Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Oi. Quero falar sobre o entendimento, sua natureza e sobre qual é sua essência, porque entendimento é algo que todos almejamos. Queremos entender as coisas. Defendo que o entendimento tem a ver com a capacidade de mudar sua perspectiva. Sem isso, você não terá o entendimento. Então esse é o meu argumento.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
E quero focar em matemática. Muitos acham que a matemática é só adição, subtração, multiplicação, divisão, frações, porcentagem, geometria, álgebra, essas coisas. Mas, de fato, também quero falar sobre a essência da matemática. Meu argumento é que a matemática tem a ver com padrões.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Atrás de mim, vocês veem um lindo padrão, que surge de círculos desenhados de uma determinada maneira. Então minha definição atual de matemática que uso no cotidiano é a seguinte: em primeiro lugar, matemática é sobre encontrar padrões. E por "padrão", quero dizer conexão, estrutura, certa regularidade, certas regras que regem o que vemos. Em segundo lugar, acho que é sobre a representação desses padrões através de uma linguagem. Inventamos uma linguagem quando não a temos, e, em matemática, isso é essencial. É também sobre formular hipóteses e brincar com elas para ver o que acontece. Vamos fazer isso daqui a pouco. E, finalmente, é sobre fazer coisas legais. A matemática nos permite fazer muitas coisas.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Então vamos olhar esses padrões. Caso queira dar um nó de gravata, existem padrões. Nós de gravatas têm nomes. Você pode fazer a matemática dos nós de gravata. Este é esquerda-fora, direita-dentro, centro-fora e nó. Este é esquerda-dentro, direita-fora, esquerda-dentro, centro-fora e nó. Essa é a linguagem que inventamos para os padrões de nós de gravata, e o nó "meio Windsor" é isso tudo. Este é um livro de matemática sobre como amarrar cadarços em nível universítario, pois existem padrões em cadarços. Você pode fazer isso de várias maneiras. Podemos analisá-los. Podemos criar linguagens para isso.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
E representações são predominantes na matemática. Esta é uma notação de Leibniz de 1675. Ele inventou uma linguagem para padrões na natureza. Quando jogamos algo para o alto, ele cai. Por quê? Temos dúvidas, mas isso pode ser expresso com a matemática por meio de um padrão.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Isto também é um padrão. Isto também é uma linguagem inventada. Conseguem adivinhar para quê? Na verdade, é um sistema de notação para uma dança, o sapateado. Isso permite que o coreógrafo faça algo legal, coisas novas, porque ele as representou.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Quero que imaginem como é realmente legal representar algo. Aqui está expressa a palavra "matemática". Mas, na verdade, são só pontos, certo? Então como esses pontos podem representar uma palavra? Bem, eles representam. Eles representam a palavra "matemática", e estes símbolos também a representam, e isso pode até ser ouvido. Soa assim.
(Beeps)
(Bipes)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
De alguma forma, esses sons representam a palavra e o conceito. Como isso se dá? Algo incrível acontece quando as coisas são representadas.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Então quero falar sobre essa magia que acontece quando, de fato, representamos algo. Aqui só vemos linhas com diferentes larguras. Elas simbolizam números de um determinado livro. E realmente posso recomendar este livro, é muito bom mesmo.
(Laughter)
(Risos)
Just trust me.
