أود أن أبدأ قصتي من ألمانيا,تحديدا في سنة 1877, مع عالم رياضيات يدعى جورج كانتر. حيث قرر كانتر أن يرسم خطا ثم يمحو ثلثه الأوسط, ثم يعيد نفس العملية مع الخطين الحاصلين, طريقة عودية. فبدأ مع سطر واحد ، ثم اثنين ، ثم اربع, ثم 16, وهلم جرا. و اذا استطاع أن يكرر هذا الى ما لا نهاية, وهذا ممكن في الرياضيات, فانه سينتهي مع عدد لا حصر له من الخطوط ، كل منها يحتوي على عدد لا حصر له من النقاط. لذلك أدرك أن بحوزته مجموعة يفوق تعداد مكوناتها اللانهاية. وقد فجر هذا رأسه. بكل ما للكلمة من معنى. فقد التحق بمصحة. (ضحك) و عندما غادر المصحة, كان على قناعة أنه وجد فوق الأرض ليكتشف نظرية المجموعات اللامتناهية, لأن أكبر مجموعة لامتنهاية ستكون الله نفسه. كان شخصا شديد التدين. كان عالم الرياضيات في مهمة.
I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
و قد قام علماء رياضيات آخرين بالشىء ذاته. عالم رياضيات سويدي, فان كوخ, قرر أنه عوضا عن محو الخطوط, فانه سيجمعها. و قد حصل على هذا المنحني الجميل. و ليس هنالك من سبب معين للبدأ بهذا الشكل الأساسي, بامكاننا البدأ بأي شكل أساسي نريد. سأقوم باعادة تشكيل هذا و الصاق هذا أينما أريد -- هنا مثلا, جيد -- و الآن مع التكرار, يتطور هذا الشكل الأساسي الى تركيب ذو شكل مختلف تماما. و كل هذه لديها خاصية التشابه الذاتي : الجزء يبدو كالكل. هو النموذج نفسه و لكن في مقاييس مختلفة.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
الآن ، يعتقد علماء الرياضيات أن هذا كان غريبا جدا ، لأنه كلما تقلص القياس, كنت تحصل على أطوال أكبر. و بما أنهم ذهبوا بالتكرار الى ما لا نهاية, كلما تقلص القياس الى ما لا نهاية, وصل الطول الى ما لا نهاية. لم يكن هذا منطقيا بالمرة, فقاموا بتهميش هذا النوع من المنحنيات. و ادعوا ان هذه المنحنيات مرضية ، و ليس من المفروض مناقشتها. (ضحك) و استمر الأمر كذلك مئات السنين.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
و في سنة 1977, اكتشف بنوا مندلبورت, وهو عالم رياضيات فرنسي, أنه اذا استعملنا الحاسوب في رسم هذه الاشكال التي أطلق عليها اسم الكسريات فسنحصل على أشكال طبيعية. يمكنك الحصول على رئتي انسان, أو شجرة أكاسيا, أو نبات السرخس, ستحصلون على هذه الأشكال الطبيعية الرائعة. إذا أخذت الإبهام والسبابة ، ونظرت في مكان التقائهما -- بامكانكم القيام بذلك الآن -- -- اجعلوا أيديكم مرتخية و ستترون التجاعيد, وبعد ذلك تجعد في تغضن ، وتغضن من داخل تجعد. أليس كذلك؟ جسمك مغطى بالكسريات. علماء الرياضيات الذين قالوا ان هذه الأشكال كانت مرضية غير مجدية؟ كانوا يتنفسون تلك الكلمات برئات ذات أشكال كسرية. هذا يدعو للسخرية. و سأريكم عودية طبيعية صغيرة هنا. مجددا, كل ما نفعله هو أخذ خطوط و استبدالها بشكل متكرر بكامل الشكل. اذا لدينا هنا التكرار الثاني ، والثالث والرابع وهلم جرا.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
فالطبيعة لديها هذا الشكل المتكرر ذاتيا. الطبيعة تستخدم أجهزة ذاتية التنظيم. في الثمانينيات, لاحظت أنه اذا نظرت الى صورة جوية لقرية افريقية, سترى كسريات. وفكرت : "هذا أمر رائع! ولا ندري لماذا؟" و بالطبع كان علي الذهاب الى افريقيا و أسأل الناس عن السبب. لذلك حصلت على منحة فولبرايت للسفر في ربوع افريقيا لمدة سنة سائلا الناس عن السبب وراء بنائهم الكسريات. وهي وظيفة رائعة اذا أمكنك الحصول عليها. (ضحك)
