Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Привіт. Я хочу розглянути пізнання і природу пізнання, і що є сутністю пізнання, бо пізнання - це те, до чого всі ми прагнемо. Ми бажаємо пізнавати. Я стверджую, що пізнання пов'язане зі здатністю змінювати кут зору. Якщо це не так, то ви не пізнаєте. Ось що я стверджую.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
І я хочу зосередитись на математиці. Багато з нас вважають математикою додавання, віднімання, множення, ділення, дроби, проценти, геометрію, алгебру тощо. Але, насправді, я хочу розказати про сутність математики в цілому. Я стверджую, що математика має справу з патернами.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Позаду мене ви бачите чудовий патерн, який виник просто від вимальовування кіл спеціальним чином. Тож моє звичайне визначення математики, яке я використовую кожного дня є таким: перш за все, математика - це пошук патернів. Під патернами я розумію зв'язки, структури, деякі закономірності, правила, які щось регулюють. По-друге, я вважаю, що математика - це формулювання цих патернів за допомогою мови. Ми створюємо мову, якщо її немає, і для математики це суттєво. Математика - це також припущення, обігравання цих припущень, щоб зрозуміти, що з них випливає. Незабаром ми цим займемось. Та, зрештою, математика - це різні круті витребеньки. Математика надає багато можливостей.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Тож пильніше придивімося до патернів. Якщо ви хочете зав'язати краватку спеціальним вузлом, це є патерн. Вузли на краватках мають імена. Ви можете створити математику краваточних вузлів. Тут - вліво-з, вправо-в, центр-з, в'яжи. Ось тут - вліво-в, вправо-з, вліво-в, цетр-з, в'яжи. Це мова, яку ми створили для патерну краваткових вузлів. Це вузол - напіввіндзор. Це математична книжка про зав'язування шнурків на взутті на університетському рівні, бо це патерни в шнурках. Є багацько способів зав'язування. Ми можемо аналізувати їх. Ми можемо створювати мови.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
І це все можемо зображати через математику. Це нотація Лейбніца 1675. Він розробив мову для патернів у природі. Коли ми щось підкидаємо в повітря, воно падає донизу. Чому? Ми не впевнені, але можемо сформулювати це за допомогою математики мовою патернів.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Це також патерн. Це також винайдена мова. Можете вгадати для чого? Це система нотації для танців, для чечітки. Вона дала змогу цьому хореографу робити круті штучки, створювати нове, тому що він сформулював її.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Я хочу, щоб ви подумали про те, наскільки чудовим є формулювання чогось. Це так я сказав слово "математика". Але, в дійсності, це ж лише крапки, так? Тож як можуть ці крапки представляти слова? Можуть. Вони представляють слово "математика". І ці символи також представляють це слово. А ці ми можемо почути. Вони звучать ось так.
(Beeps)
(Гудки)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Якимось чином ці звуки представляють слово та концепцію. Як же це відбувається? Є дещо чудове у представленні речей.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Я хочу поговорити про магію, яка відбувається, коли ми представляємо щось. Тут ви бачите лінії різної ширини. Вони відповідають цифрам у штрих-коді певної книжки. Я рекомендую вам цю книжку, це справді гарна книжка.
(Laughter)
(Сміх)
Just trust me.
