Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Bună! Vreau să vorbesc despre înţelegere şi natura înţelegerii şi despre care este esenţa înţelegerii, pentru că înţelegerea este ceva spre care tindem cu toţii. Vrem să înţelegem lucrurile. Eu susţin că înţelegerea are de-a face cu abilitatea de a-ţi schimba perspectiva. Dacă nu ai această abilitate, nu poţi înţelege. Asta susţin eu.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Vreau să mă concentez pe matematică. Mulţi dintre noi văd în matematică doar adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri, fracţii, procente, geometrie, algebră - toate aceste lucruri. Eu vreau de fapt să vorbesc şi despre esenţa matematicii. Și afirm că matematica este legată de tipare.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
În spatele meu vedeţi un tipar frumos, care provine doar din desenarea unor cercuri într-un anumit mod. Definiţia mea obișnuită a matematicii este următoarea: în primul rând, ține de găsirea tiparelor. Când spun „tipar” mă refer la o conexiune, o structură, o regularitate, nişte reguli care guvernează ceea ce vedem. În al doilea rând, cred că ține de reprezentarea acestor tipare printr-un limbaj. Noi inventăm limbajul dacă nu îl avem şi în matematică acest lucru e esenţial. Ține și de presupuneri şi de joaca cu aceste presupuneri ca să vedem ce se întâmplă. O să facem asta cât de curând. În sfârșit, ține de a face lucruri interesante. Matematica ne oferă posibilitatea să facem atât de multe lucruri.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Să privim aceste tipare. Dacă vrei sa faci un nod de cravată, există tipare. Nodurile de cravată au nume. Poţi să faci şi matematica nodurilor de cravată. Acesta e un nod stanga-afară, dreapta-înăuntru, centru-afară şi trage. Acesta e un nod stânga-înăuntru, dreapta-afară, centru-afară şi trage. Acesta e un limbaj inventat pentru tiparele nodurilor de cravată, și un jumătate-Windsor e tot despre asta. Aceasta e o carte de matematică de nivel universitar despre legarea şireturilor, pentru că există tipare în şireturi. Se pot face în foarte multe moduri. Putem să analizăm. Putem să inventăm limbaje pentru asta.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Reprezentările sunt peste tot în matematică. Aceasta este notaţia lui Leibniz din 1675. El a inventat un limbaj petru tiparele din natură. Dacă aruncăm ceva în aer, cade. De ce? Nu suntem siguri, dar putem reprezenta asta matematic, cu un tipar.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Acesta e tot un tipar. Este de asemenea un limbaj inventat. Puteţi ghici pentru ce? E de fapt un sistem de notare pentru dans, pentru step. Acesta îi permite coregrafului să facă lucruri tari, noi, pentru că le are reprezentate.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Gândiți-vă la cât de uimitor este să reprezinţi ceva. Aici avem cuvântul „matematică”. Dar, de fapt, sunt doar puncte, nu-i aşa? Cum e posibil ca aceste puncte să reprezinte cuvântul? Ei bine, asta fac. Ele reprezintă cuvântul „matematică” şi aceste simboluri reprezintă acest cuvânt, iar pe acestea le putem asculta. Sună aşa.
(Beeps)
(Bipuri)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Uneori aceste sunete reprezintă cuvântul şi conceptul. Cum se întâmplă asta? Se întâmplă ceva fenomenal când reprezentăm lucrurile.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Vreau să vorbesc despre acea magie care se întâmplă când reprezentăm ceva. Aici vedeţi nişte linii de diferite grosimi. Ele reprezintă numerele pentru o carte specială, pe care chiar o recomand; e foarte drăguță.
(Laughter)
(râsete)
Just trust me.
