρχισα να συνειδητοποιώ ότι οι κύκλοι γονιμότητας ήταν περίπου σαν τους επαναληπτικούς κύκλους στον γεωμετρικό αλγόριθμο που το κατασκεύασε. Και η επανάληψη σε κάποια από αυτά τα χωριά συνεχίζεται σε πολύ μικρές κλίμακες.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Εδώ είναι λοιπόν το χωριό Νανκάνι στο Μάλι. Και βλέπετε, μπαίνετε μέσα στο οικογενειακό συγκρότημα -- μπαίνετε μέσα και εδώ είναι κεραμικά στο τζάκι, στοιβαγμένα αναδρομικά. Εδώ είναι κολοκύνθες που μόλις μας έδειχνε η Ίσσα, και είναι στοιβαγμένα αναδρομικά. Η μικρότερη κολοκύνθη εδώ πέρα περιέχει την ψυχή της γυναίκας. Και όταν πεθαίνει, έχουν μια τελετουργία όπου σπάνε αυτή την στοίβα που ονομάζεται ζαλάνγκα και η ψυχή της φεύγει προς την αιωνιότητα. Για ακόμη μια φορά, το άπειρο είναι σημαντικό.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Μπορεί τώρα, να κάνετε στον εαυτό σας τρείς ερωτήσεις. Αυτά τα κλιμακωτά σχέδια δεν είναι καθολικά σε όλες τις αυτόχθονες αρχιτεκτονικές; Και αυτή ήταν η αρχική μου υπόθεση. Όταν πρωτοείδα αυτά τα Αφρικανικά φράκταλς, σκέφτηκα, "Ουάου, κάθε αυτόχθονη ομάδα που δεν έχει μια κρατική κοινωνία, αυτού του είδους η ιεραρχία, πρέπει να έχει κάποιου είδους από τα κάτω προς τα άνω αρχιτεκτονική." Αλλά αυτό προκύπτει ότι δεν είναι αλήθεια.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Άρχισα να μαζεύω εναέριες φωτογραφίες αρχιτεκτονικής Ιθαγενών Αμερικανών και Νότιου Ειρηνικού μόνο οι Αφρικανικές ήταν φράκταλ. Και αν το σκεφτείτε, όλες αυτές οι διαφορετικές κοινωνίες έχουν διαφορετικά γεωμετρικά σχεδιαστικά θέματα που χρησιμοποιούν. Οι Ιθαγενείς Αμερικάνοι χρησιμοποιούν έναν συνδυασμό από κυκλική γεωμετρία και τετραπλής συμμετρίας. Μπορείτε να δείτε πάνω στα κεραμικά και τα καλάθια. Εδώ είναι μια εναέρια φωτογραφία από ερείπια των Ανασάζι μπορείτε να δείτε ότι είναι κυκλικό στην μεγαλύτερη κλίμακα, αλλά ορθογώνιο στην μικρότερη κλίμακα, σωστά; Δεν είναι το ίδιο σχέδιο σε δύο διαφορετικές κλίμακες.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Δεύτερον μπορεί να ρωτήσετε, "Λοιπόν, Δρ Έγκλας, δεν αγνοείτε την ποικιλότητα των Αφρικανικών πολιτισμών;" Και τρείς φορές, η απάντηση είναι όχι. Πρώτα απ' όλα, συμφωνώ με το θαυμάσιο βιβλίο του Μουντίμπε, "Η εφεύρεση της Αφρικής," ότι η Αφρική είναι μια τεχνητή εφεύρεση πρώτα του αποικισμού, και έπειτα αντιτιθέμενων κινημάτων. Όχι, επειδή μια ευρέως διαδεδομένη σχεδιαστική πρακτική δεν συνεπάγεται απαραίτητα ενιαίο πολιτισμό -- και σίγουρα δεν είναι στο DNA. Και τέλος, τα φράκταλς έχουν αυτό-ομοιότητα -- είναι όμοια με τον εαυτό τους, αλλά όχι απαραίτητα το ένα με το άλλο -- βλέπετε πολλές διαφορετικές εφαρμογές των φράκταλς. Είναι μια διαδεδομένη τεχνολογία στην Αφρική.