Meine Geschichte beginnt 1877 in Deutschland, mit einem Mathematiker namens Georg Cantor. Cantor beschloss eine Linie zu nehmen und das mittlere Drittel der Linie auszuradieren, und dann die zwei resultierenden Linien zurück in den gleichen rekursiven Prozess zu bringen. Er beginnt mit einer Linie, dann zwei, und dann vier, dann 16, und so fort. Und wenn er das unendlich oft macht, was in der Mathematik möglich ist, hat er am Ende unendlich viele Linien, von der jede eine unendliche Anzahl an Punkten in sich hat. So erkannte er, dass er eine Menge hatte, in der die Anzahl der Elemente unendlich war. Und das machte ihn verrückt. Wirklich. Er ließ sich einweisen. (Lachen) Und als er das Sanatorium verließ, war er überzeugt, dass er auf der Welt war, um die transfinite Mengenlehre zu begründen, weil die größte unendliche Menge Gott selbst wäre. Er war ein sehr religiöser Mann. Er war ein Mathematiker auf einer Mission.
I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Andere Mathematiker befassten sich mit den gleichen Dingen. Von Koch, ein schwedischer Mathematiker, beschloss, Linien zu addieren statt sie zu subtrahieren. Und so bekam er diese schöne Kurve. Es gibt keinen besonderen Grund für diese Ausgangsform; wir könnten jede Ausgangsform nehmen. Ich arrangiere das mal um und mache es z. B. hier unten fest. Durch Wiederholung entwickelt diese Ausgangsform eine ganz anders aussehende Struktur. Bei dieser so genannten Selbstähnlichkeit sieht ein Teil aus wie das Ganze. Das gleiche Muster in verschiedenen Größen.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Mathematiker fanden das sehr seltsam: denn während man den Maßstab verkleinert, verlängert sich gemessene Länge. Und da sie den Vorgang unendlich oft wiederholten, wurde der Maßstab unendlich klein, während die Länge gegen unendlich ging. Verwirrend! Sie deklarierten diese Kurven für pathologisch und verbannten sie ganz nach hinten in die Mathematikbücher. (Lachen) Und das funktionierte ein paar hundert Jahre.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
1977 erkannte Benoit Mandelbrot, ein französischer Mathematiker, wenn man Computergrafik nutzt und die Formen, die er Fraktale nannte, verwendet, erhält man die Formen der Natur. Man erhält menschliche Lungen, Akazienbäume, Farne, man erhält diese schönen, natürlichen Formen. Wenn Sie Daumen und Zeigefinger nehmen und die Stelle betrachten, wo sie aufeinandertreffen — machen Sie das jetzt — und entspannen Sie Ihre Hand, dann sehen Sie eine Falte, dann eine Furche darin, dann noch eine Falte in der Furche. Nicht wahr? Ihr Körper ist mit Fraktalen bedeckt. Und die Mathematiker, die sie für pathologisch erklärt hatten? Sie atmeten diese Worte mit fraktalen Lungen. Das ist sehr ironisch. Ich zeige Ihnen hier eine kleine natürliche Rekursion. Wieder nehmen wir die Linie und ersetzen sie rekursiv durch die ganze Form. Hier ist der zweite Durchgang, der dritte, vierte, und so weiter.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Die Natur hat also selbstähnliche Strukturen. Sie nutzt selbstorganisierende Systeme. In den 1980ern bemerkte ich zufällig, dass man Fraktale auf Luftaufnahmen eines afrikanischen Dorfes sieht. Und ich dachte: "Fabelhaft! Ich frage mich, warum?" Natürlich musste ich in Afrika nachfragen. Ich bekam ein Fullbright-Stipendium und reiste ein Jahr durch Afrika, wo ich die Leute fragte, warum sie Fraktale bauten, was ein toller Job ist, wenn man ihn kriegen kann. (Lachen)
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Schließlich kam ich in eine Stadt – ich hatte ein kleines fraktales Modell für sie gemacht, nur um mir einen Eindruck zu verschaffen – aber als ich ankam – ich ging zum Palast des Oberhaupts und mein Französisch ist nicht sehr gut. Ich sagte so etwas wie: "Ich bin Mathematiker und möchte auf Ihrem Dach stehen." Aber er nahm es locker und brachte mich hinauf und wir sprachen über Fraktale. Und er sagte: "Oh ja! Wir kennen das Rechteck im Rechteck, wir wissen alles darüber." Ich fand heraus, dass das königliche Siegel ein Rechteck im Rechteck im Rechteck zeigt, und der Weg durch den Palast ist diese Spirale hier. Und wenn man dem Weg folgt, muss man immer höflicher werden. Geometrische Skalierung als Spiegel sozialer Stufen: ein bewusstes Muster. Es ist nicht unbewusst wie das Fraktal eines Termitenhaufens.