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
أخيرا ذهبت الى هذه المدينة, و رسمت نموذجا كسريا لها فقط لنرى كيف يمكن ان تتكشف -- لكنني عند وصولي, اتجهت الى قصر الزعيم, و بما اني لا أتقن اللغة الفرنسية, قلت ما يشبه, "أنا عالم رياضيات و أود أن أصعد على سقف منزلك." لكنه كان حقا لطيفا، وأخذني هناك الى أعلى، و دار بيننا حديث حول الكسريات. و قد قال, "أجل ، أجل! كنا نعرف عن مستطيل داخل مستطيل ، نعرف كل شىء عن ذلك." واتضح أن شارة الملك تتكون من مستطيل داخل مستطيل داخل مستطيل ، وأن الطريق خلال هذا القصر هو في الواقع على شكل هذه الدوامة. و كلما تقدمت في هذا المسار, عليك أن تكون رفيعا أكثر فأكثر. انهم يرسمون السلم الاجتماعي على شكل السلم الهندسي, انه نمط واع. وليس من اللاوعي مثل كسورية تل النمل الأبيض.
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
هذه قرية في جنوب زمبيا. أنشأت قبيلة "الباللا" هذه القرية بقطر يبلغ 400 متر. انها حلقة ضخمة. الحلقات التي تمثل حاضنات الأسر تصبح أوسع فأوسع كلما عدت الى الخلف, ثم نجد الحلقة الخاصة بالزعيم هنا في الخلف ثم العائلة المقربة من الزعيم في تلك الحلقة. لدينا هنا نموذجا كسريا لها. لدينا هنا بيت يضم المذبح مقدس, و هنا مجمع البيوت, العائلة المقربة, مع البشر هنا حيث المذبح المقدس, و هنا منظر عام للقرية -- حلقة من حلقات حلقة مع العائلة الموسعة للرئيس هنا ، وأسرة الرئيس المباشر هنا ، وهنا توجد قرية صغيرة فقط بهذا الحجم. علينا الآن أن نتساءل ، كيف يمكن لهؤلاء الناس التأقلم في قرية صغيرة فقط بهذا الحجم؟ ذلك لانهم شعب ذو روح. انهم الاجداد. وبطبيعة الحال فان شعب ذو روح يملك قرية مصغرة في قريتهم ، أليس كذلك؟ لذلك الأمر تماما كما قال جورج كانتور ، العودية تستمر إلى الأبد.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
هذه جبال ماندارا ، بالقرب من الحدود النيجيرية في الكاميرون موكولاك. شاهدت هذا المخطط الذي رسمه مهندس فرنسي ، و قلت في نفسي, "واو! يا لها من كسورية جميلة!" لذلك حاولت أن آتي بالشكل الأساسي, و الذي, عند تكراره ، سيتحول الى هذا الشكل. أتيت هنا بهذا الشكل. دعونا نرا, الاعادة الاولى, الثانية, الثالثة, الرابعة. الآن, بعد أن قمت بالمحاكاة, أدركت أن القرية بأكملها متكونة من اللوالب حولها ، تماما مثل هذا ، وهنا هذا الخط المتكرر -- خط ذاتي التكرار والذي يتحول الى كسورية. حسنا ، لاحظت أن الخط يوجد حول مكان المبنى الوحيد في ساحة القرية. لذلك عندما وصلت الى القرية, فقلت : "هل تستطيع أن تأخذني إلى البناء المربع؟ وأعتقد أن شيئا ما يحدث هناك ". فقالوا : "حسنا ، يمكننا أخذك هناك ، ولكن لا يمكنك الدخول لأن هذا هو المذبح المقدس ، حيث نقوم بتقديم القرابين كل عام للحفاظ على تلك الدورات السنوية للخصوبة في الحقول ". و بدأت حينها أدرك أن دورات الخصوبة تلك كانت تماما مثل الدورات المتكررة في الخوارزمية الهندسية التي تبني هذا. والعودية في بعض هذه القرى تصل الى مستوى صغير جدا.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