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Και τέλος, αυτό δεν είναι απλά διαίσθηση; Δεν είναι στην πραγματικότητα μαθηματική γνώση. Οι Αφρικανοί δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιούν στα αλήθεια φράκταλ γεωμετρία, σωστά; Δεν είχε ανακαλυφθεί, παρά μόνο την δεκαετία του 70. Λοιπόν, είναι αλήθεια ότι ορισμένα Αφρικανικά φράκταλ είναι απ' όσο γνωρίζω απλή διαίσθηση. Κάποια απ' αυτά τα πράγματα, τριγυρνούσα στους δρόμους του Ντακάρ ρωτώντας κόσμο, "Ποιός είναι ο αλγόριθμος; Ποίος είναι ο κανόνας για να κατασκευάσεις αυτό;" και εκείνοι λέγαν, "Λοιπόν, απλά το φτιάχνουμε έτσι επειδή φαίνεται ωραίο, χαζέ." (Γέλια) Μερικές φορές όμως, δεν έχουν έτσι τα πράγματα. Σε μερικές περιπτώσεις, υπήρχαν αλγόριθμοι, και πολύ εκλεπτυσμένοι αλγόριθμοι. Στην γλυπτική των Μανγκουέτου λοιπόν, θα βλέπατε αυτή την επαναληπτική γεωμετρία. Σε Εθιοπιανούς σταυρούς, βλέπετε ότι ξεδιπλώνετε αυτό το υπέροχο σχήμα.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
Στην Ανγκόλα, οι Τσόκγουι σχεδιάζουν γραμμές στην άμμο, και είναι αυτό που ο Γερμανός μαθηματικός Όιλερ αποκαλούσε γραφική τώρα το αποκαλούμε διαδρομή Όιλερ -- δεν μπορείτε να σηκώσετε τον στυλό σας από την επιφάνεια και δεν μπορείτε να περάσετε πάνω από την ίδια γραμμή δύο φορές. Το κάνουν όμως επαναληπτικά, και το κάνουν με ένα ηλικιακό σύστημα, τα μικρά παιδιά λοιπόν μαθαίνουν αυτό, και τα μεγαλύτερα παιδιά εκείνο, η επόμενη ηλικιακή ομάδα, μαθαίνει αυτό. Και με κάθε επανάληψη του αλγορίθμου, μαθαίνεις τις επαναλήψεις του μύθου. Μαθαίνεις το επόμενο επίπεδο γνώσης.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
Και τέλος, παντού στην Αφρική, βλέπεις αυτό το επιτραπέζιο παιχνίδι. Ονομάζεται Ογουάρι στην Γκάνα, όπου το μελέτησα Μανκάλα εδώ στην ανατολική ακτή, Μπάο στην Κένυα, Σόγκο αλλού. Λοιπόν, βλέπετε αυτό-οργανωτικά σχέδια που εμφανίζονται αυθόρμητα σ'αυτό το επιτραπέζιο παιχνίδι. Και οι άνθρωποι στην Γκάνα γνώριζαν για αυτά τα αυτό-οργανωτικά σχέδια και τα χρησιμοποιούσαν στρατηγικά. Αυτή είναι λοιπόν πολύ συνειδητή γνώση.