Confiem em mim.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Então vamos fazer uma experimentação, só para brincar com umas linhas retas. Esta é uma linha reta. Vamos fazer outra linha. A cada vez posicionamos um tanto para baixo e um tanto para o lado e desenhamos uma nova linha reta, certo? Fazemos isso várias vezes e procuramos por padrões. Então este padrão surge, e até que é um padrão legal. Parece uma curva, certo? Só de desenharmos linhas retas e simples.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Agora posso um pouco mudar minha perspectiva. Posso girá-lo. Deem uma olhada na curva. Ela se parece com o quê? É parte de um círculo? Na verdade, não é parte de um círculo. Então preciso continuar investigando e procurando por um padrão verdadeiro. Talvez se o copiar e criar uma arte? Bem, não. Talvez eu deva esticar as linhas assim e procurar pelo padrão. Vamos fazer mais linhas. Fazemos isto. Depois vamos diminuir o zoom e mudar nossa perspectiva de novo. Então podemos ver que o que começou com linhas retas, na verdade é uma curva chamada parábola. Isso é representado por uma equação simples, e é um padrão lindo.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Então é isso que fazemos. Encontramos padrões e os representamos. Acho que essa é uma boa definição para o dia a dia. Mas hoje quero me aprofundar um pouco e pensar na natureza disso. O que o torna possível? Existe algo que é um pouco mais profundo, e tem a ver com a habilidade de mudar de perspectiva. Defendo que, quando você muda sua perspectiva, e incorpora outro ponto de vista, você aprende algo novo sobre o que está observando, olhando ou escutando. Acho que isso é algo muito importante que fazemos o tempo todo.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Vamos dar uma olhada nesta simples equação: x + x = 2 • x. Esse é um padrão muito bom e é verdadeiro, porque 5 + 5 = 2 • 5, etc. Já vimos isso várias vezes e o representamos desta forma. Mas pense: isso é uma equação. Diz que algo é igual a outra coisa, e isso são duas perspectivas distintas. Numa perspectiva, isso é uma soma. É algo que você adiciona. Por outro lado, isso é uma multiplicação. E essas são duas perspectivas diferentes. Até diria que toda equação é assim, toda equação matemática em que você usa aquele sinal de igualdade é, na verdade, uma metáfora. É uma analogia entre duas coisas. Você só vê algo e considera dois pontos de vista, expressando isso em uma linguagem.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Olhem esta equação. É uma das mais bonitas. Ela diz que, bem, duas coisas são, ambas, -1. Esta coisa do lado esquerdo é -1, assim como a outra. E isso, acredito, é uma das partes essenciais da matemática: considerar diferentes pontos de vista.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Vamos brincar. Vamos pegar um número. Conhecemos quatro terços. Sabemos o que são quatro terços. É 1,333, mas temos que ter aqueles três pontos, ou não teremos exatamente quatro terços. Mas isso é apenas na base decimal. Sabem, no sistema numérico, usamos dez dígitos. Se mudarmos isso e usarmos apenas dois dígitos, o nome muda para sistema binário. É escrito assim. Agora estamos falando sobre o número. O número é quatro terços. Podemos escrever assim, mudar a base, mudar o número de dígitos, e escrever de maneiras distintas.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Tudo isso são representações diferentes do mesmo número. Podemos escrevê-lo simplificadamente, como 1,3 ou 1,6. Depende de quantos dígitos você tiver. Ou simplificamos para escrevermos assim. Gosto deste, porque indica quatro dividido por três. E este número expressa a relação entre dois números. Por um lado, você tem quatro. Por outro, três. Você pode visualizar isso de muitas formas. O que faço agora é ver aquele número a partir de perspectivas diferentes. Estou brincando. Estou brincando com a forma como vemos as coisas. Faço isso deliberadamente. Peguemos uma tabela. Quatro na horizontal, três na vertical. Esta fileira é sempre igual a cinco. Tem que ser assim. É um padrão lindo. Quatro, três e cinco. E este retângulo é de 4 x 3. Já o viram várias vezes. Esta é uma tela comum de computador: 800 x 600 ou 1600 x 1200 é uma tela de TV ou computador.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
São todas representações boas, mas quero ir um pouco além e brincar mais com esse número. Aqui vocês veem dois círculos. Vou girá-los assim. Notem o do canto superior esquerdo. Vai mais rápido, certo? Conseguem ver isso? Na verdade, ele é exatamente quatro terços mais rápido. Isso significa que, quando ele gira quatro vezes, o outro gira três vezes. Agora vamos fazer duas linhas e desenhar um ponto onde elas se cruzam. Temos esse ponto dançando por aí.