Aveţi încredere în mine.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Să facem un experiment. Să ne jucăm cu nişte linii drepte. Aceasta este o linie dreaptă. Să mai facem una. De fiecare dată când o mişcăm, o dată în jos, o dată lateral şi desenăm o nouă linie dreaptă, corect? Facem asta iar şi iar şi căutăm tipare. Rezultă acest tipar, şi e chiar un tipar drăgut. Arată ca o curbă, nu? Doar desenând linii simple, drepte.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Pot să-mi schimb puţin perspectiva. Pot să-l rotesc. Priviţi curba. Cum arată? E o parte dintr-un cerc? De fapt, nu e o parte dintr-un cerc. Deci trebuie să continui investigaţia şi să caut tiparul corect. Poate dacă îl copiez şi fac ceva artistic? Păi nu. Poate că ar trebui să extind aceste linii aşa şi să caut tiparul aici. Să facem mai multe linii. Facem aşa. Apoi să mărim şi să schimbăm din nou perspectiva. Putem vedea că ce a pornit de la linii drepte este de fapt o curbă, numită parabolă. Aceasta e reprezentată de o ecuaţie simplă şi este un tipar frumos.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Cu asta ne ocupăm: găsim tipare şi le reprezentăm. Cred că e o definiţie frumoasă de zi-de-zi. Dar astăzi vreau să merg puţin mai departe şi să mă gândesc la natura acestui lucru. Ce îl face posibil? E un lucru puţin mai profund şi care are de-a face cu abilitatea de a-ţi schimba perspectiva. Eu susţin că, atunci când îţi schimbi perspectiva şi priveşti dintr-un alt punct de vedere, înveţi ceva nou despre ce priveşti sau ce asculţi. Cred că asta e ceva foarte important, ceva ce facem mereu.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Să privim această ecuaţie simplă: x + x = 2 • x. E un tipar foarte frumos şi e adevărat, pentru că 5 + 5 = 2 • 5 etc. Am văzut asta iar şi iar şi o reprezentăm aşa. Dar gândiţi-vă: aceasta e o ecuaţie. Ea spune că ceva e egal cu altceva, şi acestea sunt două perspective diferite. O perspectivă este suma. E ceva ce aduni. Pe de altă parte, e înmulţirea, şi acestea sunt două perspective diferite. Aş îndrăzni să spun că fiecare ecuaţie e la fel, fiecare ecuaţie matematică în care folosim semnul de egalitate este de fapt o metaforă. Este o analogie între două lucruri. Doar priveşti ceva din două puncte de vedere diferite şi exprimi asta într-un limbaj.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Priviţi această ecuaţie. Aceasta este una dintre cele mai frumoase ecuaţii. Ea spune doar că... ...fiecare din aceste două lucruri este -1. Acesta din stânga e -1 şi celălalt la fel. Cred că e unul din lucrurile esenţiale în matematică: să priveşti din diferite puncte de vedere.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Haideţi să ne jucăm. Să luăm un număr. Ştim patru treimi. Cu toţii ştim ce înseamnă patru treimi. Este 1,333..., dar trebuie să avem acele 3 puncte, altfel nu este exact patru treimi. Dar e valabil doar în baza 10. În sistemul de numeraţie folosim 10 cifre. Dacă schimbăm asta şi folosim doar 2 cifre, îl numim sistem binar. Se scrie aşa. Deci acum nu vorbim despre număr. Numărul este patru treimi. Îl putem scrie aşa şi putem schimba baza, schimba numărul de cifre, şi putem să îl scriem diferit.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Toate acestea sunt reprezentări ale aceluiaşi număr. Putem chiar să-l scriem simplu, ca 1,3 sau 1,6. Totul depinde de câte cifre ai. Sau poate simplificăm şi îl scriem aşa. Îmi place asta, pentru că zice patru împărţit la trei. Acest număr exprimă o relaţie între două numere. Pe de o parte ai 4 şi pe de alta 3. Poţi vizualiza asta în multe moduri. Eu acum privesc acest număr din diferite perspective. Mă joc. Mă joc cu modul în care privim ceva şi o fac intenţionat. Putem lua o grilă. Dacă are 4 pe lungime şi 3 pe lăţime, această linie este mereu 5. Trebuie să fie aşa. Este un tipar frumos. Patru şi trei şi cinci. Acest dreptunghi, care este 4 x 3, l-aţi văzut de multe ori. Este probabil rezoluţia ecranului calculatorului dumneavoastră. 800 x 600 sau 1600 x 1200 este ecranul televizorului sau al calculatorului.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Toate acestea sunt reprezentări frumoase, dar vreau să merg mai departe şi să mă mai joc cu acest număr. Aici vedeţi două cercuri. O să le rotesc aşa. Observaţi-l pe cel din stânga-sus. Se mişcă mai repede, nu-i aşa? Vedeți? Se mişcă exact de 4/3 ori mai repede. Adică, atunci când unul se roteşte de patru ori, celălalt se roteşte de trei ori. Acum să facem două linii şi să desenăm un punct acolo unde liniile se întâlnesc.
