Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Olá. Eu quero falar da compreensão e da natureza da compreensão e do que é a essência da compreensão, porque a compreensão é uma coisa que todos buscamos. Queremos compreender as coisas. Eu defino a compreensão como a capacidade de mudar de perspetiva. Se não temos essa capacidade, não temos compreensão. É assim que a defino.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Vou concentrar-me na matemática. Muita gente pensa na matemática como a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, frações, percentagens, geometria, álgebra — essas coisas todas. Mas eu também vou falar sobre a essência da matemática. Para mim, a matemática tem a ver com padrões.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Por detrás de mim, veem um padrão belíssimo. Este padrão aparece quando desenhamos círculos de uma forma determinada. A minha definição da matemática que uso todos os dias é a seguinte: Primeiro, trata-se de encontrar padrões. Por "padrão", quero dizer uma interligação, uma estrutura, certa regularidade, algumas regras que governam o que vemos. Em segundo lugar, penso que trata da representação destes padrões com uma linguagem. Criamos uma linguagem, se não a temos, e, em matemática, isso é essencial. Trata-se também de formular hipóteses e de trabalhar com essas hipóteses para ver o que acontece. Vamos fazer isso dentro de instantes. Por fim, trata-se de fazer coisas giras. A matemática permite-nos fazer muitas coisas.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Vamos olhar para estes padrões. Se quisermos fazer um nó de gravata, há padrões. Os nós têm nomes. Também podemos fazer a matemática dos nós de gravata. Esquerda-por-fora, direita-por-dentro, centro-por-fora, nó. Esquerda-por-dentro, direita-por-fora, esquerda-por-dentro, centro-por-fora, nó Esta é a linguagem que criamos para o padrão dos nós de gravata e um meio-Windsor é isto tudo, Este é um livro de matemática sobre atar atacadores a nível da universidade, porque há padrões nos atacadores. Podemos atá-los de muitas formas diferentes. Podemos analisá-lo. Podemos criar linguagens para isso.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
E as representações são sobre matemática. Esta é a notação de Leibnitz de 1675. Inventou uma linguagem para os padrões na Natureza. Quando atiramos uma coisa ao ar, ela cai. Porquê? Não sabemos bem, mas podemos representá-la com a matemática, num padrão.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Isto também é um padrão. Isto também é uma linguagem inventada. Imaginam para o que é isto? É um sistema de notação para a dança, para o sapateado. Permite a um coreógrafo fazer coisas giras, coisas novas, porque fez uma representação.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Pensem em como é espantoso representar uma coisa como ela é. Aqui está referida a palavra "matemática". Mas, na verdade, são apenas pontos, não é? Como é que estes pontos podem representar a palavra? Pois bem, representam mesmo. Representam a palavra "matemática" e estes símbolos também representam essa palavra e esta podemos ouvir. Tem este som.
(Beeps)
(Bips)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Estes sons representam a palavra e o conceito. Como é que isto é possível? Há uma coisa espantosa no que se refere à representação de coisas.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Vou falar sobre essa magia que acontece. quando representamos uma coisa. Vemos aqui linhas com diferentes espessuras. Correspondem a números para um determinado livro. Posso recomendar este livro, é um livro muito bom.
(Laughter)
(Risos)
Just trust me.
Acreditem.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Ok, vamos fazer uma experiência, só para brincar com linhas retas. Isto é uma linha reta. Vamos fazer mais uma. Movimentamo-nos, descendo uma unidade e cruzando uma unidade e traçamos mais uma linha reta. Repetimos isto muitas vezes, e procuramos padrões. Aqui, aparece este padrão, e é um padrão muito bonito. Parece uma curva, não é? Só desenhando linhas simples, linhas retas.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Agora, posso alterar um pouco a minha perspetiva, posso rodar isto. Olhem para a curva. O que é que parece? Será uma parte de um círculo? Não é uma parte de um círculo. Tenho que continuar a investigação e procurar o verdadeiro padrão. Talvez se o copiar e fazer uma coisa artística? Bem, não. Talvez deva esticar as linhas, assim, e procurar aí o padrão. Vamos fazer mais linhas. Fazemos assim. Depois, afastamo-nos e mudamos de novo a perspetiva. Agora vemos que o que começou apenas com linhas retas é uma curva, chamada uma parábola. Isto representa-se por uma equação simples, e é um padrão muito bonito.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
São coisas destas que fazemos. Encontramos padrões, e representamo-los. Penso que é uma bela definição. Mas hoje quero ir um pouco mais fundo, e pensar qual é a natureza disto. O que é que torna isto possível? Há uma coisa que é um pouco mais profunda, e tem a ver com a capacidade de mudar de perspetiva. Penso que, quando mudamos de perspetiva, se assumirmos outro ponto de vista, aprendemos qualquer coisa nova em relação ao que estamos a ver a procurar ou a ouvir. Penso que isso é uma coisa muito importante
So let's just look at this simple equation,
que estamos sempre a fazer.
