Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
안녕하세요. 저는 이해와 이해의 특성 그리고 이해의 본질에 관하여 이야기하고 싶습니다. 이해는 우리 모두가 추구하는 것이니까요. 우리는 사물을 이해하고 싶어합니다. 저의 의견은 무언가 이해하는 것은 관점을 바꾸는 능력과 관련이 있다는 겁니다. 그런 능력이 없다면 무언가 이해하기 힘들죠. 그게 제 의견입니다.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
저는 수학에 초점을 두고 싶습니다. 많은 사람들은 수학을 더하기, 빼기 곱하기, 나누기 분수, 백분율, 기하학, 대수학 등으로 생각합니다. 하지만 저는 수학의 본질에 대해 얘기하려고 합니다. 제가 주장하는 바는 수학은 패턴과 관련이 있다는 것입니다.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
제 뒤에 아름다운 패턴이 보이시죠. 이 패턴은 사실 특정한 방식으로 원을 그리는 과정에서 나타납니다. 그래서 제가 일상적으로 사용하는 수학의 정의는 다음과 같습니다. 첫째, 패턴을 찾는 것입니다. "패턴"이라 함은 우리가 보는 것을 지배하고 있는 관계나 구조 어떠한 일정한 규칙을 의미합니다. 둘째로 수학은 이 패턴을 언어로 표현하는 것이라고 생각합니다. 우리는 마땅한 언어가 없으면 만들어내죠. 수학에서는 이게 필수적입니다. 수학은 또한 가정을 하고 이 가정들을 가지고 놀면서 어떤 일이 일어나는지 보는 것입니다. 우리도 곧 해볼 거예요. 마지막으로 수학은 멋진 일을 하는 것입니다. 수학은 많은 일을 할 수 있게 해줍니다.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
이제 이 패턴들을 한 번 봅시다. 넥타이를 맬 때도 패턴이 있습니다. 각 매듭에는 이름이 있죠. 넥타이 매듭으로도 수학을 할 수 있습니다. 이건 왼쪽으로 빼고 오른쪽으로 넣어서 중간으로 뺀 넥타이 매듭이고 이건 왼쪽으로 넣고 오른쪽으로 뺀 뒤 왼쪽으로 넣어 중간으로 빼는 매듭이죠. 이것은 넥타이 매듭 패턴을 위해 우리가 만든 언어입니다. 하프 윈저 매듭은 이렇게 표현되겠죠. 이건 신발끈 묶는 것에 관한 대학교 수준의 수학책입니다. 신발끈에도 패턴이 있기 때문입니다. 다양한 방법으로 묶을 수 있고 분석할 수 있고 그에 맞는 언어를 만들어낼 수도 있습니다.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
그리고 기호가 수학 대부분을 차지하죠. 이건 1675년에 라이프니츠가 사용한 기호법입니다. 라이프니츠는 자연에 있는 패턴을 기술하는 언어를 발명했습니다. 우리가 무언가를 공중에 던지면 아래로 떨어지죠. 왜 그럴까요? 잘은 모르겠지만 이걸 수학적 패턴으로 표현할 수 있습니다.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
이것 또한 패턴이고 만들어진 언어입니다. 무엇인지 아시겠나요? 이건 탭댄스의 표기 체계입니다. 이걸로 안무가는 멋있고 새로운 동작을 만들 수 있습니다. 그걸 기호로 나타낼 수 있으니까요.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
무언가를 기호로 나타내는 게 얼마나 멋진 일인지 생각해보세요. 여기 "수학"이라고 적혀 있습니다. 그런데 사실은 그냥 점들이죠. 그럼 대체 이 점들이 어떻게 단어를 나타낸다는 걸까요? 실제로 그러합니다. "수학"이라는 단어를 의미합니다. 그리고 이 기호들은 우리가 들을 수 있는 단어를 나타냅니다. 이런 소리로 바뀌죠.
(Beeps)
(삐 소리)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
이런 소리들로 단어와 개념을 표현합니다. 어떻게 이렇게 될까요? 무언가를 기호로 표현하는 것에는 놀라운 점이 있습니다.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
그래서 저는 우리가 실제로 어떤 것을 기호로 나타낼 때 일어나는 마법에 대해 이야기하려고 합니다. 여기에 너비가 다른 선들이 보입니다. 이것들은 특정한 서적에 부여된 번호를 의미하죠. 저는 실제로 이 책을 추천합니다. 아주 좋은 책이에요.