هذه قرية نانكاني في مالي. تستطيعون رؤية, يمكنكم الولوج داخل حاضنة الأسرة -- يمكنكم الولوج داخلها, وهنا الأواني في الموقد ، مكدسة بشكل متكرر. و هنا الأواني التي كان عيسى يرينا اياها, وهي مكدسة بشكل متكرر. الآن, الآنية الأصغر هنا تحوي روح المرأة. و عندما تفارق الحياة, يقومون بطقوس حيث يقومون بكسر هذه الكومة المسماة زلنغا فتذهب روحها الى الخلود. مرة أخرى, نرى أهمية اللانهاية.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
الآن, قد تخطر ببالك ثلاثة أسئلة في هذه المرحلة. أليست هذه النماذج المتكررة تشمل جميع الهندسات المعمارية للسكان الأصليين؟ وكانت تلك في الواقع فرضيتي الأصلية. عندما شاهدت هذه الكسريات الافريقية لأول مرة, فقلت في نفسي, "واو, اذا فان أي مجموعة من السكان الأصليين و التي لا تملك مجتمع حكم, هذا الشكل من التسلسل الهرمي, ينبغي أن تكون له هذه الهندسة المقلوبة ". و لكن تبين أن هذا الأمر ليس بصحيح.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
بدأت بجمع صور فضائية لفن العمارة لسكان أمريكا الأصليين و جنوب المحيط الهادي, وحدها العمارة الافريقية كانت تحوي كسريات. وإذا فكرت في ذلك ، فان جميع هذه المجتمعات المختلفة تملك تصاميم هندسية مختلفة تستخدمها. فسكان أمريكا الأصليون استخدموا مزيجا من الدوائر المتناظرة و تناظرا رباعيا. يمكن رؤية ذلك في الخزفيات و في الأحذية. هذه صورة فضائية الى احدى آثار قبيلة الاناسازي يمكنك ان ترى انها دائرية في النطاق الأوسع ، لكنها مستطيلة في النطاق الأصغر ، أليس كذلك؟ وليس النمط نفسه على المستويين المختلفين.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
ثانيا, يمكنك أن تسأل, "حسنا, دكتور اغلاش, ألست تتجاهل تنوع الثقافات الأفريقية؟" وبكل تأكيد, الجواب هو لا. أولا وقبل كل شيء ،أنا أتفق مع كتاب مودنبي الرائع "اختراع افريقيا" أن أفريقيا هي اختراع مصطنع أولا للاستعمار، ثم لحركات المعارضة. لا ، لأن استعمال تصميم مشترك على نطاق واسع لا يعني بالضرورة وحدة الثقافة -- وهي بالتأكيد ليست في الحمض النووي. وأخيرا ، فان للكسريات تشابها ذاتي -- لذا فانها مشابهة لنفسها ، لكنها ليست بالضرورة مشابهة لبعضها البعض -- لدينا استعمالات عدة للكسريات. انها تقنية مشتركة في افريقيا.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
وأخيرا ، أيضا ، أليس هذا مجرد تخمين؟ ليس هذا جزءا من علوم الرياضيات. لا يمكن أن يكون الأفارقة استعملوا هندسة الكسريات, أليس هذا صحيحا؟ لم تكن اكتشفت حتى سبعينيات القرن الماضي. حسنا, صحيح أن بعض الكسريات هي كما أتوقع مجرد تخمين. بالضبط كهذه الأشياء, كنت أتجول في شوارع داكار سائلا الناس ، "ما هي الخوارزمية؟ ما هي القاعدة لرسم هذا؟" فكان جوابهم, "حسنا, نحن نرسمه على هذا الشكل لأنه يبدو جميلا, غبيا." (ضحك) و لكن أحيانا, لا يكون الأمر كذلك. في بعض الحالات ، يكون هناك في الواقع خوارزميات ، وخوارزميات متطورة للغاية. في منحوتات منغيتو، يمكنك مشاهدة هذه الهندسة العودية. في الصلبان الاثيوبية، تشاهد هذا الاستعمال الرائع للشكل .
