Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Hej. Jag vill berätta om förståelse, förståelsens natur och vad som är förståelsens innersta väsen, eftersom förståelse är något vi är inriktade på, allihop. Vi vill förstå saker. Jag vill hävda att förståelse har att göra med förmågan att skifta perspektiv. Om ni inte har den, har ni inte förståelse. Så det är vad jag hävdar.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Och jag vill koncentrera mig på matematiken. Många tänker på matematik som addition, subtraktion, multiplikation, division, bråk, procent, geometri, algebra - allt det där. Men jag vill faktiskt också prata om matematikens väsen. Och jag hävdar att matematik har att göra med mönster.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Bakom mig syns ett vackert mönster och detta mönster kommer fram bara för att man ritar cirklar på ett väldigt speciellt sätt. Så min vardagsdefinition av matematik, som jag använder varje dag, är följande: Först och främst, det har att göra med att hitta mönster. Och med "mönster" menar jag en koppling, en struktur, en regelbundenhet, några regler som styr det vi ser. Därefter tror jag det handlar om en språklig representation av dessa mönster. Vi hittar på ett språk om det inte ännu finns, och inom matematiken är detta nödvändigt. Det handlar också om att göra antaganden, leka lite med dessa antaganden och se vad som då händer. Det skall vi göra om en liten stund. Till sist handlar det om att göra häftiga saker. Matematik möjliggör så mycket för oss.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Låt oss titta på dessa mönster. Om ni skall knyta en slipsknut, så finns det mönster. Slipsknutar har namn. Det finns också en slipsknutarnas matematik. Det finns en vänster-ut, höger-in, mitten-ut och knyt. Det finns en vänster-in, höger-ut, vänster-in, mitten-ut och knyt. Detta är ett språk som vi hittade på för slipsknutarnas mönster, och en halv-Windsor är alltsammans. Detta är en matematikbok som handlar om att knyta skosnören, på universitetsnivå, för det finns mönster i skosnören. Man kan göra det på så många olika sätt. Vi kan analysera det. Vi kan hitta på språk för det.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Och representationer finns överallt i matematiken. Detta är Leibniz' beteckningar från 1675. Han uppfann ett språk för naturens mönster. När vi kastar upp någonting i luften, så ramlar det ner. Varför? Vi är inte säkra på det, men vi kan visa detta med matematik i ett mönster.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Detta är också ett mönster. Det är också ett påhittat språk. Kan ni gissa för vad? Det är faktiskt ett system av beteckningar för dans, steppdans. Det möjliggör att han som koreograf kan göra häftiga saker, göra nya saker, eftersom han har representerat det.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Jag vill att ni skall tänka på hur häftigt det är att representera någonting. Här står det ordet "matematik". Men det är ju bara punkter, eller hur? Så hur i hela fridens namn kan dessa punkter representera ordet? Men det gör de. De representerar ordet "matematik", och dessa symboler representerar också det ordet och detta kan vi lyssna till. Det låter så här.
(Beeps)
(Piper)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
På något vis representerar dessa ljud ordet och begreppet. Hur sker detta? Något fantastiskt sker när man representerar saker.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Så jag vill tala om det magiska som händer när vi faktiskt representerar någonting. Här ser ni bara linjer med olika tjocklek. De står för nummer på en specifik bok. Jag kan faktiskt rekommendera den, det är en mycket bra bok.
(Laughter)
(Skratt)
Just trust me.