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Das ist ein Dorf im Süden Sambias. Die Ba-ila haben dieses Dorf mit einem Durchmesser von etwa 400 m gebaut. Es ist ein riesiger Ring. Die Ringe der familiären Einfriedungen werden nach hinten hin immer größer, und nahe der Rückseite ist der Ring des Oberhaupts, und dann die unmittelbare Familie des Oberhaupts in diesem Ring. Hier ein Modell. Hier ist ein Haus mit einem heiligen Altar, hier ist das Haus der Häuser, die Familieneinfriedung, mit den Menschen da, wo der geheiligte Altar wäre, und hier nun das Dorf als Ganzes — ein Ring von Ringen von Ringen mit der Großfamilie des Oberhaupts hier, und hier ist ein kleines Dorf, das nur so groß ist. Sie könnten sich fragen, wie Menschen in ein so kleines Dorf passen können? Das geht, weil es Geister sind. Es sind die Vorfahren. Und natürlich haben die Geister ein kleines Mini-Dorf im Dorf. Es ist so, wie Georg Cantor sagte: Die Rekursion setzt sich auf immer fort.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Das ist in den Mandara-Bergen, nahe der Grenze zu Nigeria in Kamerun, Mokoulek. Ich sah dieses Diagramm von einem französischen Architekten und dachte: "Wow! Was für ein schönes Fraktal!" Also suchte ich ein Ausgangsmuster, das sich in dieses Ding entwickeln würde. Ich fand diese Struktur hier. Mal sehen, erste Wiederholung, zweite, dritte, vierte. Nach der Simulation bemerkte ich, dass das gesamte Dorf spiralförmig verläuft, genau so. Und hier ist die sich selbst replizierende Linie, die zu einem Fraktal wird. Ich bemerkte, dass die Linie etwa dort ist, wo das einzige quadratische Gebäude im Dorf ist. Als ich in das Dorf kam, sagte ich: "Könnt ihr mich zu dem Gebäude bringen? Ich glaube, dort geht etwas vor sich." Und sie: "Das können wir, aber du darfst nicht hinein, weil es ein heiliger Altar ist, wo wir jedes Jahr Opfer bringen, um die Fruchtbarkeitszyklen der Felder zu erhalten." Und ich begann zu erkennen, dass die Fruchtbarkeitszyklen genau wie die rekursiven Zyklen der Algorithmen waren, die dies erzeugen. Und das setzt sich in manchen Dörfern bis zur kleinsten Ebene fort.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Hier ist ein Nankani-Dorf in Mali. Wie man sieht, geht man in die Umfriedung der Familie hinein — und hier sind Töpfe bei der Feuerstelle rekursiv aufgestapelt. Das hier sind Kalebassen, die Issa uns gerade gezeigt hat, und sie sind rekursiv gestapelt. Die kleinste Kalebasse hier drinnen bewahrt die Seele der Frau auf. Und wenn sie stirbt, gibt es eine Zeremonie, wo sie diesen Stapel, Zalanga genannt, zerbrechen und ihre Seele in die Ewigkeit entschwindet. Wieder ist die Unendlichkeit wichtig.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Nun könnten Sie sich drei Fragen stellen. Sind diese skalierenden Muster nicht allen indigenen Architektur gemein? Das war tatsächlich meine ursprüngliche Hypothese. Als ich diese afrikanischen Fraktale zuerst sah, dachte ich: "Wow, jede indigene Gruppe ohne staatliche Gesellschaft, ohne Hierarchie, muss eine Art 'von unten nach oben'-Architektur haben." Aber das stimmt nicht.