Jeg vil begynde min historie i Tyskland i 1877 - - med en matematiker der hed Georg Cantor. Cantor fandt på at han ville tage en linje og fjerne den midterste tredjedel, - - og så ville han tage de to resulterende linier og gøre det samme med dem, en rekursiv proces. Han har først en linje, så to, - - så fire, så 16, og så videre. Og hvis han gøre dette uendelig mange gange, hvilket man kan gøre i matematik,- - så ender han med et uendeligt antal linier,- - som hver har uendelig mange punkter i sig. Det gik op for ham at han havde en mængde med antal elementer større end uendelig. Det var mere end hovedet kunne rumme. Bogstaveligt talt. Han blev indlagt på et sanatorium. (Latter) Da han kom ud af sanatoriet, - - var han overbevist om at han var sat på Jorden for at grundlægge den transfinitte mængdelære, - - fordi den største uendelige mængde måtte være Gud selv. Han var en meget religiøs mand. Han var en matematiker med en mission.
I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Og andre matematikere lavede lignende ting. En svensk matematiker, Helge von Koch, - - fandt på at i stedet for at fjerne linier, så ville han tilføje dem. Han kom så frem til en smuk kurve. Og vi behøver ikke at starte med den grundfigur, - - vi kan starte med en hvilken som helst grundfigur. Jeg flytter rundt og sætter den et eller andet sted, dernede, okay - - og ved iterering udvikler denne grundfigur sig til en struktur som ser helt anderledes ud. Alle disse er selv-similære: - - Delen ligner helheden. Det er det samme mønster på mange skalaer.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Matematikere syntes dette var meget mærkeligt, - - for jo mere man formindsker målestokken, jo længere bliver afstanden man måler. Og da de gjorde iterationerne uendelig mange gange, - - så blev målestokken uendelig lille, og afstanden uendelig stor. Det gav ingen mening, - - så de henviste disse kurver til bagerst i matematikbøgerne. De sagde at dette er patologiske kurver og vi behøver ikke diskutere dem. (Latter) Og det virkede i hundrede år.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
I 1977 opdagede Benoit Mandelbrot, en fransk matematiker, - - at hvis man laver computergrafik og bruger de mønstre han kaldte fraktaler, - - så får man naturens former. Man får menneskets lunger, man får akacietræer, man får bregner, - - man får disse smukke naturlige former. Hvis du tager tommel og pegefinger og ser lige der hvor de mødes - - bare prøv det nu - - og slapper af i hånden, så ser du en rynke, - - og en rille indeni rynken og en rynke indeni rillen, ikke? Din krop er dækket af fraktaler. De matematikere som sagde det var patologiske, ubrugelige former, - - de luftede ordene med fraktale lunger. Det er ironisk. Og jeg skal vise jer en lille naturlig rekursion her. Igen tager vi disse linier og erstatter dem rekursivt med hele figuren. Her er så anden iteration, og den tredje, den fjerde og så videre.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Naturen har altså denne selvsimilære struktur. Naturen bruger selvorganiserende systemer. I firserne lagde jeg mærke til - - at hvis du ser på et luftfoto af en afrikansk landsby, så ser du fraktaler. Jeg tænkte: "Det er fabelagtig! Hvorfor mon det?" Så jeg måtte selvfølgelig rejse til Afrika og spørge folk hvorfor. Jeg fik et Fulbright stipendium til at rejse rundt i Afrika i et år - - og spørge folk hvorfor de bygger fraktaler, - - og det er et fedt job hvis du kan få det. (Latter)
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Så jeg kom endelig til denne by, og jeg havde lavet en fraktal model af byen, - - bare for at se hvordan den ville udvikle sig - - men da jeg kom derhen, gik jeg til høvdingens palads, - - og mit fransk er ikke så godt, så jeg sagde noget i retning af: - - "Jeg er matematiker og jeg vil gerne stå på dit tag". Men han tog det afslappet og vi gik derop, - - og snakkede om fraktaler. Han sagde "Nåh ja! Det kender vi godt, en rektangel indeni en rektangel, - - det ved vi alt om". Og så viser det sig at det kongelige symbol har en rektangel indeni en rektangel indeni en rektangel, - - og vejen gennem paladset er faktisk denne spiral. Og efterhånden som man går turen rundt, må man være mere og mere høflig. Så den sociale skala afspejler sig på den geometriske skala. Det er et bevidst mønster. Det er ikke ubevidst som fraktalen i et termitbo.