Повірте.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Проведімо експеримент. Просто пограємось з прямими лініями. Ось пряма. Зробимо ще одну. Кожного разу ми зміщуємося вниз і навскоси, та малюємо нову пряму лінію. Повторюємо це знову і знову, та шукаємо патерни. Ось з'являється патерн. І він справді чудовий. Схожий на криву, правда ж? Лише від малювання простих прямих ліній.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Тепер я можу трохи змінити кут зору. Я можу перевернути це. Подивіться на криву. На що вона схожа? Це частина кола? Ні, це не частина кола. Отже, я продовжую своє дослідження і шукаю справжній патерн. Можливо, якщо зробити її копію та трохи домалювати... Ні. Можливо, мені варто подовжити ці лінії якось так, і шукати тут патерни. Зробімо більше ліній. Зробили. Тепер зменшимо і знову змінимо кут зору. Ось ми можемо бачити як те, що на початку було простими прямими лініями, насправді стало кривою, яка називається параболою. Парабола представляється простим рівнянням і є чудовим патерном.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Так ось, який фокус ми робимо. Ми знаходимо патерни і представляємо їх. Тож я вважаю, що це гарне визначення. Але сьогодні я хочу трошки заглибитися і обміркувати природу всього цього. Що робить це можливим? Тут є щось глибше. Те, що має надавати здатність змінювати кут зору. Я стверджую: коли ви змінюєте кут зору і розглядаєте щось з іншого ракурсу, тоді ви дізнаєтесь щось нове про річ, яку споглядаєте, або на що дивитесь, що слухаєте. На мою думку, це дуже важливо для всього, що ми весь час робимо.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Розгляньмо просте рівняння: x + x = 2 • x. Це дуже гарний патерн і правильний, тому що 5 + 5 = 2 • 5 і т.д. Ми вже бачили таке багато разів, і ми формулюємо це саме так. Нумо обміркуймо: це - рівняння. Воно стверджує, що щось дорівнює чомусь ще, Це два різних ракурси. З одного ракурсу - це сума. Це щось, що ви сумуєте. З іншого боку, це множення. Це два різних ракурси. Я б пішов ще далі й сказав би, що усі рівняння подібні цьому. Кожне математичне рівняння, де ви використовуєте знак рівності, є метафорою. Це аналогія між двома сутностями. Ви просто дивитесь на щось, розглядаєте з двох різних боків та виражаєте це через мову.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Подивіться на рівняння. Це одне з найпрекрасніших рівнянь. Воно стверджує, що є дві сутності, обидві є -1. Ця штука зліва є -1, і друга також. І це, я вважаю, є однією із суттєвіших складових математики - ви дивитеся з різних ракурсів.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Нумо пограймось. Візьмемо число. Ми знаємо чотири третіх. Ми знаємо, що означає 4/3. Це 1.333, але ми повинні вказати ще три крапки, бо інакше, це не буде точно 4/3. Але це лише в десятковій системі. Знаєте, у системі чисел ми використовуємо 10 цифр. Змінимо систему та скористаємося лише двома цифрами (це так звана бінарна система), тоді вираз буде виглядати так. Ми зараз розмовляємо про число. Число 4/3. Ми можемо написати його ось так. І можемо змінити основу, змінити кількість цифр і написати його інакше.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Оце ми представили те саме число. Ми можемо навіть написати його просто як 1.3 або 1.6. Це залежить від того, наскільки багато у вас цифр. Або, можливо, ми спростимо і напишемо його так. Мені оце подобається, тому що тут сказано, що чотири ділиться на три. І це число виражає відносини між двома числами. У вас є 4 з одного боку і 3 з другого. Ви можете візуалізувати це по-різному. Що я зараз роблю - я дивлюся на це число з різних боків. Я з ним граюся. Я граюся з тим, як нам розглядати щось, і роблю це цілком свідомо. Можемо взяти таблицю. Якщо взяти чотири вздовж і три вниз, то ця лінія дорівнює 5. Завжди. Так повинно бути. Це красивий патерн. Чотири, і три, і п'ять. А цей прямокутник, який є 4 на 3, ви бачили дуже-дуже часто. Це звичайний екран комп'ютера. 800 x 600 або 1,600 x 1,200 - це телевізійний або комп'ютерний екран.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Це все гарні представлення, але я б хотів зайти трохи далі та погратись ще більше з цим числом. Ось ми бачимо два кола. Я збираюся крутити їх ось так. Споглядайте за верхнім лівим. Воно обертається трохи швидше, так? Бачите, воно обертається рівно у 4/3 рази швидше. Це означає, що коли верхнє робить 4 оберти, інше коло робить лише 3. Проведемо дві лінії і поставимо крапку там, де лінії перетинаються. Ми отримали крапку, що танцює.