x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Olhemos para esta simples equação, x + x = 2 * x. É um padrão muito giro e é verdade, porque 5 + 5 = 2 * 5 , etc. Já vimos isso vezes sem conta e representamo-lo desta forma. Mas pensem: isto é uma equação. Diz que uma coisa é igual a outra coisa, e são duas perspetivas diferentes. Uma das perspetivas é uma soma. É uma coisa que juntamos. Por outro lado, é uma multiplicação. São duas perspetivas diferentes. Vou ao ponto de dizer que todas as equações são assim, todas as equações matemáticas em que usamos aquele sinal igual são uma metáfora. É uma analogia entre duas coisas. Estamos a ver uma coisa e a assumir dois pontos de vista diferentes e estamos a exprimir isso numa linguagem.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Reparem nesta equação. É uma das equações mais belas. Diz simplesmente que há duas coisas que são -1. Esta coisa do lado esquerdo é -1, e o outro lado também é. Penso que esta é uma das partes essenciais da matemática — assumir pontos de vista diferentes.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Vamos brincar mais um bocadinho. Tomemos um número. Conhecemos quatro-terços. Sabemos o que são quatro-terços. É 1,333... mas temos que ter estes três pontos, porque não são exatamente quatro-terços. Mas isto é apenas na base 10. No nosso sistema numérico, usamos 10 dígitos. Se mudarmos isso e usarmos apenas dois dígitos — chama-se o sistema binário — escreve-se assim. Agora estamos a falar do mesmo número. O número é quatro-terços. Podemos escrevê-lo assim e podemos mudar a base, mudar o número de dígitos. e podemos escrevê-lo de modo diferente.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Estas são todas representações do mesmo número. Podemos escrevê-lo simplesmente, como 1,3 ou 1,6. Tudo depende de quantos dígitos temos. Ou talvez simplificar e escrever assim. Gosto deste, porque significa quatro a dividir por três. Este número exprime uma relação entre dois números. Temos quatro de um lado e três no outro. Podemos visualizá-lo de muitas formas. Agora vou visualizar este número de diferentes perspetivas. Vou brincar um pouco. Vou brincar um pouco como vemos uma coisa e vou fazê-lo propositadamente. Fazemos uma grelha. São quatro de largura e três de altura. Esta linha é sempre igual a cinco. Tem que ser assim. É um bonito padrão. Quatro e três e cinco. Este retângulo, que é 4 por 3, já o vimos imensas vezes. É o ecrã vulgar de um computador, 800 por 600 ou 1600 por 1200
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
é o ecrã duma televisão ou de um computador. Tudo isto são representações bonitas, mas quero ir um pouco mais além e brincar um pouco mais com este número. Vemos aqui dois círculos. Vou rodá-los deste modo. Observem o de cima à esquerda. Ele anda um pouco mais depressa. Vocês podem ver isso. Anda exatamente quatro-terços mais depressa. Isso significa que, quando anda à roda quatro vezes, o outro anda à roda três vezes. Agora traçamos duas linhas e desenhamos um ponto onde as linhas se encontram.
(Laughter)
Obtemos este ponto a dançar às voltas.