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
في أنغولا, يرسم شعب التشوكوي خطوطا في الرمال, و هذا ما يطلق عليه عالم الرياضيات الألماني أولر اسم الرسم البياني, نحن نسميه الآن مسار أولر -- لا يمكنك أبدا رفع قلمك من على السطح لا يمكنك المرور فوق نفس الخط مرتين. لكنهم يفعلون ذلك بشكل متكرر ، و يقومون بذلك باستعمال نظام أصناف عمرية, فيتعلم الاطفال الصغار هذا، و يتعلم الاطفال الاكبر سنا هذا, ثم مع بداية الصنف العمري الموالي, تتعلم هذا. ومع كل تكرار لتلك الخوارزمية, تتعلم تكرار الأسطورة. تتعلم المستوى التالي من المعرفة.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
وأخيرا ،و في جميع أنحاء أفريقيا ، يمكنك مشاهدة هذه اللعبة. يدعونها في غانا, حيث درستها, أواري, هنا في الساحل الشرقي تدعى منكالا, و باو في كينيا, و سوغو في أماكن أخرى. حسنا ، سترى أنماط التنظيم الذاتي التي تحدث بصورة تلقائية في هذه اللعبة. ويعرف الناس في غانا عن هذه الأنماط ذاتية التنظيم ويستخدمونها من الناحية الاستراتيجية. لذلك فهذه معرفة واعية جدا.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
هذه كسورية رائعة. حيثما انتقلت في منطقة الساحل ، سترى هذا الزجاج. وبطبيعة الحال تكون الاسوار في مختلف أنحاء العالم كافة متعامدة الشكل, جميعها متكونة فقط من الخطوط. ولكن هنا في أفريقيا, لدينا هذه الأسوار غير الخطية. لذا تتبعت احد الذين بنوا هذه الأشياء, رجلا من مالي بعيدا قليلا عن باماكو, و سألته, "كيف يمكنم انشاء هذه الأسوار الكسورية؟ لأنه لا أحد غيركم يفعل ذلك". و كان جوابه مثيرا للاهتمام. قال : "حسنا, إذا كنت تعيش في الغابة, عليك استخدام صفوف طويلة من القش فقط, لأنها سريعة الاستعمال, و ثمنها بخس انها لا تستدعي الكثير من الوقت, و لا تستهلك الكثير من القش. قال : "ولكن الرياح والغبار يمران خلالها بكل سهولة. الآن ، الصفوف الضيقة في الأعلى, يمكنهم حقا صد الرياح والغبار. لكنها تستغرق الكثير من الوقت ، وتستهلك الكثير من القش ، لأنها ضيقة جدا ". "الآن" ,قال : "نحن نعرف من التجربة أنه كلما ابتعدت عن الأرض, كلما هبت الريح أقوى". أليس كذلك؟ انها يشبه تحليل التكاليف والفوائد. و لقد قمت بقياس أطوال القش, وضعته على رسم بياني لوغارتمي, حصلت على الأس, وقد طابق بالضبط تقريبا أس العلاقة بين سرعة الرياح والارتفاع في كتيب هندسة الريح. كان هؤلاء الرجال على حق في هدفهم في استخدام تكنولوجيا التسلسل.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
المثال الأكثر تعقيدا التي حصلت عليها لمقاربة خوارزمية للكسريات لم تكن في الواقع هندسية, بل كانت شفرة رمزية, وكانت هذه بامانا عرافة الرمال. ويمكن العثور على نظام العرافة نفسها في جميع أنحاء أفريقيا. يمكنك العثور عليها على الساحل الشرقي, وكذلك الساحل الغربي, وغالبا ما تكون الرموز محفوظة بشكل جيد, يتكون كل رمز من هذه الرموز من أربع بت -- انها كلمة ثنائية ذات أربع بتات -- ترسم هذه السطور في الرمال بشكل عشوائي, ومن ثم تقوم بعدها, اذا كان العدد فرديا, تضع خطا واحدا, و أما ان كان العدد زوجيا, تضع خطين اثنين. و هم يقومون بذلك بشكل سريع, ولم أتمكن من فهم أين كانوا يلتقون -- كل ما كانوا يقومون به هو الأربع مرات العشوائية فقط -- لم أستطع أن أفهم من أين كانوا يحصلون على 12 رموزا الأخرى. و لم يشاؤوا اخباري بذلك. قالوا : "لا, لا, لا استطيع اخباركم بذلك." وقلت : "حسنا انظر, سوف أدفع لك, يمكنك أن تكون أستاذي, و سوف آتي كل يوم و أدفع لك." قالوا : "لا ليست مسألة مال, انها مسألة دينية."