(Laughter)
(웃음)
Just trust me.
저를 믿어보세요.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
그럼 실험을 하나 해 보죠. 직선 몇 개를 가지고 노는 겁니다. 이것은 직선입니다. 하나 더 만들어보죠. 매번 그릴 때 마다 아래로 한 번, 그리고 옆으로도 한 번 움직여서 새로운 선을 그리는 거에요, 알겠죠? 이 작업을 계속 반복해서 패턴을 찾아보는 거죠. 그러면 이런 패턴이 생깁니다. 꽤 그럴듯한 패턴이네요. 곡선처럼 보이지 않나요? 간단한 직선을 그리기만 했는데도 말이죠.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
이번엔 관점을 바꿔보는 거예요. 회전시켜 보는 겁니다. 이 곡선을 보세요. 무엇처럼 보이나요? 원의 일부분일까요? 사실 원의 일부는 아니에요. 그렇다면 탐색을 계속해서 패턴의 실체을 찾아봐야겠죠. 이것을 여러 개 복사하면 예술 작품을 만들 수도 있을까요? 아마 아닐 거예요. 선들을 이렇게 연장해서 패턴을 찾아볼 수도 있겠죠. 선을 더 그려 볼게요. 이렇게요. 그리고 사진을 축소해서 관점을 다시 바꿔볼까요. 직선 몇 개로 시작된 것이 "포물선"이라는 곡선으로 나타나죠. 이것은 간단한 수식으로 표현되는 아주 아름다운 패턴입니다.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
이게 바로 우리가 하는 일이에요. 우리는 패턴을 찾고, 그것을 표현하죠. 이게 아주 멋있는 일상적인 표현이라고 생각합니다. 하지만 오늘은 더 깊이 들어가서 이것의 본질에 대해 생각해보고 싶어요. 어떻게 이것이 가능할까요? 좀 더 깊이있는 한 가지가 있는데요. 그것은 여러분의 관점을 바꾸는 능력과 관련이 있습니다. 여러분이 관점을 바꾸고 다른 관점에서 바라본다면 여러분이 주목하고 살펴보고 듣는 것들을 새롭게 이해하게 됩니다. 저는 이것이 우리 일상에서 정말 중요한 부분이라고 생각해요.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
그럼 이 간단한 수식을 한번 보시죠. x + x = 2 • x 정말 멋진 패턴이죠. 사실입니다. 5 + 5 = 2 • 5 나 그 외에도 성립하니까요. 우리는 이것을 자주 보아 왔고 이렇게 표현해왔습니다. 그런데 생각해보세요. 이것은 등식입니다. 어떤 것이 다른 것과 같다는 의미죠. 여기에는 두 가지 관점이 있습니다. 한 가지 관점은 합계라는 것이에요. 무언가를 서로 더한다는 말입니다. 다른 한편으로 이것은 곱셈이죠. 이렇게 두 가지 다른 관점이 있어요. 모든 등식이 이런 식이라고 말씀드리고 싶습니다. 여러분이 등호를 이용하는 모든 수학적인 등식은 사실 비유입니다. 두 가지 사물 사이의 비유이죠. 여러분은 단지 어떤 것을 보고 두 가지 서로 다른 관점을 취하며 이것을 언어로 표현하는 것입니다.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
이 등식을 한 번 보세요. 이것은 가장 아름다운 등식 중 하나입니다. 아주 단순한 의미죠. 두 가지 모두 -1이라는 거예요. 좌변이 -1이고 반대쪽도 마찬가지죠. 이렇듯 수학에서 가장 중요한 부분 중 하나는 다른 관점을 갖는 것이라고 생각합니다.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
그럼 이제 놀아봅시다. 숫자를 하나 고를게요. 우리는 4/3을 알고 있습니다. 4/3이 얼마인지 알죠. 1.333입니다. 하지만 끝에 3개의 점을 두어야 하죠. 그렇지 않으면 정확한 4/3이 아닙니다. 하지만 이것은 10진법일 때입니다. 아시다시피, 우리는 10진법을 사용합니다. 이것을 바꾸어 두 개의 숫자만 사용한다면 이것은 이진법이라 불립니다. 이렇게 쓰이죠. 다시 숫자로 돌아가보죠. 숫자는 4/3입니다. 이렇게도 쓸 수 있습니다. 진법을 바꿀 수도 있고, 숫자의 개수를 바꿀 수 있습니다. 이것을 다르게 쓸 수도 있습니다.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