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Εδώ είναι ένα θαυμάσιο φράκταλ. Οπουδήποτε και αν πας στο Σαχέλ, θα δείς αυτό το πέτασμα για τον άνεμο. Και φυσικά οι φράχτες ανά τον κόσμο είναι όλοι Καρτεσιανοί, όλοι αυστηρώς γραμμικοί. Αλλά εδώ στην Αφρική, έχεις αυτούς τους μη γραμμικούς κλιμακωτούς φράχτες. Εντόπισα λοιπόν έναν από τους ανθρώπους που φτιάχνει αυτά τα πράγματα, έναν τύπο στο Μάλι λίγο έξω από το Μπάμακο, και τον ρώτησα, "Πώς και φτιάχνεις φράκταλ φράχτες; Επειδή κανείς άλλος δεν το κάνει." Και η απάντηση του ήταν πολύ ενδιαφέρουσα. Είπε, "Αν ζούσα στην ζούγκλα, θα χρησιμοποιούσα μόνο μακριές σειρές από άχυρα, επειδή είναι πολύ γρήγορα, και είναι πολύ φτηνά. Δεν παίρνει πολύ χρόνο, δεν χρειάζεται πολύ άχυρο." Είπε, "Αλλά ο άνεμος και η σκόνη το διαπερνάνε πολύ εύκολα. Οι σφιχτές σειρές τώρα που βρίσκονται πάνω, κρατάνε απ'έξω τον άνεμο και την σκόνη. Αλλά παίρνει πολύ χρόνο, και πολύ άχυρο, επειδή είναι πολύ σφιχτά." "Τώρα," είπε, "γνωρίζουμε απο εμπειρία ότι όσο πιο ψηλά βρίσκεσαι, τόσο πιο δυνατα φυσάει ο άνεμος." Σωστα; Είναι σαν μια ανάλυση κόστους οφέλους. Και μέτρησα τα μήκη των αχύρων, τα έβαλα σε ένα λογαριθμικό διάγραμμα, έλαβα τον εκθέτη διακλιμάκωσης, και είναι σχεδόν ο ίδιος με τον εκθέτη διακλιμάκωσης για την σχέση μεταξύ ταχύτητας ανέμου και ύψους στο εγχειρίδιο μηχανικής ανέμου. Αυτοί οι τύποι λοιπόν βρήκαν ακριβώς μια πρακτική χρηση της τεχνολογίας διακλιμάκωσης.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Το πιο πολύπλοκο παράδειγμα αλγοριθμικής προσέγγισης σε φράκταλς το οποίο βρήκα δεν βρισκόταν στην γεωμετρία, ήταν ένας συμβολικός κώδικας, και αυτό ήταν Μπάμανα μαντεία άμμου. Και το ίδιο σύστημα μαντείας εντοπίζεται σε όλη την Αφρική. Μπορείτε να το βρείτε στην Ανατολική Ακτή όσο στην Δυτική Ακτή, και συχνα τα σύμβολα διατηρούνται, το καθένα από αυτά τα σύμβολα έχει τέσσερα μπίτ -- είναι μια δυαδική λέξη με τέσσερα μπίτ -- σχεδιάζεις αυτές τις γραμμές στην άμμο τυχαία, και μετά μετράς, και αν είναι μονός αριθμός, χαράζεις μια φορά, και αν είναι ζυγός αριθμός, χαράζεις δύο φορές. Και το έκαναν αυτό πολύ γρήγορα, και δεν μπορούσα να καταλάβω από που έβρισκαν -- το έκαναν τυχαία μονάχα τεσσερις φορές -- δεν μπορούσα να καταλάβω από που έβρισκαν τα υπόλοιπα 12 σύμβολα. Και δεν μου έλεγαν. Λέγανε, "Όχι, όχι, δεν μπορώ να σου πώ για αυτό." Και είπα, "Κοιτάχτε, θα σε πληρώσω, μπορείς να γίνεις ο δάσκαλός μου, και θα 'ρχομαι κάθε μέρα και θα σε πληρώνω." Είπαν, "Δεν είναι θέμα χρημάτων. Αυτό είναι ένα θρησκευτικό θέμα."