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
و أخيرا, و لما استيأست منه, قلت, "حسنا, دعني أخبرك عن جيورج كنتور في سنة 1877." و شرعت في شرح سبب تواجدي في افريقيا, و قد كانوا شديدي الاهتمام عندما شاهدوا مجموعة كنتور. ثم قال أحدهم, "تعال. أعتقد أنه بامكاني مساعدتك في هذا." و من ثم أخذني عبر طقوس تعليم كاهن بامانا. و بطبيعة الحال, انحسر اهتمامي بالرياضيات, كان طوال الوقت, يقوم بهز رأسه, "أنت تعرف ، أنا لم أتعلم بهذه الطريقة." ولكن اضطررت الى النوم مع عروق الجوز بجانب سريري, مدفونا في الرمل, ومنح سبع قطع نقدية لسبعة مرضى بالجذام وهلم جرا. و أخيرا,كشف لي حقيقة المسألة. و اتضح أنه مولد أعداد شبه عشوائي باستخدام الفوضى القطعية. اذا كان لديك رمز رباعي البتات, تضعه اذا مع آخر بمحاذاته. اذا زوجي مع فردي النتيجة فردي. فردي مع زوجي النتيجة فردي. زوجي مع زوجي النتيجة زوجي .فردي مع فردي النتيجة زوجي. هذا يمثل جمع باقي القسمة على 2, تماما مثل البت التكافؤ للتثبت المستعمل في جهاز الكمبيوتر. و من ثم تأخذ هذا الرمز, و تستعمله مجددا فهذا يمثل مولدا ذاتيا لرموز متنوعة. انهم يستخدمون حقا نوعا من الفوضى القطعية للقيام بذلك. الآن, و لأنه رمز ثنائي, يمكنك تطبيق هذا في جهاز -- يالها من أداة تدريس رائعة في مدارس الهندسة الافريقية.
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
والشيء الأكثر إثارة للاهتمام الذي اكتشفته حولها كان تاريخيا. في القرن الثاني عشر، جلبها هوغو أوف سنتالا من المسلمين الصوفيين في إسبانيا. و هناك تم ادراجها في مجمع العلوم تحت مسمى جيومنسي : النبوءة من خلال كوكب الأرض. هذا شكل جيومنتي تم رسمه للملك رتشارد الثاني في سنة 1390. لبنيتس, عالم الرياضيات الألماني, تحدث عن الجيومنسي في أطروحته بعنوان "De Combinatoria". وقال : "حسنا ، بدلا من استخدام خط واحد او خطان, لنقم باستعمال الواحد و الصفر, و يمكننا الحساب باستعمال قوى العدد اثنان." أليس كذلك؟ الآحاد والأصفار, الرمز الثنائي. أخذ جورج بول رمز لايبنتز الثنائي وأنتج الجبر البولي, وأخذ جون فون نيومان الجبر البولي, وأنتج جهاز الكمبيوتر الرقمي. لذلك كل هذه المساعدات الشخصية الرقمية وأجهزة الكمبيوتر المحمول -- في كل الدوائر الرقمية في العالم -- بدأت في أفريقيا. أعرف أن بريان إينو يقول أنه ليس هناك ما يكفي من أفريقيا في أجهزة الكمبيوتر, تعلمون, أنا لا أعتقد أن هناك ما يكفي من التاريخ الأفريقي في بريان إينو. (تصفيق)
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