이것들은 모두 같은 숫자를 다르게 표현한 것입니다. 1.3이나 1.6처럼 더 간단하게 쓸 수도 있어요. 모두 자릿수에 달려 있습니다. 아니면 이것을 단순화시켜 이렇게 쓸 수도 있죠. 저는 이게 좋아요. 4 나누기 3이라고 말하고 있기 때문이죠. 그리고 이 숫자는 두 숫자 사이의 관계를 표현하고 있어요. 한 쪽은 4를 가지고 있고 다른 쪽은 3을 가지고 있죠. 다양한 방법으로 시각화 할 수도 있습니다. 지금 하는 것은 숫자를 다른 관점에서 바라보는 거예요. 그러면서 노는 거죠. 사물을 어떻게 볼 것인가 대한 놀이이고 일부러 이렇게 하고 있는 겁니다. 격자판을 봅시다. 가로로 4칸, 세로로 3칸을 가게 되면 이 선은 항상 5가 되죠. 반드시 이렇게 됩니다. 이것도 아름다운 패턴이죠. 4와 3과 5. 그리고 4곱하기 3인 이 직사각형. 자주 보셨을 겁니다. 일반적인 컴퓨터 화면 크기죠. 800 x 600 혹은 1,600 x 1,200 이것은 텔레비전이나 컴퓨터 화면의 크기입니다.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
이들도 꽤 멋진 표기법입니다. 하지만 저는 조금 더 들어가서 이 숫자를 좀 더 가지고 놀려고해요. 여기 두 개의 원이 있습니다. 이것들을 회전시킬 거예요. 왼쪽 상단에 있는 것을 한번 보세요. 좀 더 빠르게 돌죠, 그렇죠? 보이시죠. 이것은 정확히 4/3의 속도로 돌고 있습니다. 이것은 하나가 4번 돌 때 다른 것은 3번 돈다는 것을 의미합니다. 이제 두 개의 선을 그려봅시다. 그리고 선들이 만나는 곳에 점을 그립니다. 점이 이리저리 춤을 추죠.
(Laughter)
(웃음)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
그리고 이 점은 바로 저 숫자로부터 나옵니다. 그렇죠? 이제 이걸 따라가보죠. 이 점을 따라가면 어떤 일이 일어나는지 보세요. 이것이 바로 수학입니다. 수학은 현상을 보는 것입니다. 그리고 이것은 4/3이라는 숫자로부터 나옵니다. 이게 4/3의 모습이라고 말씀드리고 싶네요. 훨씬 멋지죠. (환호)
Thank you!
감사합니다!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(박수) 새로운 것은 아닙니다. 이미 알려져 있던 거죠. 하지만..
(Laughter)
(웃음)
But this is four-thirds.
이것이 4/3입니다.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
다른 실험을 해보죠. 이 소리를 들어보세요. 이 소리요. (삐- 소리)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
이것은 정확한 '라'음입니다. 440 Hz의 주파수 음이죠. 여기에 2를 곱해볼까요. 그러면 이 소리를 얻게 되죠. (삑- 소리)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
이 둘을 함께 연주하면 이런 소리가 납니다. 한 옥타브 차이죠. 그렇죠? 게임도 됩니다. 연주할 수 있어요. 같은 '라'음을 연주하는 거죠. 2분의 3을 곱할 수도 있습니다.
(Beep)
(삑- 소리)
This is what we call a perfect fifth.
이게 우리가 완전 5도음이라 부르는 음정입니다.
(Beep)
(삑- 소리)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
정말 멋진 소리죠. 이 소리에 4/3를 곱해봅시다.(삑)
What happens? You get this sound. (Beep)
어떤 일이 일어나죠? 이런 소리를 듣게 되죠. (삑)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
이것은 완전 4도음입니다. 첫번째가 '라'음이었다면 이것은 '레'음입니다. 동시에 들으면 이런 소리가 되죠. (삑- 소리)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
이것이 4/3의 소리입니다. 지금 하고 있는 것은 관점을 바꾸는 것입니다. 단지 숫자를 다른 관점에서 바라보는 중입니다.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
심지어 리듬을 연주할 수도 있습니다. 리듬을 더하고 한 번에 세 개의 비트로 연주해보죠. (드럼소리)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
일정한 간격으로요. 여기에 또 다른 소리를 같은 간격으로 4번 더 연주할 수도 있습니다.
(Clanking sounds)
(탁탁 소리)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
소리가 좀 지루하네요. 그래도 함께 들어보죠.