Lita på mig.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
OK, låt oss bara göra ett experiment, för att få leka med några räta linjer. Detta är en rät linje. Låt oss göra en till. Varje gång vi förflyttar oss, går vi en ner och en åt sidan, och så gör vi en ny rät linje, eller hur? Om vi gör detta igen och igen och igen och letar efter mönster så kommer detta mönster att framträda, och det är ett ganska fint mönster. Det ser ut som en kurva, eller hur? Bara utifrån att rita enkla, räta linjer.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Nu kan jag förändra mitt perspektiv lite grand. Jag kan rotera den. Betrakta kurvan. Vad ser den ut som? Är den en del av en cirkel? Den är faktiskt inte del av en cirkel. Så då måste jag fortsätta att undersöka för att kunna hitta det sanna mönstret. Kanske om jag kopierar den och skapar lite konst? Nå, nej. Kanske borde jag förlänga linjerna så här, och leta efter mönstret där. Låt oss göra fler linjer. Det gör vi. Och låt oss sedan zooma ut och ändra perspektivet igen. Sedan kan vi faktiskt se att det som i början var bara räta linjer faktiskt är en kurva som kallas parabel. Detta representeras av en enkel ekvation och det är ett vackert mönster.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Så detta är vad vi gör. Vi finner mönster och vi representerar dem. Och jag tycker att det är en fin vardagsdefinition. Men i dag vill jag gå lite djupare, och tänka på vad sakens natur är. Vad är det som gör det möjligt? Det finns något som ligger lite djupare och det har att göra med förmågan att ändra sitt perspektiv. Jag hävdar att när du ändrar ditt perspektiv, och om du ser på saker från en annan utgångspunkt, då lär du dig något nytt om det som du betraktar eller tittar på eller lyssnar på. Och jag tror att detta är något viktigt som vi gör hela tiden.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Så låt oss bara titta på denna enkla ekvation, x + x = 2 • x. Det är ett bra mönster, och det är sant, eftersom 5 + 5 = 2 • 5, etc. Vi har sett detta om och om igen, och vi representerar det så här. Men tänk till lite grand: detta är en ekvation. Det säger att någonting är lika med någonting annat, och det är två olika perspektiv. Ena perspektivet är att det är en summa. Det är något som du "plussar ihop". Å andra sidan är det en multiplikation, och detta är två olika perspektiv. Jag går så långt som att säga alla ekvationer är precis så, varje matematisk ekvation där likhetstecknet används, är faktiskt en metafor. Det är en analogi mellan två saker. Du bara ser något och tar två utgångspunkter och uttrycker det på ett språk.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Ta en titt på denna ekvation. Detta är en av de vackraste ekvationerna. Den säger bara att, tja, två saker, de är båda -1. Vänster sida är -1, den andra likaså. Det tycker jag är en av de nödvändiga delarna i matematiken - att ta olika utgångspunkter.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Så låt oss bara leka. Vi tar ett nummer. Fyra tredjedelar är bekant. Vi vet vad fyra tredjedelar är. Det är 1.333, men vi måste ha de tre punkterna, annars är det inte exakt fyra tredjedelar. Men detta är bara med basen 10. Ni vet, nummersystemet, vi använder 10 siffror. Om vi ändrar detta, bara använder två siffror, så kallas det det binära systemet. Det skrivs så här. Så nu diskuterar vi talet. Talet är fyra tredjedelar. Vi kan skriva det så här, och vi kan ändra basen, ändra antal siffror, vi kan skriva det på ett annat sätt.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Så dessa är allihop samma tals representationer. Vi kan till och med skriva det enkelt, som 1,3 eller 1,6. Det beror helt på hur många siffror ni har. Eller kanske förenklar vi bara och skriver det så här. Jag gillar detta, eftersom det säger fyra delat med tre. Och detta tal representerar ett förhållande mellan två tal. Man har fyra på ena sidan och tre på den andra. Man kan åskådliggöra detta på många sätt. Vad jag gör just nu är att se talet från olika perspektiv. Jag leker. Jag leker med hur vi ser på saker. och det gör jag mycket medvetet. Vi kan ta ett rutnät. Med fyra på tvären och tre på längden, blir denna linje lika med fem, alltid. Det måste vara så. Ett vackert mönster. Fyra och tre och fem. Och denna rektangel, som är 4 x 3, har ni sett många gånger. Det är den vanligaste dataskärmen. 800 x 600 eller 1600 x 1200 är en tv- eller datorskärm.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Så dessa är fina representationer, men jag vill gå lite längre, leka lite mer med detta tal. Här ser ni två cirklar. Jag skall rotera dem så här. Se noga på den överst till vänster. Den går lite fortare, eller hur? Ni kan se detta. Den går faktiskt exakt fyra tredjedelar snabbare. Vilket betyder: När den snurrar runt fyra gånger så snurrar den andra runt tre gånger. Låt oss göra två linjer och rita ut denna punkt där linjerna möts. Vi får punkten, dansande omkring.