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Dette er en landsby i det sydlige Zambia. Ba-lla folket byggede denne landsby, 400 m i diameter. Der er en stor ring. Ringene som repræsenterer familiegårde bliver større jo længere man kommer bagenden. Og her er høvdingens ring - - og hans nærmeste familie i den ring. Her er en lille fraktalmodel for det. Her er et hus med det hellige alter, - - her er huset med husene, familiegården, - - med menneskerne her hvor det hellige alter ville være, - - og her er landsbyen i sin helhed - - en ring af ringe af ringe, med høvdingens storfamilie her, hans nærmeste familie her, - - og her er en lille landsby, ikke større end sådan. Du spørger måske hvordan folk kan få plads i en så lille landsby? Det er fordi det er ånder. Det er forfædrene. Og ånderne har selvfølgelig også en miniaturelandsby i deres landsby, ikke? Så det er ligesom Georg Cantor sagde, rekursionen fortsætter for evigt.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Dette er i Mandarabjergene, nær den nigerianske grænse i Kamerun, Mokoulek. Jeg så dette diagram tegnet af en fransk arkitekt, - - og jeg tænkte "wow, hvilken smuk fraktal!" Jeg prøvede derfor at finde en grundfigur, som kunne udvikle sig sådan. Jeg fandt denne struktur. Lad os se, første iteration, anden, tredje, fjerde. Efter jeg gjorde simuleringen, - - så jeg at hele landsbyen går rundt i en spiral, - - og her er den replikerende linje - en selvreplikerende linje som udvikler sig til fraktalen. Så bemærkede jeg at den linje er der hvor landsbyens eneste firkantede bygning ligger. Så da jeg kom til landsbyen, - - sagde jeg "kan du tage mig med til den firkantede bygning, - - jeg tror der foregår noget der." De sagde "Vi kan godt følge dig derhen, men du kan ikke gå ind - - for det er det hellige alter, hvor vi ofrer hvert år - - for at holde gang i markernes frugtbarhedscyklus." Jeg tænkte på at frugtbarhedscykluserne - - var ligesom rekursionen i denne geometriske algoritme. Rekursionen i nogle af disse landsbyer fortsætter ned til meget små skalaer.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Her er en Nankani landsby i Mali. Her kan du se, når du går ind på familiegården - - man går ind og her er gryder på ildstedet, stablet op rekursivt. Her er kalabasfrugter som Issa lige viste os, - - og de er rekursivt stablet. Den mindste kalabas indeholder kvindens sjæl. Og når hun dør, har de en ceremoni - - hvor de åbner stakken som kaldes zalanga og hendes sjæl tager afsted til evigheden. Igen, uendelighed er vigtigt.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Her kunne man spørge sig selv tre spørgsmål. Er disse skaleringsmønstre fælles for alle urfolk? Og det var faktisk min første hypotese. Da jeg først så disse afrikanske fraktaler, - - tænkte jeg: "Wow, hvert urfolk som ikke har et statssamfund, - - den slags hierarki, må have en bottom-up arkitektur." Men det viser sig ikke at passe.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Jeg begyndte at samle luftfotos af indiansk og Sydstillehavets arkitektur; - - men kun de afrikanske var fraktale. Alle disse forskellige samfund har forskellige geometriske design som de bruger. Indianere bruger en kombination af cirkulær symmetri og firfoldig symmetri, - - som du kan se på keramik og kurve. Her er et luftfoto af en af Anasazi ruinerne: - - man ser den er cirkulær på størst skala, men den er rektangulær på mindre skala, ikke? Det er ikke samme mønster på to forskellige skalaer.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
For det andet, kan man spørge, - - "Men Dr. Eglash, ser du ikke bort fra diversiteten af afrikanske kulturer?" Og svaret er nej, på tre måder. For det første er jeg enig i Mudimbes vidunderlige bog "The invention of Africa", - - at Afrika er en kunstig opfindelse som den første kolonialisme gjorde,- - og senere de oppositionelle bevægelser. Nej, fordi en udbredt fælles designpraksis giver ikke nødvendigvis en fælles kultur - - og det er bestemt ikke "i generne". Og sidst: fraktalerne har selvsimilaritet - - så de ligner sig selv, men ikke nødvendigvis hinanden - - man ser meget forskellig brug af fraktaler. Det er en fælles teknologi i Afrika.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Og tilsidst, men er det ikke bare intuition? Det er egentlig ikke matematisk viden. Afrikanere bruger da ikke den fraktale geometri, vel? Den blev ikke opfundet før 70erne. Det er rigtigt at nogle afrikanske fraktaler, efter min mening, er ren intuition. Så nogle af disse ting - jeg kunne gå rundt i Dakars gader - - og spørge folk: "Hvad er algoritmen? Hvad er reglerne for at lave dette?" - og de ville sige, - - "Vi laver det da sådan fordi det er pænt, idiot." Men nogle gange er det ikke tilfældet. Nogle gange ville der faktisk være algoritmer, og ganske sofistikerede algoritmer. I Manghetu skulptur kan man se denne rekursive geometri. I etiopiske kors ser man denne vidunderlige figur udvikle sig.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