(Laughter)
Acest punct începe să danseze. (râsete)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
Acest punct provine din acel număr. Aşa-i? Acum să-l urmărim. Să urmărim ce se întâmplă. Despre asta e matematica. E despre a vedea ce se întâmplă. Asta reiese din patru treimi. Îmi place să spun că asta e imaginea lui patru treimi. Este mult mai frumoasă.
Thank you!
Mulţumesc!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Aplauze) Nu e nimic nou. Se ştie de mult timp, dar...
(Laughter)
(râsete)
But this is four-thirds.
dar aceasta este patru treimi.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Să facem alt experiment. Să luăm un sunet, acest sunet: (Bip)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Este un <i>la</i> perfect 440Hz. Să-l înmulţim cu 2. Obţinem acest sunet. (Bip)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Dacă le cântam împreună, sună astfel. Aceasta e o octavă, aşa-i? Putem să facem aşa. Putem scoate un sunet, acelaşi <i>la</i>. Şi să-l înmulţim cu patru treimi.
(Beep)
(Bip)
This is what we call a perfect fifth.
Acesta se numeşte o cincime perfectă.
(Beep)
(Bip)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Sună foarte bine împreună. Să înmulţim acest sunet cu patru treimi.
What happens? You get this sound. (Beep)
Ce se întâmplă? Obţineţi acest sunet.
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Acesta e o pătrime perfectă. Dacă primul e un <i>la</i>, acesta e un <i>re</i>. Ele sună aşa împreună.
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Acesta e sunetul lui patru treimi. Acum îmi schimb perspectiva. Doar privesc un număr dintr-o altă perspectivă.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Pot să fac asta chiar şi cu ritmurile, nu-i aşa? Pot să fac un ritm şi să produc 3 bătăi de tobă o dată (bătăi de tobă)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
într-o perioadă de timp şi pot să scot alt sunet, de 4 ori în aceeaşi perioadă.
(Clanking sounds)
(Clinchet de tobă)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Sună cam plictisitor, dar ascultaţi-le împreună.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Tobe şi clincheturi)
(Laughter)
(râsete)
Hey! So.
Hei! Aşa...
(Laughter)
(râsete)
I can even make a little hi-hat.
Pot să fac chiar puţin hi-hat.
(Drumbeats and cymbals)
(Toate sunetele)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Auziţi? Acesta este sunetul lui patru treimi. Şi acesta este tot al lui, sub formă de ritm.
(Drumbeats and cowbell)
(Tobe)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
Pot să continui să fac asta şi să mă joc cu acest număr. Patru treimi e cu adevărat un număr minunat.
(Laughter)
Îmi place patru treimi! (râsete)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Cu adevărat - e un număr subestimat. Dacă considerați volumul unei sfere, e de fapt patru treimi dintr-un cilindru anume. Deci 4/3 e în sferă. E volumul sferei.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
De ce fac toate acestea? Vreau să vorbesc despre ce înseamnă să înţelegi ceva şi la ce ne referim când spunem că înţelegem ceva. Acesta este scopul meu aici. Eu susţin că înţelegi ceva dacă ai abilitatea să vezi acel lucru din diferite perspective. Să privim această literă. E un <i>R</i> frumos, aşa-i? De unde ştiţi? De fapt, aţi mai văzut multe R-uri şi aţi generalizat şi le-aţi abstractizat pe toate şi aţi găsit un tipar. Aşa că ştiţi că acesta este un R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Aici vreau să spun ceva despre legătura dintre înţelegere și schimbarea perspectivei. Eu sunt profesor şi lector şi pot folosi aceste lucruri ca să predau ceva pentru că atunci când spun cuiva o altă poveste, metaforă, o analogie, dacă spun o poveste din alt punct de vedere, eu declanşez înţelegerea. Eu fac posibilă înţelegerea pentru că voi trebuie să generalizaţi tot ce vedeţi şi auziţi şi dacă vă arăt o altă perspectivă, va deveni mai simplu pentru voi.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Să mai luăm un exemplu simplu. Acesta e patru şi trei. Acestea sunt patru triunghiuri. Deci tot patru treimi într-un fel. Să le unim! Acum vom juca un joc; îl vom împături într-o structură tridimensională. îmi place asta. Aceasta este o piramidă patrulateră. Să luăm două din acestea şi să le lipim una de alta. Acesta se numeşte octaedru. E unul din cele cinci solide platonice. Acum ne putem literalmente schimba perspectiva, pentru că putem să-l rotim în jurul tuturor axelor şi să-l vedem din diferite perspective. Pot să modific axa, şi apoi să-l văd din alt punct de vedere, dar e acelaşi lucru, dar arată puţin diferit. Pot să o fac chiar încă o dată.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