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
(Risos) Este ponto decorre daquele número. Agora, vamos tracejá-lo. Vamos tracejá-lo e ver o que acontece. É disto que a matemática trata. Trata de ver o que acontece. Isto surge de quatro-terços. Gosto de dizer que esta é a imagem de quatro-terços. É muito mais bonita.
Thank you!
(Aplausos)
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
Obrigado! (Aplausos) Isto não é novo. Isto já é conhecido há muito tempo.
(Laughter)
(Risos)
But this is four-thirds.
Mas isto é quatro-terços.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Façamos outra experiência. Agarremos num som, neste som.
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
(Som) É um perfeito A, 440Hz. Vamos multiplicá-lo por dois.
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Obtemos este som. (Som) Quando tocamos os dois ao mesmo tempo, soa assim. É uma oitava, não é? Podemos brincar assim. Podemos tocar um som, o mesmo A.
(Beep)
Podemos multiplicá-lo por três meios.
(Som)
This is what we call a perfect fifth.
É aquilo a que chamamos um quinto perfeito.
(Beep)
(Som)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Têm um belo som, quando juntos. Vamos multiplicar este som por quatro-terços.
What happens? You get this sound. (Beep)
O que acontece? Obtém-se este som. (Som)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
É o quarto perfeito. Se o primeiro é um A, este é um D. Juntos, têm este som. (Som)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Isto é o som de quatro-terços. Agora, vou mudar de perspetiva. Vou ver o número de outra perspetiva.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Até posso fazer isto com ritmo, não é? Posso arranjar um ritmo e tocar três pancadas seguidas.
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
num certo período de tempo e posso tocar outro som quatro vezes nesse mesmo período.
(Clanking sounds)
(Sons)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Parece um bocado aborrecido, mas oiçam-nos em conjunto.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Sons ritmados)
(Laughter)
Hey! So.
Ei!
(Laughter)
(Risos)
I can even make a little hi-hat.
Até posso meter um pouco de bateria.
(Drumbeats and cymbals)
(Sons com címbalos)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Estão a ver isto? Este é o som de quatro-terços. Agora, como um ritmo.
(Drumbeats and cowbell)
(Sons com chocalhos)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
Posso continuar a fazer isto e a brincar com este número. Quatro-terços é realmente um número ótimo. Adoro quatro-terços!
(Laughter)
(Risos)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
A sério, é um valor subestimado. Se agarrarmos numa esfera e olharmos para o volume da esfera, é quatro-terços de um cilindro. Portanto, quatro-terços está contido na esfera.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
É o volume da esfera. Ora bem, porque é que faço isto tudo? Quero falar sobre o que significa compreender qualquer coisa e o que é que nós queremos dizer com compreender uma coisa. É esse o meu objetivo. Penso que compreendemos uma coisa se tivermos a capacidade de a ver de diferentes perspetivas. Vejamos esta letra. É um bonito R, não acham? Como é que sabemos isso? Na verdade, já vimos uma série de R e generalizamos, e abstraímos todos eles e encontramos um padrão. Por isso, sabemos que isto é um R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
O que eu pretendo é falar sobre como a compreensão e a mudança de perspetiva estão interligadas. Sou professor e palestrante e posso usar isto para ensinar qualquer coisa porque, quando conto outra história, uma metáfora, uma analogia, se conto uma história de um ponto de vista diferente, proporciono compreensão. Torno possível a compreensão porque temos que generalizar tudo o que vemos e ouvimos. E se eu der outra perspetiva isso tornar-se-á muito mais fácil.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Vou dar mais um exemplo simples. Isto é quatro e três. São quatro triângulos. De certo modo, também são quatro-terços. Vamos juntá-los todos. Agora vamos jogar um jogo. Vamos dobrar isto numa estrutura em três dimensões. Adoro isto. Isto é uma pirâmide quadrada. Façamos duas e juntemo-las. Isto chama-se um octaedro. É um dos cinco sólidos platónicos. Agora podemos mudar de perspetiva, porque podemos rodá-lo em torno de todos os seus eixos e vê-lo de diferentes perspetivas. Posso mudar os eixos e depois posso vê-lo de outro ponto de vista. É a mesma coisa, mas tem um aspeto um pouco diferente. Posso voltar a fazê-lo mais uma vez.