(Laughter)
(Сміх)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
Ця крапка створена цим числом. Правильно? Тепер нам варто прослідкувати за нею. Прослідкуємо і побачимо, що трапиться. Математика - ось якраз це. Це побачити, що стається. Ось це сталося з 4/3. Я б сказав, що це образ 4/3. Так ще миліше. (Схвалення)
Thank you!
Дякую!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Оплески) Це не новина. Це було відомо здавна, але...
(Laughter)
(Сміх)
But this is four-thirds.
Але це 4/3.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Зробімо інший експеримент. Тепер візьмемо звук, цей звук (Гудок)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Це ідеальне Ля, 440 Гц. Помножмо його на два. Ми отримаємо цей звук. (Гудок)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Якщо ми зіграємо їх разом, вони будуть звучати ось так. Це октава, вірно? Ми можемо в це погратись. Можемо грати звуки, грати ту саму Ля. Можемо множити її на 3/2.
(Beep)
(Гудок)
This is what we call a perfect fifth.
Ми називаємо це ідеальною квінтою.
(Beep)
(Гудок)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Разом справді виходить чудово. Помножмо цей звук на 4/3. (Гудок)
What happens? You get this sound. (Beep)
Що сталось? Ви отримали такий звук. (Гудок)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Це ідеальна кварта. Перша нота - Ля, ця нота - Ре. Разом вони звучать ось так. (Гудок)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Це звук 4/3. Те, що я зараз роблю, і є зміною ракурсу. Я розглядаю числа під другим кутом зору.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Я можу навіть робити це з ритмом. Можу вибрати ритм і відбивати три удари
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
за певний час. (Ритмічний стук). І можу грати інший звук чотири рази за той же час.
(Clanking sounds)
(Ритмічний стук).
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Звучить нудно, але послухайте їх разом.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Ритмічний стук).
(Laughter)
(Сміх)
Hey! So.
Гей!
(Laughter)
(Сміх)
I can even make a little hi-hat.
Можна додати трохи тарілок.
(Drumbeats and cymbals)
(Ритм)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Ви чуєте це? Так звучить 4/3. Тож це ритм.
(Drumbeats and cowbell)
(Ритм)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
І я продовжую і граюсь з цим числом. 4/3 - це справді розкішне число. Я люблю 4/3!
(Laughter)
(Сміх)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Чесно. Це недооцінені числа. Якщо візьмемо кулю і придивимось до її об'єму, то побачимо, що він дорівнює 4/3 від об'єму певного циліндра. Тож 4/3 є в кулі, в об'ємі кулі.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Але чому я це роблю? Я хочу пояснити, що означає пізнання і що ми маємо на увазі під пізнанням. Це моя мета. І я стверджую, що ви щось пізнаєте, лише якщо ви здатні бачити це під різними кутами зору. Подивімось на літеру. Це чудова літера R, чи не так? Звідкіля ви це знаєте? Насправді, ви бачили багацько R, узагальнили, зробили висновки та знайшли патерни. Тож ви знаєте, що це R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Моя мета зараз - розповісти вам про те, що пізнання і зміна кута зору пов'язані одне з одним. Я вчитель і лектор. І можу використовувати цей зв'язок, щоб чомусь навчити, бо коли я, розповідаючи якусь історію, наводжу метафору, аналогію, коли я розповідаю історію з різних точок зору, я підштовхую пізнання. Я сприяю пізнанню, бо ви вимушені узагальнювати все, що побачили і почули. Якщо я покажу вам різні ракурси, то вам буде простіше.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Ще один простий приклад. Ось 4 і 3. Це чотири трикутники. Це також 4/3, в певному сенсі. З'єднаймо їх разом. Тепер ми будемо грати у гру: ми будемо їх згортати у тривимірні фігури. Я люблю це. Це квадратна піраміда. Візьмемо дві таких і з'єднаємо їх. Це називається октаедр. Це один із п'яти правильних багатогранників. Тепер ми можемо буквально змінити кут зору, тому що ми можемо крутити його навколо любої осі координат і розглядати з різних ракурсів. Можемо змінювати осі, і розглядати його з іншої точки зору, бо залишившись тим же, він виглядає трохи інакше. Я можу це зробити ще раз.