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
Και τέλος, από απόγνωση, είπα, "Λοιπόν, αφήστε με να σας εξηγήσω για τον Γκέοργκ Καντόρ το 1877." Και άρχισα να εξηγώ γιατί ήμουν στην Αφρική, και άρχισαν να ενθουσιάζονται όταν είδαν το σύνολο Καντόρ. Και ένας από αυτόυς είπε, "Έλα εδώ, νομίζω ότι μπορώ να σε βοηθήσω." Μου έδειξε λοιπόν την διαδικασία έναρξης μιας τελετής ενός Μπάμανα ιερέα. Και φυσικά, ενδιαφερόμουν μόνο για τα μαθηματικά, όλη την ώρα λοιπόν, κουνούσε το κεφάλι του λέγοντας, "Ξέρεις, εγώ δεν το έμαθα με αυτόν τον τρόπο." Αλλά έπρεπε να κοιμάμαι με ένα καρύδι κόλα δίπλα στο κρεβάτι μου, θαμένο στην άμμο, και να δώσω επτά νομίσματα σε επτά λεπρούς και ούτω καθεξής. Και επιτέλους, αποκάλυψε την αλήθεια του θέματος. Και προκύπτει ότι είναι μια ψεύδο-τυχαία γεννήτρια αριθμών που χρησιμοποιεί ντετερμινιστικό χάος. Όταν έχεις ένα τετρά-μπιτο σύμβολο, το τοποθετείς στην συνέχεια δίπλα σε ένα άλλο. Έτσι ζυγός και μονός δίνει μονό. Μονός και ζυγός δίνει μονό. Ζυγός και ζυγός δίνει ζυγό. Μονός και μονός δίνει ζυγό. Έιναι modulo 2 πρόσθεση, ακριβώς όπως στον έλεγχο ισοτιμίας μπίτ στον υπολογιστή. Και μετά παίρνεις αυτό το σύμβολο, και το βάζεις πάλι πίσω είναι λοιπόν μία αυτο-παραγώμενη ποικιλομορφία συμβόλων. Χρησιμοποιούν πραγματικά ένα είδος ντετερμινιστικού χάους όταν το κάνουν αυτό. Τώρα, επειδή είναι δυαδικός κώδικας, μπορείς να το εφαρμόσεις σε υπολογιστές -- τι φανταστικό εργαλείο μάθησης θα ήταν για Αφρικανικές μηχανικές σχολές.
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
Και το πιο ενδιαφέρον που έμαθα για αυτό ήταν ιστορικό. Τον 12ο αιώνα, ο Χιούγκο της Σάνταλλια το έφερε από Ισλαμιστές μυστικιστές στην Ισπανία. Και εκεί εισήλθε στην αλχημική κοινότητα ως γεωμαντία: μαντεία μέσω της γής. Αυτό είναι ένα γεωμαντικό διάγραμμα σχεδιασμένο για τον βασιλιά Ριχάρδο II το 1390. Ο Λάιμπνιτζ,ο Γερμανός μαθηματικός, αναφέρθηκε στην γεωμαντία στην διατριβή του με τίτλο "Μέθοδος της γεωμετρικής ερεύνης." Και είπε, "Αντίν να χρησιμοποιούμε μία γραμμή και δύο γραμμές, ας χρησιμοποιήσουμε ένα και μηδέν, και μπορούμε να μετράμε με δυνάμεις του δύο." Σωστά; Μηδέν και ένα, ο δυαδικός κώδικας. Ο Τζώρτζ Μπούλ πήρε των δυαδικό κώδικα του Λάιμπνιτζ και δημιούργησε την άλγεβρα Μπούλ, και ο Τζον φον Νόιμαν πήρε την άλγεβρα Μπούλ και δημιούργησε τον ψηφιακό υπολογιστή. Όλα αυτά λοιπόν τα PDA και τα λάπτοπ -- κάθε ψηφιακό κύκλωμα στον κόσμο -- άρχισε στην Αφρική. Και γνωρίζω ο Μπράιαν Ένο λέει ότι δεν υπάρχει αρκετή Αφρική στους υπολογιστές, ξέρετε, νομίζω ότι δεν υπάρχει αρκετή Αφρικανική ιστορία στον Μπράιαν Ένο. (Χειροκρότημα)
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Αφήστε με να τελειώσω με λίγα λόγια για κάποιες εφαρμογές που βρήκαμε για αυτό. Και μπορείτε να πάτε στην ιστοσελίδα μας, οι εφαρμογές είναι όλες δωρεάν, τρέχουν απλά στον περιηγητή. Οποιοσδήποτε στον κόσμο μπορεί να τα χρησιμοποιήσει. Το πρόγραμμα National Science Foundation's Broadening Participation in Computing μας απένειμε πρόσφατα μια χορηγία για να φτιάξουμε μία προγραμματιζόμενη εκδοχή αυτών των εργαλείων, έτσι σε τρία χρόνια, ο καθένας θα μπορεί να μπεί στο διαδίκτυο και να φτιάξει την δικιά του προσομείωση και το δικό του τεχνούργημα. Επικεντρωθήκαμε στις Η.Π.Α. , πάνω σε Αφρικάνο-Αμερικανούς φοιτητές όπως επίσης και σε Αυτόχθονες Αμερικανούς και Λατίνους. Βρήκαμε στατιστικά σημαντική βελτίωση με παιδιά που χρησιμοποιούσαν αυτό το λογισμικό σε μια τάξη μαθηματικών σε σχέση με μία ομάδα ελέγχου που δεν είχε αυτό το λογισμικό. Είναι λοιπόν πολύ πετυχημένο να διδάσκεις σε παιδιά ότι έχουν μια κληρονομιά που αφορά τα μαθηματικά, ότι δεν πρόκειται μόνο για τραγούδια και χορούς. Ξεκινήσαμε ένα πιλοτικό πρόγραμμα στην Γκάνα, λάβαμε μια αρχική υποτροφία, για να δούμε αν ο κόσμος ήταν διατεθειμένος να δουλέψει με μας πάνω σε αυτό, είμαστε πολύ ενθουσιασμενοι για τις μελλοντικές δυνατότητες.
