Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Здравствуйте! Я хочу поговорить о понимании, о его природе, и о сущности понимания, потому что понимание — это то, к чему мы все стремимся, каждый из нас. Мы хотим понимать. Я считаю, что понимание — это способность смотреть на вещи с разных точек зрения. Если у вас этого нет, у вас нет и понимания. Именно это я утверждаю.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Я хочу обратиться к математике. Для многих из нас математика — это сложение, вычитание, умножение, деление, дроби, проценты, геометрия, алгебра — всё в таком духе. Но сейчас я хочу поговорить о сущности математики. Математика напрямую связана с закономерностями.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Позади меня вы видите красивый узор, который получается из окружностей, нарисованных определённым образом. Моё определение математики, которым я пользуюсь каждый день, следующее: во-первых, это поиск закономерностей. Под «закономерностью» я подразумеваю некую связь, структуру, постоянство, некие правила, управляющие чем-либо. Во-вторых, я думаю, математика — это представление таких закономерностей с помощью языка. Мы придумываем язык, если у нас его нет, а в математике это просто необходимо. Математика также предполагает высказывание предположений и экспериментирование с этими предположениями. Мы вскоре этим займёмся. И, наконец, математика — это разные классные штуки. Благодаря этой науке можно столько всего сделать.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Давайте посмотрим на эти закономерности. Если вы хотите завязать галстук, это можно сделать по образцу. У галстучных узлов есть названия. К ним тоже можно применить математику: налево над узким концом, направо под ним, продеть сквозь петлю и затянуть. Здесь налево под узким концом, направо и налево под ним, продеть и затянуть. Этот язык мы специально придумали для галстучных узлов, и в данном случае это полувиндзорский узел. Это математическое пособие по завязыванию шнурков на уровне высшего учебного заведения, поскольку в завязывании шнурков есть закономерности. Существует множество способов. Мы можем их проанализировать. Мы можем придумать для этого язык.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
И представления в математике повсюду. Это система записи Лейбница 1675 года. Он придумал язык, описывающий закономерности в природе. Когда мы подбрасываем что-то в воздух, оно падает вниз. Почему? Мы не уверены, но можем описать это с помощью математической закономерности.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Это тоже закономерность. Это тоже выдуманный язык. Догадаетесь для чего? Это система обозначений для чечётки. Благодаря этой системе хореограф делает крутые новые движения, потому что он их представил.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Я хочу, чтобы вы подумали, насколько удивительным может быть представление чего-либо. Здесь зашифровано слово «математика». Но ведь это просто точки, так? Каким образом эти точки могут представить слово? И тем не менее, это так. Они представляют слово «математика», и эти символы также представляют слово, которое мы можем услышать. Оно звучит так.
(Beeps)
(Звук)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Эти звуки характеризуют это слово и идею. Как это происходит? В представлении вещей есть нечто удивительное.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Я хочу поговорить о магии, которая происходит, когда мы представляем что-либо. Здесь вы видите линии разной толщины. Каждая из них — номер в штрих-коде определённой книги. И я могу порекомендовать её, это очень хорошая книга.
(Laughter)
(Смех)
Just trust me.
Просто поверьте мне.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Хорошо, давайте проведём эксперимент, просто поиграем с линиями. Это прямая линия. Давайте нарисуем ещё одну. Каждый раз мы перемещаемся на одну вниз и в сторону и рисуем новую прямую линию, так? Мы делаем это снова, и снова, и снова, и ищем закономерность. Такая закономерность возникает, и она довольно красивая. Похоже на кривую, да? Из простых прямых линий.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Теперь я слегка изменю ракурс. Я могу повернуть эту кривую. Взгляните на неё. На что она похожа? На часть окружности? На самом деле нет. Поэтому я продолжу своё исследование и буду искать правильную закономерность. Что, если я скопирую её вот так? Не то. Может, мне нужно продлить линии вот так и поискать закономерность здесь? Давайте нарисуем больше линий. Вот так. А теперь давайте уменьшим масштаб и снова изменим наш ракурс. Теперь мы видим, что эта кривая, состоящая из прямых линий, на самом деле представляет собой параболу. Эта кривая представлена простым уравнением, и это очень красивая закономерность.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Вот что мы делаем. Мы находим закономерности и представляем их. Я думаю, это замечательное определение математики на каждый день. Но сегодня я хочу немного углубиться и подумать о природе увиденного. Как это возможно? Кое-что лежит глубже, и это связано с возможностью менять ваш угол зрения. Я утверждаю, что когда вы меняете угол зрения и смóтрите с другой точки зрения, вы узнаёте что-то новое о том, что наблюдаете, видите или слышите. И я думаю, это очень важная вещь, которой мы занимаемся постоянно.