(Laughter)
(Skratt)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
Denna punkt kommer från det talet. Inte sant? Vi följer dess bana. Vi följer banan och ser vad som händer. Det är precis vad matematik handlar om. Om att se vad som händer. Och detta uppenbarar sig ur fyra tredjedelar. Jag brukar säga att "det är bilden av fyra tredjedelar". Det är mycket finare - (Jubel)
Thank you!
Tack!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Applåder) Detta är ingen nyhet. Det har varit känt under lång tid, men -
(Laughter)
(Skratt)
But this is four-thirds.
Men detta är fyra tredjedelar.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Vi gör ett annat experiment. Låt oss nu ta ett ljud, detta ljud: (Pip)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Detta är ett rent A, 440 Hz. Låt oss multiplicera det med två. Då får vi detta ljud. (Pip)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Spela upp dem tillsammans, då låter det så här. En oktav, inte sant? Vi kan leka så här. Vi kan ta ett ljud, ta samma A. Multiplicera det med tre halva.
(Beep)
(Pip)
This is what we call a perfect fifth.
Detta är vad vi kallar en kvint.
(Beep)
(Pip)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
De låter verkligen fint tillsammans. Låt oss multiplicera detta ljud med fyra tredjedelar. (Pip)
What happens? You get this sound. (Beep)
Vad händer? Ni får detta ljud. (Pip)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Detta är kvarten. Den första är ett A, detta är ett D. De låter så här tillsammans. (Piper)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Detta är ljudet av fyra tredjedelar. Det jag gör nu, är att ändra mitt perspektiv. Jag ser på ett tal från ett annat perspektiv.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Jag kan göra det med rytm, eller hur? Jag kan ta en rytm och spela tre slag på en gång (Trumslag)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
under en viss tidsrymd, och jag kan spela ett annat ljud fyra gånger inom samma intervall,
(Clanking sounds)
(Knackande ljud)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Det låter tråkigt, men hör dem tillsammans.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Trumslag och knackande ljud)
(Laughter)
(Skratt)
Hey! So.
Hallå! Så.
(Laughter)
(Skratt)
I can even make a little hi-hat.
Jag kan till och med använda lite hi-hat.
(Drumbeats and cymbals)
(Trumslag och cymbaler)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Kan ni höra detta? Så, det här är ljudet av fyra tredjedelar. Ännu en gång, detta är som en rytm.
(Drumbeats and cowbell)
(Trumslag och koskälla)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
Jag kan fortsätta göra så och leka med detta tal. Fyra tredjedelar - bra tal. Jag älskar fyra tredjedelar!
(Laughter)
(Skratt)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Sannerligen - det är ett underskattat tal. Så om ni tar en sfär och tittar på sfärens volym så är det fyra tredjedelar av en viss cylinders. Så fyra tredjedelar är i sfären. Det är volymen av sfären.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Ok, så varför gör jag allt det här? Nå, jag vill berätta om vad det betyder när man förstår någonting. och vad vi menar med att förstå någonting. Det är mitt mål här. Och jag hävdar att du förstår någonting om du kan se det från olika perspektiv. Låt oss se denna bokstav. Ett vackert R, eller hur? Hur vet ni det? Nå, faktiskt har ni sett en massa R, och ni har generaliserat och abstraherat alla dessa och funnit ett mönster. Så nu vet ni att detta är ett R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Så vad jag siktar mot här är att säga någonting om hur förståelse och förändring av perspektiv är sammankopplade. Och jag är lärare och föreläsare, jag kan använda det till att lära ut någonting. eftersom när jag ger någon annan en annan historia, metafor, analogi, om jag berättar en historia från en ny vinkel, så möjliggör jag förståelse. Jag gör förståelsen möjlig eftersom ni måste generalisera allt ni ser och hör, och om jag ger er ett nytt perspektiv, så blir detta enklare för er.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Låt oss ta ett enkelt exempel igen. Detta är fyra och tre. Detta är fyra trianglar. detta är också fyra tredjedelar, på sätt och vis. Låt oss nu bara sammanfoga dem. Nu skall vi leka en lek; vi skall vika ihop det till en tredimensionell struktur. Jag älskar detta. Det är en kvadratisk pyramid. Och låt oss bara ta två av dem och sammanfoga dem. Så detta är vad vi kallar en oktaeder. En av fem platonska kroppar (regelbundna månghörningar). Nu kan vi bokstavligen ändra vårt perspektiv, eftersom vi kan rotera den kring alla axlarna och se den från olika perspektiv. Och jag kan ändra axel, och då kan jag se den från ett annat perspektiv, men det är samma sak, men ser lite annorlunda ut. Jag kan göra det ännu en gång