Chokwe-folket i Angola trækker streger i sandet, - - og det er hvad den tyske matematiker Euler kaldte en graf, - - og som vi nu kalder en Euler-tur - - man må aldrig løfte griflen fra overfalden - - og man kan aldrig passere den samme streg to gange. Men de gør det rekursivt og de gør det ifølge et alderstrinsystem, - - så de små børn lærer denne her, og de ældre børn lærer denne, - - og ved overgangen til næste alderstrin lærer man denne. Ved hver iteration af algoritmen, - - lærer man skridtene i myten. Man lærer det næste vidensniveau.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
Og til slut, man finder dette brætspil overalt i Afrika. Det kaldes Owari i Ghana, hvor jeg studerede det, - - det kaldes Mancala på østkysten, Bao i Kenya, og Sogo andre steder. Man ser selvorganiserende mønstre som opstår spontant i dette brætspil. Og folkene i Ghana kendte disse selvorganiserende mønstre - - og brugte dem strategisk. Så dette er bevidst kendskab.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Her er en vidunderlig fraktal. Hvor end du går i Sahel ser du denne læskærm. Hegn rundt om i verden er selvfølgelig cartesiske, alle er strengt lineære. Men her i Afrika har man disse ikke-lineære hegn. Jeg opsporede derfor en af de folk der laver disse ting, - - denne fyr i Mali, lige udenfor Bamako, og jeg spurgte ham, - - "Hvordan kan det være du laver fraktale hegn, for det gør ingen andre?" Og hans svar var meget interessant. Han sagde "vel, hvis jeg boede i junglen ville jeg kun bruge de lange rækker af strå - - fordi de er hurtige og billige. Det kræver ikke så mange strå, ikke så meget tid." Han sagde "Men vind og støv går let igennem. - - De tætte rækker oppe ved toppen, de holder virkelig vind og støv ude. - - Men det kræver masser af tid og strå, fordi de er virkelig tætte." "Nu," sagde han, "ved vi af erfaring - - at jo højere over jorden, jo mere blæser det." Ikke også? Det er lige som en cost-benefit analyse. Jeg målte længden på stråene, - - lavede et log-log plot og fandt skaleringseksponenterne, - - og det passer næsten præcist med eksponenten for sammenhængen mellem vind og højde - - i vind-ingeniørens håndbog. Så disse mennesker rammer rigtigt i praktisk brug af skalerings-teknologi.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Det mest komplekse eksempel på fraktaler via algoritmer jeg fandt - - var faktisk ikke geometrisk, det var i symbolsk kode, - - nemlig spådom i sand, som man gør i Bamana-området. Og den samme spådomskunst findes over hele Afrika. Det findes både på østkysten og på vestkysten, - - og symbolerne er ofte de samme, - - så hvert af disse symboler har fire bits - det er et fire-bit ord - - man tegner disse streger tilfældigt i sandet, og så tæller man, - - og hvis der er et ulige antal, slår man en streg, - - og hvis det er lige, slår man to streger. De gjorde det meget hurtigt, - - så jeg forstod ikke hvad det gik ud på, - - de tegnede kun fire tilfældige streger, - - jeg forstod ikke hvor de andre 12 symboler kom fra. Og de ville ikke fortælle mig det. De sagde "Nej, det kan jeg ikke fortælle dig om." Så jeg sagde "Hør, jeg vil betale for det, du kan være min lærer, - - og jeg vil komme hver dag og betale dig." De sagde "Det handler ikke om penge. Det er noget religiøst."
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
Og tilsidst sagde jeg i desperation, - - "Okay, lad mig fortælle om Georg Cantor i 1877." Jeg begyndte at forklare hvorfor jeg var der i Afrika, - - og de blev meget ivrige da de så Cantor-mængden. En af dem sagde "Kom her, jeg tror jeg kan hjælpe dig med det." Og så tog han mig igennem indvielsesritualet for en Bamana præst. Jeg var selvfølgelig kun interesseret i matematikken, - - så han gik hele tiden hovedrystende og sagde, - - "Jeg lærte det altså ikke på den måde." Men jeg måtte sove med en kolanød ved siden af sengen, begravet i sand, - - og give 7 mønter til 7 spedalske og så videre. Og tilsidst afslørede han hvad det handlede om. Og det viser sig at det er en pseudo-tilfældig talgenerator som bruger deterministisk kaos. Du tager et firebit-tal og sætter det ved siden af et andet. Lige plus ulige giver ulige. Ulige plus lige giver ulige. Lige plus lige giver lige. Ulige plus ulige giver lige. Det er addition modulo 2, ligesom paritetskontrollen på din computer. Og så tager du dette symbol og sætter det tilbage igen, - - så det er en selvgenererende mangfoldighed af symboler. De bruger virkelig deterministisk kaos når de gør dette. Fordi det er binær kode, - - kan man faktisk implementere det i hardware, - - hvilket fantastisk læringsværktøj, som burde findes på afrikanske ingeniørskoler.