(Laughter)
(Risos)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
E esse ponto vem daquele número. Certo? Agora vamos rastreá-lo. Vamos rastreá-lo e ver o que acontece. É disso que se trata a matemática. É sobre ver o que acontece. E isso surge dos quatro terços. Gosto de dizer que essa é a imagem dos quatro terços. É muito mais legal...
Thank you!
Obrigado!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Aplausos) Isso não é novidade. Já sabiam disso há muito tempo, mas...
(Laughter)
(Risos)
But this is four-thirds.
Mas esse é o nosso quatro terços.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Vamos fazer outro experimento. Vamos usar um som, este aqui: (Bipe)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Este é um A perfeito, 440Hz. Vamos multiplicá-lo por dois. (Bipe) Temos este som.
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Ao tocá-los juntos, o som fica assim. Isso é uma oitava, certo? Podemos jogar assim, brincar com um som, tocar o mesmo A, ou multiplicá-lo por três meios.
(Beep)
(Bipe)
This is what we call a perfect fifth.
É isso que chamamos de quinta justa.
(Beep)
(Bipe)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Eles soam muito bem juntos. Vamos multiplicar esse som por quatro terços. (Bipe)
What happens? You get this sound. (Beep)
O que acontece? (Bipe) Você obtém esse som.
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Esta é a quarta justa. Se o primeiro é um A, este é um D. Juntos, tem este som. (Bipes)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Esse é o som dos quatro terços. Estou mudando a minha perspectiva. Estou só vendo um número a partir de uma outra perspectiva.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Posso até fazer isso com ritmos, certo? Posso usar um ritmo e dar três batidas de uma vez, (Batida)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
em um período de tempo, e reproduzir outro som quatro vezes naquele mesmo espaço.
(Clanking sounds)
(Sons retinintes)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
São meio chatos, mas escutem-nos juntos.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Batidas e sons retinintes)
(Laughter)
(Risadas)
Hey! So.
Ei! Então.
(Laughter)
(Risadas)
I can even make a little hi-hat.
Posso até tocar um chimbal.
(Drumbeats and cymbals)
(Batidas e pratos)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Conseguem ouvir isso? Então, isso é o som dos quatro terços. Novamente, isso é um ritmo.
(Drumbeats and cowbell)
(Batidas e cowbell)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
Posso continuar fazendo isso e brincar com esse número. Quatro terços é um número ótimo. Eu amo quatro terços!
(Laughter)
(Risos)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
É sério, é um número menosprezado. Se você pegar uma esfera e olhar para o volume dela, vai ver que ele é quatro terços de um determinado cilindro. Então quatro terços estão na esfera. São o volume da esfera.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Por que estou fazendo tudo isso? Bem, quero falar sobre o que significa entender algo e o que queremos dizer quanto a isso. É este o meu foco aqui. E, ao meu ver, você entende alguma coisa se tiver a habilidade para vê-la de diferentes perspectivas. Vamos olhar para esta letra. É um R bonito, não? Como vocês sabem disso? Bem, na realidade, vocês já viram vários erres, generalizaram, abstraíram todos e encontraram um padrão. Então sabem que isso é um R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Então o meu foco aqui é dizer algo sobre como o entendimento e a mudança da sua perspectiva estão conectados. Sou professor e palestrante, e posso usar isso para ensinar algo, porque, ao dar a alguém outra história, uma metáfora, uma analogia, ao contar uma história de um outro ponto de vista, eu possibilito o entendimento. Eu o torno possível, pois você tem que generalizar tudo o que vê e ouve, e se eu forneço outra perspectiva, isso se torna mais fácil para você.