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Sempre que faço isto, aparece sempre qualquer coisa por isso, estou a aprender mais coisas sobre o objeto quando mudo de perspetiva. Posso usar isto como uma ferramenta para criar compreensão. Posso agarrar em dois e juntá-los deste modo e ver o que acontece. Fica um pouco parecido com o octaedro. Reparem quando eu o faço girar, assim. O que acontece? Se agarrarmos em dois, os juntarmos e os pusermos a girar, cá está o nosso octaedro de novo, uma bela estrutura. Se o estendermos no chão, este é o octaedro. Esta é a estrutura em grafo de um octaedro. Posso continuar a fazer isto. Podemos desenhar três grandes círculos em volta do octaedro e fazê-lo rodar. Então, os três grandes círculos estão relacionados com o octaedro. Se eu agarrar numa bomba de bicicleta e o encher de ar, vemos que isto também é um pouco como o octaedro. Estão a ver o que eu estou a fazer aqui? Estou sempre a mudar de perspetiva.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Agora, voltemos um pouco atrás — na verdade, voltar atrás é uma metáfora — e observemos o que estou a fazer. Estou a brincar com metáforas. Estou a brincar com perspetivas e analogias. Estou a contar uma história de modos diferentes. Estou a contar histórias. Estou a fazer uma narrativa. Estou a fazer várias narrativas. Penso que todas estas coisas tornam possível a compreensão. Penso que isto é a essência de compreender uma coisa. Acredito mesmo nisto.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Isto de alterar a perspetiva é absolutamente fundamental para os seres humanos. Vamos brincar com a Terra. Vamos observar o oceano, olhar para o oceano. Podemos fazer isso com todas as coisas. Podemos agarrar no oceano e vê-lo de perto. Podemos olhar para as ondas. Podemos ir para a praia. Podemos ver o oceano de outra perspetiva. Sempre que fazemos isso, aprendemos mais um pouco sobre o oceano. Se formos até à praia até podemos cheirá-lo, não é? Podemos ouvir o som das ondas. Podemos sentir o sal na língua. Tudo isso são diferentes perspetivas. E esta é a melhor de todas. Podemos entrar na água. Podemos ver a água por dentro. Sabem uma coisa? Isto é absolutamente essencial em matemática e em ciência informática. Se conseguirmos ver uma estrutura por dentro, aprendemos qualquer coisa sobre ela. De certa forma, é a essência de uma coisa.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Quando fazemos isso, e percorrermos esse percurso no oceano, usamos a nossa imaginação. Penso que isto é um nível mais profundo, e é uma exigência para mudar de perspetiva. Podem fazer um jogo. Podem imaginar que estão aí sentados. Podem imaginar que estão ali em cima e estão aí sentados. Podem ver-se a vocês mesmos do exterior. É uma coisa muito estranha. Estão a mudar de perspetiva Estão a usar a imaginação e estão a ver-se pelo lado de fora. Isto exige imaginação.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
A matemática e a ciência informática são as formas de arte mais imaginativas de todas. Esta coisa de mudar de perspetivas devia ser-vos familiar, porque fazemos isso todos os dias. Chamamos-lhe empatia. Quando eu vejo o mundo segundo a vossa perspetiva, tenho empatia convosco. Se eu compreender verdadeiramente como é o mundo, segundo a vossa perspetiva, eu estou a ter empatia. Isso exige imaginação. É desse modo que eu obtenho compreensão. Isto é tudo sobre matemática, é tudo sobre ciência informática e há de facto uma profunda relação entre a empatia e estas ciências.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
A minha conclusão é a seguinte: compreender uma coisa profundamente tem a ver com a capacidade de mudar de perspetiva. Portanto, o meu conselho é que tentem mudar de perspetiva. Podem estudar matemática. É uma forma maravilhosa de treinar o cérebro. Mudar de perspetiva torna o nosso espírito mais flexível. Faz-nos abrir a coisas novas e possibilita-nos compreender as coisas. Para usar mais uma metáfora, tenham o espírito como a água. É muito bom.
Thank you.
Obrigado.
(Applause)
(Aplausos)