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Ich sammelte Luftaufnahmen von Bauwerken der indigenen Amerikas und des Südpazifiks; nur die afrikanischen zeigten Fraktale. All diese unterschiedlichen Gesellschaften nutzen andere geometrische Motive. Die amerikanischen Indigenen kombinieren kreisförmige und vierfache Symmetrien. Man erkennt es auf den Töpfereien und Körben. Hier ist eine Luftaufnahme einer Anasazi-Ruine; Sie sehen, wie es im größten Maßstab kreisförmig, im kleinsten aber rechteckig ist, richtig? Es ist nicht das gleiche Muster in zwei unterschiedlichen Maßstäben.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Sie könnten fragen: "Dr. Eglash, ignorieren Sie nicht die Vielfalt der afrikanischen Kulturen?" Nein, nein und wieder nein. Zuallererst stimme ich Mudimbes wunderbarem Buch "Die Erfindung Afrikas" zu, dass Afrika eine Erfindung des frühen Kolonialismus und dann der Gegenbewegungen ist. Denn eine weitverbreitete Entwurfsmethode erzeugt nicht zwangsläufig kulturelle Einheit — und es sitzt definitiv nicht "in der DNA". Schlussendlich sind die Fraktale selbstähnlich — sie ähneln sich selbst, aber nicht notwendigerweise einander — es gibt ganz verschiedene Anwendungen für Fraktale. Es ist eine verbreitete Technologie in Afrika.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Und letztlich: Ist das nicht nur Intuition? Es ist nicht wirklich mathematisches Wissen. Afrikaner können unmöglich wirklich fraktale Geometrie verwenden, oder? Es wurde nicht vor den 1970ern erfunden. Es stimmt: Manche afrikanische Fraktale sind, was mich betrifft, reine Eingebung. Für einige dieser Dinge wanderte ich durch die Straßen Dakars und fragte Leute: "Was ist der Algorithmus? Was liegt dem zugrunde?" und sie sagten: "Na ja, wir machen es so, weil es hübsch aussieht, Dummkopf." (Lachen) Aber manchmal ist das nicht der Fall. In manchen Fällen gibt es tatsächlich sehr ausgeklügelte Algorithmen. In der Bildhauerei der Manghetu findet sich rekursive Geometrie. In äthiopischen Kreuzen sieht man, wie sich diese Form wunderbar auffaltet.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
In Angola zeichnen die Chokwe Linien in den Sand, von der Art, die der deutsche Mathematiker Euler "Graph" nannte — jetzt heißt es Eulerscher Graph: Man kann den Stift nie vom Papier abheben und niemals zweimal die gleiche Linie kreuzen. Aber sie machen es rekursiv und nach einem nach Alter abgestuften System, die kleinen Kindern lernen diese, die älteren Kinder jene und nach der nächsten altersgemäßen Initiation lernt man die hier. Und mit jeder Iteration des Algorithmus lernt man die Iterationen des Mythos. Man lernt die nächste Stufe des Wissens.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
Und schließlich, in ganz Afrika findet man dieses Brettspiel. Es heißt Owari in Ghana, wo ich es gelernt habe; hier an der Ostküste heißt es Mancala, Bao in Kenia, Sogo anderswo. In diesem Spiel tauchen spontane selbstorganisierende Muster auf. Und die Leute in Ghana wussten von diesen Mustern und setzten sie strategisch ein. Das ist also sehr bewusstes Wissen.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Hier ist ein wunderbares Fraktal. Wohin man im Sahel auch geht, findet man diesen Windschutz. Und natürlich sind die Zäune auf der ganzen Welt kartesisch, strikt linear. Aber hier in Afrika findet man nichtlinear skalierte Zäune. Also machte ich einen ausfindig, der so etwas herstellt, ein Typ in Mali gleich außerhalb von Bamako, und fragte ihn: "Wieso baust du fraktale Zäune? Keiner sonst macht das." Und seine Antwort war sehr interessant. Er sagte: "Wenn ich im Dschungel lebte, würde