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
Den mest interessante ting jeg fandt ud af var historisk. I det 12. århundrede importerede Hugo af Santalla det i Spanien fra islamske mystikere. Og der kom det ind i alkymistmiljøet som geomanti: - - spådomskunst med jorden. Dette er et geomanti-kort tegnet for kong Richard II i 1390. Den tyske matematiker Leibniz - - snakkede om geomanti i sin afhandling "De Combinatoria". Og han skrev "I stedet for at bruge en streg og to streger, - - så lad os bruge en og nul, så kan vi tælle med potenser af to." Ikke også? Et-taller og nuller, den binære kode. George Boole tog Leibniz' binære kode og skabte boolsk algebra, - - og John von Neumann tog boolsk algebra og skabte den digitale computer. Så alle disse små PDAer og laptops - - hvert digitalt kredsløb i verden - startede i Afrika. Og jeg ved at Brian Eno siger at der ikke er nok Afrika i computere, - - men jeg synes ikke der er nok afrikansk historie i Brian Eno. (Latter) (applaus)
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Så lad mig slutte med at sige noget om anvendelser for dette som vi har fundet. Og du kan gå til vores websted, - - appleterne er alle gratis, de kører bare i din browser. Alle i verden kan bruge dem. The National Science Foundations program for en bredere deltagelse i brug af computere - - har fornylig givet os støtte til at lave en programmerbar version af disse designværktøjer, - - så om tre år, forhåbentlig, vil alle kunne gå på internettet - - og lave deres egne simuleringer og deres egne ting. Vi har fokuseret på afrikansk-amerikanske studenter i USA og også indiansk-amerikanske og latinoer. Vi har fundet statistisk signifikante fremskridt hos børn som bruger denne software i matematikundervisningen - - sammenlignet med en kontrolgruppe som ikke havde softwaren. Så det er virkelig nyttigt at lære børn at de har en baggrund der handler om matematik, - - at det ikke bare handler om sang og dans. Vi har startet et pilotprojekt i Ghana. Vi fik et lille starttilskud for at se om folk ville arbejde sammen med os om dette. Vi er spændt på de fremtidige muligheder for dette.
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Vi har også arbejdet indenfor design. Jeg har ikke fået hans navn med her - min kollega Kerry i Kenya fik den gode ide - - at bruge fraktale strukturer for postadresser i landsbyer som har en fraktal stuktur, - - for hvis du prøver at indføre et postsystem med en gitterstruktur i en fraktal landsby, - så passer det ikke helt sammen. Bernard Tschumi ved Columbia University holdt op med at bruge det i et design for et museum for afrikansk kunst. David Hughes ved Ohio State University har skrevet en indføring i afrocentrisk arkitektur - - i hvilken han har brugt nogle af disse fraktale strukturer.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Og tilsidst vil jeg bare understrege at denne ide om selvorganisering, - - som vi hørte om tidligere, det findes i hjernen. Det findes i...Googles søgemaskine. Faktisk var grunden til Googles succes - - at de var de første som udnyttede internettets selvorganiserende egenskaber. Det findes i økologisk bæredygtighed. Det findes i den udviklende kraft i entrepenørskab, - - den etiske kraft i demokrati. Det findes også i nogle dårlige ting. Selvorganisering er grunden til at aidsvirusset spreder sig så hurtigt. Og hvis du tror kapitalismen, som er selvorganiserende, ikke har destruktive effekter, - - har du ikke åbnet øjnene. Så vi må tænke på, som det blev sagt før, - - de traditionelle afrikanske metoder for at lave selvorganisering. Det er robuste algoritmer. Det er måder at lave selvorganisering, at lave entrepenørskab, - - som er bløde og som er egalitære. Så hvis vi vil finde en bedre måde at gøre den slags arbejde, - - behøver vi ikke lede længere væk end Afrika, for at finde disse robuste selvorganiseringsalgortimer. Tak.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.