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Давайте посмотрим на это простое уравнение, x + x = 2 • x. Замечательное уравнение, и оно верно, поскольку 5 + 5 = 2 • 5, и так далее. Мы видим это снова и снова, и представляем это так. Но подумайте: это уравнение. В нём говорится: что-то равно чему-то ещё, и это два разных угла зрения. С одной стороны, это сумма. Что-то плюс что-то. С другой стороны, это умножение, и это и есть два разных угла зрения. И я готов сказать, что любое уравнение подобно этому, каждое математическое уравнение, в котором вы используете знак равенства, на самом деле метафора. Это аналогия между двумя вещами. Вы просто смóтрите на что-то, принимаете две разные точки зрения и выражате всё это языком.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Взгляните на это уравнение. Это одно из самых красивых уравнений. В нём просто говорится, что оба выражения равны -1. Слева -1, и справа тоже -1. И я считаю, что это — один из важнейших аспектов математики, когда вы можете видеть что-то под разными углами.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Давайте немного поиграем. Давайте возьмём число. Все мы знаем число 4/3. Это дробь 1,33, но нам нужно поставить после неё троеточие, иначе это не точное значение 4/3. Но только в десятичной системе. Вы знаете эту систему счисления, в которой мы используем 10 цифр. Если мы будем использовать только две цифры, двоичную систему счисления, то число будет выглядеть так. Теперь мы говорим о числе. Число 4/3. Его можно записать так. Мы можем поменять систему счисления, количество цифр и записать его по-другому.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Всё это — представления одного и того же числа. Мы можем даже записать его просто как 1,3 или 1,6. Всё зависит от того, сколько у вас цифр. Или, возможно, мы упростим его и запишем вот так. Мне нравится, потому что здесь говорится: четыре, делённое на три. И это число выражает связь между двумя числами. С одной стороны у вас есть число четыре, а с другой — три. И это можно наглядно представить разными способами. Сейчас я рассматриваю это число с разных ракурсов. Я с ним играю. Играю с нашим визуальным восприятием чисел и делаю это вполне осознанно. Возьмём вот такую сетку. Её размеры 4х3, а эта линия всегда равна пяти. Она должна быть такой. Красивая закономерность. Четыре, и три, и пять. А этот прямоугольник, 4х3, много раз вам встречался. Это экран вашего компьютера. 800 x 600 или 1 600 x 1 200 — разрешение экрана телевизора или компьютера.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Все эти представления хороши, но я хочу ещё немного углубиться и поиграть с этим числом. Вы видите две окружности. Они вращаются. Обратите внимание на левую верхнюю. Она крутится немного быстрее, верно? А вот так. Она крутится в 4/3 раза быстрее. Это означает, что когда эта окружность совершает четыре оборота, другая совершает три оборота. Давайте проведём две линии и отметим точкой место их пересечения. Точка как бы танцует.
(Laughter)
(Смех)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
И она происходит из этого числа. Сейчас мы проследим за ней. Давайте проследим за ней и посмотрим. Именно в этом и есть суть математики. Смотреть, что происходит. И вот что получается из числа 4/3. Я говорю, что так выглядит число 4/3. Это намного лучше... (Одобрения)
Thank you!
Спасибо!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Аплодисменты) Но это не новость. Это известно уже очень давно, но...
(Laughter)
(Смех)
But this is four-thirds.
Но это 4/3!
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Давайте проведём ещё один эксперимент. Например, возьмём вот этот звук.
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Эталонная «ля», 440 Гц. Умножим его на два. Получим вот такой звук.
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
А вместе они будут звучать вот так. Октава, верно? Можем поиграть в такую игру. Проиграем тот же звук. Теперь умножим его на 3/2.
(Beep)
(Звук)
This is what we call a perfect fifth.
Это чистая квинта.
(Beep)
(Звук)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Эти звуки вместе звучат очень красиво. Давайте умножим этот звук на 4/3.
What happens? You get this sound. (Beep)
Что произойдёт? Получится вот такой звук.
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Это чистая кварта. Если первая нота — ля, то это — ре. Вместе они звучат так.
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Так звучит 4/3. И сейчас я немного изменю свой подход. Я просто смотрю на число с другой стороны.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Это же я могу сделать и с ритмом, так? Я могу взять ритм и играть три удара одновременно
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
за один промежуток времени, а другим звуком я могу играть четыре удара за то же время.
(Clanking sounds)
(Ритмичные звуки)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Звучит скучновато, но послушайте, как они звучат вместе.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Ритмичные звуки)
(Laughter)
(Смех)
Hey! So.
Эй! Итак...
(Laughter)
(Смех)
I can even make a little hi-hat.
Я даже могу добавить немного тарелок.
(Drumbeats and cymbals)
(Барабаны и тарелки)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Слышите? Так звучит число 4/3. Это ритм.
(Drumbeats and cowbell)
(Барабаны и колокольчик)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
И я могу продолжить играть с этим числом. 4/3 — прекрасное число. Я люблю 4/3!