ich nur lange Strohreihen verwenden, weil es sehr schnell geht und sie sehr billig sind. Es braucht nicht viel Zeit und nicht viel Stroh. Aber Wind und Staub gehen ziemlich leicht hindurch. Die dichten Reihen ganz oben halten Wind und Staub zurück. Aber man braucht viel Zeit und Stroh, weil sie wirklich dicht sind. Nun, wir wissen aus Erfahrung, dass, je weiter man vom Boden weg ist, der Wind umso stärker bläst." Richtig? Es ist genau wie eine Kosten-Nutzen-Analyse. Und ich maß die Länge des Strohs ab, trug es auf Logarithmenpapier ein, erhielt den skalierenden Exponenten, und es gleicht fast exakt dem Skalierungsexponent für das Verhältnis zwischen Windgeschwindigkeit und Höhe im Windingenieurwesenshandbuch. Diese Typen haben also ihren Finger auf einer praktischen Verwendung skalierender Technologie.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Das komplexeste Beispiel einer algorithmischen Herangehensweise an Fraktale war aber nicht in der Geometrie, es war ein symbolischer Code, es handelte sich um die Sandweissagung der Bamana. Dieses Weissagungssystem findet sich in ganz Afrika. Man findet es an der Ostküste sowie an der Westküste, und oft sind die Symbole sehr gut erhalten, und jedes dieser Symbole hat vier Bit — es ist ein binäres 4-Bit-Wort — man zieht diese Linien zufällig in den Sand und dann zählt man ab, und bei einer ungeraden Zahl notiert man einen Strich, und bei einer geraden zwei Striche. Und sie haben das sehr schnell gemacht, und ich konnte nicht verstehen, wie sie auf — sie machten die zufällige Zeichnung nur vier Mal — ich konnte nicht verstehen, wie sie auf die anderen zwölf Symbole kamen. Und sie haben es mir nicht verraten. Sie sagten: "Nein, wir können Ihnen darüber nichts sagen." Und ich sagte: "Schaut, ich bezahle euch, ihr könnt meine Lehrer sein und ich komme jeden Tag und bezahle euch." Sie sagten: "Es ist keine Frage des Geldes. Das ist eine religiöse Angelegenheit."
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
Dann sagte ich aus Verzweiflung: "Lasst mich Georg Cantor im Jahr 1877 erläutern." Und ich begann zu erklären, warum ich in Afrika war und als sie die Cantor-Menge sahen, wurden sie ganz aufgeregt. Einer von ihnen sagte: "Komm her. Ich denke, ich kann dir helfen." Und er führte mich durch den Initiationsritus eines Bamana-Priesters. Und natürlich war ich nur an der Mathematik interessiert und die ganze Zeit schüttelte er seinen Kopf mit den Worten: "Weißt du, so habe ich es nicht gelernt." Also musste ich mit einer Kolanuss, die neben meinem Bett im Sand vergraben war, schlafen, sieben Münzen sieben Leprakranken geben und so. Und zum Schluss enthüllte er die Wahrheit. Es ist ein Pseudozufallszahlengenerator, der deterministisches Chaos verwendet. Wenn man ein 4-Bit-Symbol hat, dann führt man es mit einem anderen seitlich zusammen. Gerade und Ungerade ergibt Ungerade. Ungerade und Gerade ergibt Ungerade. Gerade plus Gerade: Gerade. Ungerade plus Ungerade: Gerade. Es ist eine Modulo-2-Addition, genau wie die Paritätsprüfung in ihrem Computer. Und dann nimmt man das Symbol und beginnt von vorne, es ist also eine selbsterzeugende Symbolvielfalt. Sie verwenden dafür eine Art deterministisches Chaos. Nun, da es ein Binärcode ist, kann man es tatsächlich als Hardware umsetzen — ein fantastisches Lehrmittel, das es in afrikanischen Ingenieurschulen geben sollte.