لذا اسمحوا لي أن أختتم بكلمات قليلة عن التطبيقات التي وجدنا لهذا الغرض. و بامكانكم الدخول الى موقعنا الالكتروني, التطبيقات كلها مجانية, يتم تشغيلها في المتصفح فقط. بامكان أي كان حول العالم استعمالها. المؤسسة الوطنية للعلوم وتوسيع نطاق المشاركة في برنامج الحوسبة حصلنا مؤخرا على منحة لتقديم نسخة من أدوات التصميم هذه القابلة للبرمجة , لذلك نأمل أنه في غضون ثلاث سنوات, سوف يكون أي شخص قادرا على الذهاب على الانترنت وخلق نماذج المحاكاة الخاصة بها وأعماله الفنية. لقد ركزنا في الولايات المتحدة على الطلاب الأميركيين الأفارقة ، وكذلك الأمريكيين الأصليين واللاتينيين. لقد لمسنا تحسنا ذات دلالة إحصائية مع الأطفال باستخدام هذا البرنامج في أقسام الرياضيات بالمقارنة مع مجموعة مراقبة لم تستخدم هذا البرنامج. اذا كان أمرا ناجحا جدا تدريس أطفال لديهم هذا التراث من علوم الرياضيات, ليس فقط عن الغناء والرقص. بدانا برنامجا رائدا في غانا, حصلنا على منحة الصغيرة, فقط لمعرفة ما اذا كان الناس على استعداد للعمل معنا على هذا, نحن متحمسون للغاية بشأن الاحتمالات المستقبلية لذلك.
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
نحن نعمل أيضا في التصميم. لم أضع اسمه هنا -- زميلي, كيري, في كينيا, لقد جاء بهذه الفكرة الرائعة لاستخدام هيكل كسوري كعنوان بريدي في القرى التي لديها بنية كسورية, لأنه إذا حاولت فرض هيكل شبكة النظام البريدي على قرية كسورية, فانها لن تكون ملائمة تماما. انتهى برنارد تشومي في جامعة كولومبيا من استخدام هذا في تصميم لمتحف الفن الأفريقي. وقد كتب ديفيد هيوز في جامعة ولاية أوهايو كتابا عن فن عمارة الافروسنتريك والتي استخدم في بعضها هذه الهياكل كسورية.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
وأخيرا, أردت فقط أن أشير إلى أن هذه الفكرة من التنظيم الذاتي , كما سمعنا في وقت سابق, موجودة في الدماغ. انها في -- في محرك البحث جوجل. في الواقع ، السبب ان غوغل لاقى مثل هذا النجاح أنهم كانوا هم أول من استفاد من خصائص التنظيم الذاتي على شبكة الإنترنت. انها في البيئية المستديمة. انها في القوة التنموية لتنظيم المشاريع, السلطة الأخلاقية للديمقراطية. كما انها في بعض الأمور السيئة. التنظيم الذاتي هو السبب في أن فيروس الايدز ينتشر بسرعة كبيرة. وإذا كنت لا تعتقد أن الرأسمالية, التي هي تنظيم ذاتي, يمكن أن يكون لها آثار مدمرة, فانك لم تفتح عينيك بما فيه الكفاية. لذلك نحن بحاجة للتفكير ، كما قيل في وقت سابق ، في الأساليب التقليدية الأفريقية للقيام بالتنظيم الذاتي. انها خوارزميات قوية. انها طرق للقيام بالتنظيم الذاتي -- القيام المشاريع -- معتدلة, فيها من المساواة. لذلك إذا كنا نريد إيجاد طريقة أفضل للقيام بذلك النوع من العمل ، نحتاج فقط أن ننظر ليس أبعد من أفريقيا للعثور على خوارزميات التنظيم الذاتي القوية هذه. شكرا لكم.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.