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Δουλέψαμε επίσης πάνω στον σχεδιασμό. Δεν έβαλα το όνομά του εδώ -- ο συνάδελφος μου, ο Κέρυ, στην Κένυα, σκέφτηκε αυτήν την σπουδαία ιδέα για χρήση φράκταλ δομών για ταχυδρομικές διευθύνσεις σε χωριά που έχουν φράκταλ δομή, επειδή αν προσπαθήσεις να επιβάλεις ένα πλεγματικό ταχυδρομικό σύστημα σε ένα φράκταλ χωριό, δεν χωράει ακριβώς. Ο Μπέρναρντ Τσούμι στο Πανεπιστήμιο του Κολούμπια το χρησιμοποίησε σε ένα σχέδιο για ένα μουσείο Αφρικανικής τέχνης O Ντέιβιντ Χιούς στο Πανεπιστήμιο του Οχάιο έχει γράψει ένα αλφαβητάρι πάνω στην Αφροκεντρική αρχιτεκτονική στο οποίο έχει χρησιμοποιήσει κάποιες από αυτές τις φράκταλ δομές.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Και τέλος, ήθελα απλά να τονίσω ότι αυτή η ιδέα της αυτό-οργάνωσης, όπως ακούσαμε νωρίτερα, είναι στον εγκέφαλο. Είναι μέσα -- είναι στην μηχανή αναζήτησης της Google. Στην πραγματικότητα, ο λόγος που η Google ήταν τέτοια επιτυχία είναι επειδή ήταν οι πρώτοι που εκμεταλεύτηκαν τις αυτ'ο-οργανωτικές ιδιότητες του διαδικτύου. Είναι στη οικολογική αειφορία. Είναι στην αναπτυξιακή δύναμη της επιχειρηματικότητας, της ηθικής δύναμης της δημοκρατίας. Είναι επίσης σε μερικά άσχημα πράγματα. Η αυτό-οργάνωση είναι που ο ιός του AIDS διαδίδεται τόσο γρήγορα. Και αν δεν νομίζετε ότι ο καπιταλισμός, που είναι αυτό-οργανωτικός, έχει καταστροφικές συνέπειες, δεν έχετε ανοίξει τα μάτια σας αρκετά. Πρέπει να σκεφτούμε λοιπόν, όπως ειπώθηκε νωρίτερα, τις παραδοσιακές Αφρικανικές μεθόδους για αυτό-οργάνωση. Αυτοί είναι εύρωστοι αλγόριθμοι. Αυτοί είναι τρόποι αυτοοργάνωσης -- για επιχειρηματικότητα -- που είναι ευγενείς, που είναι ισότιμοι. Αν θέλουμε να βρούμε έναν καλύτερο τρόπο να κάνουμε αυτού του είδους την δουλειά, δεν χρειάζεται να κοιτάξουμε μακρύτερα από την Αφρική για να βρούμε αυτους τους εύρωστους αυτό-οργανωμένους αλγόριθμους. Σας ευχαριστώ.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.