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
Und das Faszinierendste, das ich darüber herausfand, betrifft die Geschichte. Im 12. Jahrhundert brachte Hugo von Santalla ihn von den islamischen Mystikern nach Spanien. Er fand in der alchemistischen Gemeinde als Geomantie Eingang: Weissagung durch die Erde. Das ist eine geomantische Grafik, die 1390 für König Richard II gezeichnet wurde. Leibniz, der deutsche Mathematiker, schrieb in seiner Dissertation "De Combinatoria" über Geomantie. Und er sagte: "Gut, anstatt einem Strich und zwei Strichen verwenden wir eine Eins und eine Null und wir können mit Zweierpotenzen rechnen." Oder? Einsen und Nullen, der Binärcode. George Boole nahm Leibniz' Binärcode und erschuf die Boolsche Algebra und John von Neumann nahm diese und schuf den digitalen Computer. Also, all die kleinen PDAs und Laptops — jeder digitale Schaltkreis in der Welt — begann in Afrika. Ich weiß, Brian Eno sagt, dass in den Computern nicht genug Afrika steckt, aber wissen Sie, ich denke nicht, dass genug afrikanische Geschichte in Brian Eno steckt. (Lachen) (Applaus)
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Lassen Sie mich also mit einigen Worten über die Anwendungen enden, die wir dafür gefunden haben. Und Sie können auf unsere Website gehen, die Programme sind alle kostenlos; sie laufen einfach im Browser. Alle auf der Welt können sie nutzen. Das Programm der nationalen Wissenschaftsstiftung zur Förderung der Computernutzung hat uns kürzlich einen Zuschuss bewilligt, für eine programmierbare Version dieser Planungswerkzeuge, und hoffentlich können in drei Jahren alle ins Internet, um ihre eigenen Simulationen und Artefakte herzustellen. Wir konzentrierten uns in den USA auf afroamerikanische Schülern, amerikanische Indigene und Latinos. Wir sahen eine große Verbesserung bei Kindern, die im Matheunterricht diese Software verwenden, im Vergleich zu einer Kontrollgruppe, die die Software nicht verwendete. Wir konnten also Kindern beibringen, dass sie ein mathematisches Erbe haben, dass es nicht nur um Singen und Tanzen geht. Wir haben in Ghana ein Pilotprogramm. Wir bekamen eine kleine Starthilfe, um zu sehen, ob die Leute mit uns daran arbeiten wollten und wir freuen uns darauf, was die Zukunft bringt.
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Wir haben auch im Designbereich gearbeitet. Ich habe seinen Namen nicht hier aufgeführt — mein Kollege Kerry in Kenia hatte diese tolle Idee, eine fraktale Struktur für Adressen in Dörfern mit einer fraktalen Struktur zu verwenden, denn wenn man einem fraktalen Dorf ein Postsystem mit Gitterstruktur überstülpen will, passt es nicht recht. Bernhard Tschumi von der Columbia-Universität nutzt es in einem Museumsentwurf für afrikanische Kunst. David Hughes von der Ohio-State-Universität schrieb einen Leitfaden für afrozentrische Architektur, in dem er einige dieser fraktalen Strukturen verwendet.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Zum Abschluss möchte ich betonen, dass die Idee von Selbstorganisation, von der wir zuvor gehört haben, im Gehirn steckt. Sie steckt in der Google-Suchmaschine. Der wirkliche Grund für Googles Erfolg ist der, dass sie sich als Erste die selbstorganisierenden Eigenschaften des Webs zu Nutze gemacht haben. Es steckt in der ökologischen Nachhaltigkeit. Es steckt in der entwicklerischen Macht des Unternehmertums, in der ethischen Macht der Demokratie. Es exisitiert auch in einigen schlechten Dingen. Selbstorganisation ist der Grund, warum sich das AIDS-Virus so schnell ausbreitet. Wenn Sie nicht denken, dass der selbstorganisierende Kapitalismus auch zerstörerische Auswirkungen hat, müssen Sie Ihre Augen weiter öffnen. Wir müssen, wie gesagt, darüber nachdenken, die traditionellen afrikanischen Methoden der Selbstorganisation zu praktizieren. Dies sind robuste Algorithmen. So kann man Selbstorganisation praktizieren — Unternehmertum praktizieren — die behutsam und egalitär ist. Wenn wir diese Art Arbeit besser verrichten wollen, müssen wir nur nach Afrika blicken, um diese robusten, selbstorganisierenden Algorithmen zu finden. Vielen Dank.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.