(Drumbeats and clanking sounds)
(드럼 소리와 탁탁 소리)
(Laughter)
(웃음)
Hey! So.
헤이!
(Laughter)
(웃음)
I can even make a little hi-hat.
하이햇 소리도 만들어 낼 수 있습니다.
(Drumbeats and cymbals)
(드럼 소리와 하이햇 소리)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
들리시나요? 그러면 이것도 4/3의 소리입니다. 여기에 리듬이 또 생깁니다.
(Drumbeats and cowbell)
(드럼 소리와 카우벨 소리)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
이렇게 계속 이 숫자를 가지고 놀 수 있습니다. 4/3은 정말 굉장한 숫자에요. 저는 4/3을 사랑합니다!
(Laughter)
(웃음)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
정말입니다. 과소 평가된 숫자에요. 여러분이 구를 하나 가지고 그 구의 부피를 보게 되신다면 이것은 실제로 어떤 특정한 원기둥에 있는 4/3입니다. 따라서 4/3은 구입니다. 이건 구의 부피에요.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
그렇다면 제가 왜 이런 걸 할까요? 저는 뭔가를 이해한다는 것의 의미와 그렇게 이해하는 것이 우리에게 어떤 의미인지를 말하고 싶습니다. 이것이 오늘 강연의 목적입니다. 여러분이 다른 관점을 형성하는 능력을 가진다면 사물을 이해할 수 있게 된다는 것이 저의 주장입니다. 이 글자를 보세요. 아름다운 R이죠. 그렇죠? 그런데 그걸 어떻게 알죠? 사실 여러분은 수많은 R을 봐오셨죠. 그리고 이들 모두를 일반화하고 관념화하여 패턴을 발견한 것이죠. 그래서 이걸 R이라고 알고 계신겁니다.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
여기서 제가 추구하고자 하는 것은 이해하는 방법과 관점을 바꾸는 방법은 서로 연결되어 있다는 겁니다. 저는 교수이자 강연자입니다. 실제로 뭔가를 가르치기 위해 이것을 사용합니다. 제가 누군가에게 또다른 이야기, 비유, 은유들을 사용할 때 다른 관점에서 설명하면 이해하기 쉽기 때문이죠. 이해를 가능하게 합니다. 왜냐하면 여러분은 보고 듣는 모든 것을 일반화해야 하는데 여러분께 다른 관점을 제공한다면 이해하기 좀 더 쉬워지기 때문입니다.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
다시 간단한 예를 들어볼게요. 이것은 4와 3입니다. 4개의 삼각형이죠. 그러므로 이것도 역시 어떤 면에서는 4/3입니다. 이것들을 합쳐봅시다. 이제 우리는 게임을 할 거예요. 이것을 접을 겁니다. 3차원 구조로 말이죠. 전 이게 정말 좋아요. 이것은 사각 피라미드입니다. 이것 두 개를 합쳐볼게요. 이것을 팔면체라고 합니다. 플라톤의 다섯가지 입체 중 하나죠. 이제 말 그대로 우리의 관점을 바꿔 볼 수 있습니다. 모든 축을 중심으로 회전 할 수 있고 다른 관점에서 바라 볼 수 있습니다. 저는 축을 바꿀 수도 있습니다. 그리고 또 다른 관점에서 볼 수도 있어요. 같은 물체이지만 약간 다르게 보이죠. 한번 더 할 수도 있습니다.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
매번 회전 할 때마다 다른 모습들이 생겨납니다. 그러면 물체에 대해 좀 더 배울 수 있습니다. 저의 관점을 바꿀 때 말이에요. 이해를 증진시키기 위해서도 이 도구를 사용 할 수 있습니다. 이것 두 개를 이렇게 합쳐볼게요. 어떻게 되는지 봅시다. 그러면 어느 정도 팔면체처럼 보이죠. 제가 이렇게 돌리면 어떻게 되는지 한 번 보시죠. 어떻게 되나요? 두 개를 합치고 돌리면 다시 팔면체가 됩니다. 아름다운 구조지요. 이것을 바닥에 펼쳐 놓으면 또 팔면체가 됩니다. 이것은 팔면체의 그래프 구조입니다. 이걸 계속 해보죠. 팔면체 주위에 큰 원 세개를 그립니다. 그리고 회전시키는 거죠. 그러면 실제로 이 큰 세개의 원도 팔면체와 관련이 있게 됩니다. 자전거 공기주입기로 공기를 넣으면 이것도 팔면체와 비슷하게 보이죠. 제가 무엇을 하는지 아시겠어요? 저는 계속 관점을 바꾸는 중입니다.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