(Laughter)
(Смех)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Нет, правда — это недооценённое число. Если взять шар и рассчитать его объём, он будет равен 4/3 объёма определённого цилиндра. 4/3 находится в шаре. Это объём шара.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Так зачем я всё это делаю? Я хочу поговорить о том, что значит понимать что-то, и что мы имеем в виду под пониманием. Это моя цель сегодня. Я считаю, чтобы понимать что-то, нужно уметь видеть это с разных точек зрения. Давайте посмотрим на эту букву. Красивая буква R, так? Откуда вы это знаете? На самом деле вы уже видели целую кучу таких букв R, вы обобщили и резюмировали всё это и нашли закономерность. И вы знаете, что это именно R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Чего я добиваюсь здесь — донести до вас то, что понимание и изменение вашего взгляда на вещи тесно связаны друг с другом. Я учитель и преподаватель, и я действительно могу применить эту методику в преподавании, потому что когда я рассказываю кому-то историю, метафору, аналогию с другой точки зрения, я «включаю» понимание. Я делаю понимание возможным, потому что нужно обобщить всё то, что ты видишь и слышишь, и когда я предлагаю вам другую точку зрения, вам становится легче понять.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Снова вернёмся к нашему простому примеру. Это четыре и три. Это четыре треугольника. В какой-то степени это тоже число 4/3. Давайте соединим их. Немного поиграем: сложим их в трёхмерную фигуру. Обожаю это. Это пирамида с квадратным основанием. Давайте возьмём две и соединим их. Это октаэдр. Одно из пяти платоновых тел. Теперь мы можем в буквальном смысле изменить его ракурс, потому что будем вращать его вокруг всех осей и смотреть на него с разных сторон. Я меняю ось и вижу его с другого ракурса. Фигура прежняя, но выглядит немного по-другому. Я даже могу сделать так ещё раз.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Каждый раз появляется что-то ещё, и я узнаю́ больше об этой фигуре, когда меняю свой подход. Я могу использовать это как инструмент, помогающий понять. Могу взять две фигуры, соединить их вот так и посмотреть, что получится в результате. Немного похоже на октаэдр. Взгляните на него теперь. Что происходит? Вы берёте две фигуры, соединяете их, вращаете, получается снова ваш октаэдр, прекрасная фигура. Если вы сделаете его проекцию, это тот же октаэдр. Это графическое представление октаэдра. Я могу продолжать. Можно нарисовать вокруг него три больших окружности, повернуть, и эти три окружности связаны с октаэдром. Если я возьму велосипедный насос и просто «накачаю» его, это тоже похоже на октаэдр. Понимаете, что я делаю? Я каждый раз меняю свой подход.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Теперь давайте вернёмся немного назад, это такая метафора, «сделать шаг назад», и взглянем на то, что мы делаем. Я играю с метафорами. Я играю с точками зрения и аналогиями. Я рассказываю одно и то же по-разному. Я рассказываю истории. Я повествую; и таких рассказов несколько. Я думаю, всё это делает понимание возможным. На мой взгляд, в этом и состоит суть понимания. Я искренне верю в это.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Умение смотреть на вещи с разных сторон абсолютно необходимо людям. Давайте «поиграем» с нашей планетой. Приблизимся к океану и посмотрим на него. Это можно сделать с чем угодно. Мы можем рассмотреть океан с близкого расстояния. Мы можем смотреть на волны. Можем пойти на пляж. Мы можем посмотреть на океан с другой точки зрения. Каждый раз мы узнаём о нём больше. На побережье мы чувствуем его запах. Мы слышим волны. Чувствуем соль на языке. Всё это разные взгляды на одно и то же. И этот — лучший. Мы можем войти в воду. Можем посмотреть на воду изнутри. И знаете, что? Это просто необходимо делать в математике и информатике. Если вы способны увидеть структуру объекта изнутри, тогда вы действительно узнаёте о нём что-то. Понимаете его сущность.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Когда мы это делаем, и мы отправляемся в это путешествие по океану, мы используем своё воображение. Это уже более глубокий уровень понимания, и он требуется для того, чтобы вы могли изменить свой подход. Давайте немного поиграем. Представьте, что вы сидите здесь. Вы можете представить, что находитесь прямо здесь. И можете посмотреть на себя со стороны. Это немного странно. Вы меняете свой подход. Вы используете своё воображение, и смóтрите на себя со стороны. От вас требуется воображение.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Математика и информатика — самые творческие формы искусства. Это изменение подхода, угла зрения должно быть вам знакомо, потому что мы это делаем каждый день. Это называется сопереживанием. Когда я смотрю на мир вашими глазами, я вам сопереживаю. Если я на самом деле понимаю, как выглядит мир с вашей точки зрения, я могу сопереживать. Для этого требуется воображение. Именно так мы добиваемся понимания. В математике и информатике это буквально повсюду, и существует действительно глубокая связь между сочувствием и этими науками.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Мой вывод заключается в следующем: чтобы глубоко понимать что-то, нужно уметь смотреть на вещи с разных сторон. Мой совет вам: попробуйте поменять свой подход. Можете заняться математикой. Это чудесный способ тренировки мозга. Изменение собственного подхода сделает ваш разум более гибким. Вы откроетесь чему-то новому, вы станете понимать. И напоследок ещё одна метафора: пусть ваш ум будет подобен воде. Это замечательно.
Thank you.
Спасибо.
(Applause)
(Аплодисменты)