De fiecare dată când fac asta, apare altceva, deci de fapt eu învăţ mai multe despre obiect atunci când îmi schimb perspectiva. Pot să folosesc acest lucru ca o unealtă pentru a crea înţelegere. Pot să iau două din acestea şi să le unesc în acest fel şi să văd ce se întâmplă. Arată puţin ca un octaedru. Uitaţi-vă la el! Dacă îl rotesc astfel... Ce se întâmplă? Dacă iei două din acestea, le uneşti şi le roteşti, iată din nou octaedrul vostru, o structură frumoasă. Dacă îl întinzi pe podea, acesta este octaedrul. Aceasta este structura grafică a octaedrului. Pot să continui să fac asta. Poţi să desenezi trei cercuri mari în jurul octaedrului, şi să-l roteşti, astfel că trei cercuri sunt legate de octaedru. Dacă iau o pompă de bicicletă şi o umflu, vedeţi că şi acest obiect seamănă puţin cu un octaedru. Vedeţi ce fac eu aici? Schimb perspectiva de fiecare dată.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Să facem acum un pas înapoi – şi aceasta e de fapt o metaforă: „un pas inapoi” – şi să privim ce facem. Eu mă joc cu metaforele. Mă joc cu perspectivele şi analogiile. Spun aceeaşi poveste în moduri diferite. Spun poveşti. Fac o poveste; fac mai multe povești. Cred că toate aceste lucruri fac posibilă înţelegerea. Eu cred că asta e esenţa înţelegerii lucrurilor. Eu chiar cred asta.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Deci schimbarea perspectivei, este absolut fundamental pentru oameni. Să ne jucăm cu Pământul. Să privim de aproape oceanul, uitaţi-vă la ocean. Putem face asta cu orice. Putem privi oceanul de aproape. Putem să privim valurile. Putem să mergem pe plajă. Putem vedea oceanul din altă perspectivă. De fiecare dată când facem asta, învăţăm puţin mai mult despre ocean. Dacă mergem pe mal, putem chiar să-l mirosim, nu-i aşa? Putem să auzim sunetul valurilor. Putem simţi sarea pe limbă. Toate acestea sunt perspective diferite. Şi aceasta e cea mai bună: putem să intrăm în apă. Putem vedea apa din interior. Şi ştiţi ceva? Aste e esenţial în matematică şi informatică. Dacă poți vedea o structură din interior, atunci chiar înveţi ceva despre ea. Asta e cumva esenţa lucrurilor.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Când facem asta, când facem această călătorie în ocean, ne folosim imaginaţia. Cred că e un nivel mai adânc şi e de fapt o cerinţă pentru schimbarea perspectivei. Putem încerca un joc. Puteţi să vă imaginaţi că staţi acolo. Puteţi să vă imaginaţi că sunteţi aici sus şi staţi acolo. Puteţi să vă vedeţi din afară. E un lucru cu adevărat ciudat. Îţi schimbi perspectiva. Îţi foloseşti imaginaţia şi te vezi pe tine însuţi din afară. Asta necesită imaginaţie.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Matematica şi informatica sunt cele mai imaginative forme de artă. Acest lucru, schimbarea perspectivelor, ar trebui să vă sune familiar, pentru că o facem zilnic. Se numeşte empatie. Când privesc lumea din perspectiva ta, empatizez cu tine. Dacă chiar înţeleg cu adevărat cum arată lumea din perspectiva ta, sunt empatic. Asta necesită imaginaţie. Astfel obţinem înţelegere. Asta e peste tot în matematică şi peste tot în informatică şi există o conexiune strânsă între empatie şi aceste ştiinţe.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Concluzia mea este următoarea: înţelegerea în profunzime are legătură cu abilitatea de a-ţi schimba perspectiva. Deci sfatul meu pentru voi: încercaţi să vă schimbaţi perspectiva. Puteţi învăţa matematică. Este un mod minunat de a vă antrena creierul. Schimbarea perspectivei vă face mintea mai flexibilă. Vă face deschişi către lucruri noi şi vă dă posibilitatea să înţelegeţi lucrurile. Şi să folosiţi o altă metaforă: să aveţi o minte ca apa. Frumos.
Thank you.
Mulțumesc! (aplauze)
(Applause)