그러면 이제 한 걸음 뒤로 물러나 이것 역시 비유죠. 물러난다는 것. 그리고 우리가 무엇을 하는지 한번 보세요. 비유를 하며 놀고 있습니다. 저는 관점과 비유를 가지고 놀고 있습니다. 하나의 이야기를 여러 방식으로 푸는 거죠. 이야기를 하는 거예요. 저는 설명을 하고 있습니다. 여러가지 다른 설명을 하는 거죠. 그리고 저는 이 모든 것들이 이해를 가능하게 만들어 준다고 생각합니다. 저는 이것이 사물을 이해하는 본질이라고 생각합니다. 정말 그렇게 믿어요.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
이것은 관점을 바꾸는 것과 관련이 있습니다. 절대적으로 인간의 기본이죠. 지구를 가지고 한 번 놀아볼까요. 바다를 좀 더 확대해보죠. 바다를 한 번 보세요. 뭐든지 이렇게 할 수 있습니다. 바다를 가까이에서 보는 겁니다. 파도를 볼 수 있죠. 해변에도 갈 수 있구요. 우리는 다른 관점에서 바다를 볼 수 있습니다. 이렇게 할 때마다 바다에 대해 좀 더 많이 알 수 있습니다. 해변에 가면 냄새를 맡을 수 있어요. 파도 소리도 들을 수 있죠. 혀로 소금을 맛볼 수도 있습니다. 이 모든 것들이 전부 다른 관점들입니다. 그리고 가장 멋진 것은 물 속으로 들어갈 수 있습니다. 안쪽에서 물을 볼 수도 있죠. 알아채셨나요? 이것은 수학과 컴퓨터 공학에서 절대적으로 중요한 것입니다. 여러분이 안쪽에서 구조를 볼 수 있다면 그것에 대해서 무언가를 배울 수 있습니다. 이것이 어느 정도는 사물의 본질이죠.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
따라서 우리가 이렇게 한다면 바다로 여행을 떠날 때 우리는 상상력을 발휘합니다. 저는 이것이 더 높은 단계라고 생각해요. 그리고 실제로 여러분이 관점을 바꾸는 데 있어 꼭 필요하기도 하죠. 간단한 게임을 해봅시다. 거기에 앉아 있다고 상상해보세요. 저 위쪽에 앉아 있다고 상상하는 거예요. 여기에 앉아 있지만요. 그럼 밖에서 자신을 바라 볼 수 있습니다. 정말 이상한 일이죠. 여러분은 관점을 바꾸고 있는 거예요. 여러분의 상상력을 이용하는 거죠. 그리고 바깥에서 여러분 자신을 바라보는 겁니다. 상상력이 꼭 필요한 일입니다.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
수학과 컴퓨터 공학은 어떤 것보다 상상력을 요하는 예술의 한 형태입니다. 그리고 관점을 바꾸는 것과 관련이 있습니다. 여러분께 어느 정도 친숙하게 들릴 수도 있습니다. 왜냐하면 우리는 매일 이렇게 하기 때문이죠. 이것은 공감이라 불립니다. 제가 여러분의 관점에서 세상을 바라보면 저는 여러분과 공감하는 겁니다. 제가 정말로 여러분의 관점에서 본 세상이 어떤지를 이해하고 있다면 저는 공감 능력이 있는 거죠. 이것은 상상력을 필요로 합니다. 그리고 이것이 우리가 이해하게 되는 과정입니다. 이것은 수학과 컴퓨터 공학의 전반에서 이루어집니다. 공감과 이런 과학분야 사이에는 정말 깊은 연관이 있습니다.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
그럼 이제 결론을 말씀드리죠. 뭔가를 정말로 깊게 이해한다는 것은 관점을 바꾸는 능력과 관련되어 있다는 것입니다. 여러분께 조언을 드리자면 관점을 바꾸도록 노력해보세요. 수학을 공부해보세요. 뇌를 단련시키는 정말 좋은 방법입니다. 관점을 바꾼다는 것은 여러분의 마음을 좀 더 융통성있게 만들어줍니다. 새로운 세상을 열어주고 사물을 이해할 수 있게 해주죠. 또 다른 비유를 사용하자면 물 같은 마음을 가져보세요. 정말 멋질 거예요.
Thank you.
감사합니다.
(Applause)
(박수)