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Varje gång jag gör detta, dyker något annat upp, så jag lär mig faktiskt mer om objektet när jag ändrar mitt perspektiv. Jag kan använda detta som ett verktyg för att skapa förståelse. Jag kan ta två av dessa och sätta ihop dem så här och se vad som händer. Och det ser lite grand ut som oktaedern. Titta på den medan jag snurrar den så här. Vad händer? Nå, ni tar två av dessa, sammanfogar dem och snurrar runt den där är er oktaeder igen, en vacker struktur. Om ni plattar ut den på golvet, så är detta oktaedern. Detta är grafstrukturen av oktaedern. Och jag kan fortsätta med att göra detta. Ni kan rita tre stora cirklar runt oktaedern, och snurra runt, så tre stora cirklar hör ihop med oktaedern, Och om jag tar en cykelpump och bara pumpar upp den, så kan ni se att detta också är lite grand som oktaedern. Ser ni vad jag gör här? Jag förändrar perspektivet varje gång.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Så låt oss nu ta ett steg tillbaka - och det är faktiskt en metafor, att ta ett steg tillbaka - och betrakta vad vi håller på med. Jag leker med metaforer. Jag leker med perspektiv och analogier. Jag berättar en historia på olika sätt. Jag berättar historier. Jag gör en berättelse; jag gör flera berättelser. Och jag tror alla dessa saker gör förståelsen möjlig. Jag tror att detta verkligen är förståelsens väsen. Jag tror verkligen detta.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Så det här med att förändra ert perspektiv - det är helt grundläggande för människor. Låt oss leka med jorden. Låt oss zooma in på havet, ta en titt på havet. Vi kan göra detta med vad som helst. Vi kan ta havet och se det i närbild. Vi kan se på vågorna. Vi kan åka till stranden. Vi kan se havet från ett annat perspektiv. Varje gång vi gör detta, lär vi oss lite mer om havet. Om vi åker till kusten, kan vi känna lukten av det, inte sant? Vi kan höra ljudet av vågorna. Vi kan känna salt på tungan. Så allt detta är olika perspektiv. Och detta är det bästa. Vi kan gå ner i vattnet. Vi kan se vattnet från insidan. Och vet ni vad? Detta är helt nödvändigt i matematik och datavetenskap. Om ni kan se på en struktur från insidan, då kan ni verkligen lära er någonting om den. Det är liksom någontings väsen.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Så när vi gör detta, och vi har börjat denna resa ner i havet, så använder vi vår fantasi. Och jag tycker att detta är en nivå djupare, och det är faktiskt ett krav för att ni skall ändra ert perspektiv. Vi kan leka en lek. Ni kan föreställa er att ni sitter där. Ni kan föreställa er att ni är här uppe, och att ni sitter här. Ni kan se er själva utifrån. Det är verkligen konstigt. Ni ändrar ert perspektiv. Ni använder er fantasi, och ni ser er själva utifrån. Det kräver fantasi.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Matematik och datavetenskap är de mest fantasifulla konstformerna. Och det här med att ändra sitt perspektiv borde låta lite bekant för er, eftersom vi gör det varje dag. Och då kallas det för medkänsla. När jag ser världen från ert perspektiv, har jag medkänsla med er. Om jag verkligen, sannerligen förstår hur världen ser ut från ert perspektiv, så har jag medkänsla. Det kräver fantasi. Och det är så vi får förståelse. Det finns överallt i matematiken, det finns överallt i datavetenskapen, det är en verkligt djup koppling mellan medkänsla och dessa vetenskaper.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Så min slutsats är som följer: att förstå någonting riktigt på djupet har att göra med förmågan att förändra sitt perspektiv. Så mitt råd till er är: försök att förändra ert perspektiv. Ni kan studera matematik. Det är ett underbart sätt att träna hjärnan. Att förändra ert perspektiv gör ert intellekt flexiblare. Ni blir mer öppna för nya saker, och det gör att ni kan förstå saker. Och för att använda ännu en metafor: ha ett intellekt som vatten. Det är fint.
Thank you.
Tack.
(Applause)
(Applåder)