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Vamos usar um exemplo simples, de novo. Isso são quatro e três. São quatro triângulos. De certa forma, são quatro terços. Vamos uni-los. Agora vamos fazer um jogo: vamos dobrá-lo em uma estrutura trideimensional. Amo isso. Isso é uma pirâmide quadrangular. Vamos pegar duas delas e unificá-las. Isso se chama um octaedro. É um dos cinco sólidos platônicos. Agora podemos literalmente mudar nossa perspectiva, porque podemos girá-lo ao redor dos eixos e vê-lo de perspectivas diferentes. Posso mudar o eixo, depois vê-lo de outro ângulo, mas tudo é a mesma coisa, mesmo que um pouco diferente. Posso fazer isso de novo.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Toda vez que faço isso, outra coisa aparece, então estou aprendendo mais sobre o objeto quando mudo minha perspectiva. Posso usar isso como uma ferramenta para gerar entendimento. Posso usar dois desses e unificá-los assim para ver o que acontece. Parece um pouco com o octaedro. Deem uma olhada. Se eu girá-lo assim, o que acontece? Bem, se eu pegar dois desses, uni-los e girá-los, eis o seu octaedro de novo, uma estrutura linda. Se colocá-lo aberto no chão, o octaedro fica assim. Esta é a estrutura gráfica de um octaedro. E posso continuar fazendo isso. Você pode desenhar três círculos grandes ao redor do octaedro e rotacioná-lo. Então três grandes círculos estão vinculados ao octaedro. E se pegar uma bomba para bicicletas e inflá-lo, poderá notar que isso também se parece um pouco com o octaedro Percebem o que estou fazendo? Estou mudando a perspectiva toda hora.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Agora vamos retroceder, e isso é, na verdade, uma metáfora, e olhar o que estamos fazendo. Estou brincando com metáforas. Estou brincando com perspectivas e analogias. Estou contando uma história de jeitos diferentes. Estou contando histórias. Estou criando uma narrativa. Estou criando várias narrativas. Acho que todas essas coisas tornam a compreensão possível. Acho que essa é a essência de entender alguma coisa. Acredito piamente nisso.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Então isso de mudar sua perspectiva é absolutamente fundamental para o ser humano. Vamos brincar com a Terra. Vamos dar um zoom no oceano, dar uma olhada nele. Podemos fazer isso com qualquer coisa. Podemos pegar o oceano e vê-lo de perto. Podemos ver as ondas. Podemos ir à praia. Podemos ver o oceano sob outra perspectiva. Toda vez que fazemos isso, aprendemos mais um pouco sobre o oceano. Se formos até a margem, quase que sentimos seu cheiro. Podemos ouvir o som das ondas. Podemos sentir o sal na nossa língua. Então tudo isso são perspectivas diferentes. E esta é a melhor. Podemos entrar na água. Podemos vê-la a partir de seu interior. E sabem de uma coisa? Isso é fundamental na matemática e na ciência da computação. Se conseguir ver uma estrutura por dentro, então você pode realmente pode aprender sobre ela. Isso é quase que a essência de algo.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Quando fazemos isso, e já fizemos essa jornada mar adentro, usamos nossa imaginação. Acho que isso é um nível mais profundo, é um requisito para mudarmos nossa perspectiva. Podemos brincar. Imaginem que estão sentados aí. Podem imaginar que estão aqui, que estão sentados aqui. Vocês podem se ver por fora. Isso é uma coisa muito estranha. Vocês estão mudando sua perspectiva. Vocês estão usando sua imaginação e se vendo por fora. Isso exige imaginação.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
A matemática e a ciência da computação são as maiores formas de arte que existem. E isso de mudar perspectivas deve soar familiar para vocês, porque fazemos isso todo dia. Isso se chama empatia. Quando vejo o mundo a partir da sua perspectiva, sinto empatia por você. Se eu verdadeiramente entender como é o mundo a partir da sua perspectiva, sou empático. Isso exige imaginação. E é assim que adquirimos entendimento. Isso permeia a matemática e a ciência da computação, e existe uma conexão profunda entre a empatia e essas ciências.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Então minha conclusão é esta: entender algo profundamente tem a ver com a capacidade de mudar sua perspectiva. Meu conselho para vocês é: tentem mudar sua perspectiva. Vocês podem estudar matemática. É uma maneira maravilhosa para treinar o cérebro. Mudar sua perspectiva faz sua mente ficar mais flexível. Você fica mais aberto a coisas novas, e se torna capaz de entender as coisas. E usando mais uma metáfora: que sua mente seja como água. Essa é boa.
Thank you.
Obrigado.
(Applause)
(Aplausos)