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Кожного разу, коли я це роблю, виникає щось нове, так що я справді дізнаюся більше про об'єкт, коли я змінюю ракурс. Я можу користуватись цим, як інструментом пізнання. Я можу взяти два таких об'єкти, скласти їх разом ось так і побачити що вийшло. Це трохи схоже на октаедр. Подивіться, якщо я буду крутити його навколо. Що трапиться? Якщо візьмемо два, приєднаємо та покрутимо, то вийде наш октаедр знову. Чудова фігура. Якщо ви покладете її на підлогу, вийде октаедр. Це графічна структура октаедра. Я можу продовжувати й далі. Намалюйте три великих кола навколо октаедру та обертайте. Тоді три великих кола мають зв'язок із октаедром. І якщо я візьму велосипедний насос і накачаю це, то ви побачите, що виходить також трохи схоже на октаедр. Бачите, що я тут витворяю? Я весь час змінюю ракурс.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Повернемось трохи назад, "Повернутись назад" - це метафора, Тож повернемось назад і подивимося, що ж ми робимо. Я граюся з метафорами. Граюся з ракурсами й аналогіями. Розповідаю одну історію різними способами. Я розповідаю історії. Я створюю сюжет, створюю декілька сюжетів. І я переконаний, що все це дає можливість пізнавати. Думаю, що це і є сутність пізнання чогось. Я справді в це вірю.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Так що здатність зміни перспективи - безперечно необхідна для людства. Пограймось з Землею. Наблизимося до океану, придивимося до океану. Ми можемо робити так з чим завгодно. Ми можемо взяти океан і поглянути на нього зблизька. Ми можемо дивитись на хвилі. Можемо дивитись на пляж. Можемо дивитись на океан з іншого ракурсу. Кожного разу, коли ми так чинимо, ми дізнаємось трохи більше про океан. Якщо ми підемо на берег, ми зможемо відчути запах, чи не так? Зможемо почути хвилі. Можемо відчути сіль язиком. І все це є різними кутами зору. І це найкращий. Ми можемо зайти у воду. Ми можемо побачити воду зсередини. Знаєте що? Це абсолютно необхідно в математиці та інформатиці. Якщо ви здатні побачити структуру зсередини, тоді ви справді щось знаєте про неї. Це і є її сутність.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Коли ми відправляємося у подорож до океану, то використовуємо свою уяву. Занурення ще глибше на один рівень насправді потребує зміни кута зору. Зіграємо в невеличку гру. Уявіть, що ви сидите там. Ви можете уявити і що ви згори, і що ви сидите тут. Тоді ви побачите себе зовні. Це справді дивно. Ви змінюєте свій ракурс. Використовуєте свою уяву і бачите себе ззовні. Це вимагає уяви.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Математика та інформатика - це види мистецтв, що найбільш потребують уяви. Вся ця штука зі зміною ракурсу повинна виглядати для вас знайомо, бо ми користуємося нею кожного дня. Ми називаємо її емпатією. Якщо я дивлюся на світ з вашої точки зору, то я відчуваю емпатію. Якщо я справді, дійсно розумію, як виглядає світ з вашої точки зору, то я співпереживаю вам. Для цього потрібна уява. Ось так ми здобуваємо пізнання. І це скрізь в математиці, це скрізь в інформатиці. Існує справді глибокий зв'язок між емпатією та цими науками.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Отже мої висновки такі: дійсно глибоке пізнання чогось нерозривно пов'язане зі здатністю змінювати ракурс. Тож я рекомендую вам: змінюйте ракурс. Можете вчити математику. Це чудовий засіб тренувати розум. Зміна кута зору робить ваш розум гнучкішими, робить вас відкритішим до нового і здатним пізнавати речі. І, використовуючи ще одну метафору, хай ваш розум буде подібний до води. Це чудово.
Thank you.
Дякую.
(Applause)
(Оплески)