Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Salve. Voglio parlarvi della comprensione e della sua natura, di qual è l'essenza del comprendere, perché comprendere è qualcosa a cui miriamo tutti. Vogliamo capire le cose. Io sostengo che la comprensione ha a che fare con la capacità di cambiare la propria prospettiva. Se non ce l'hai, non hai la comprensione Io sostengo questo.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Voglio focalizzarmi sulla matematica. Molti pensano alla matematica come ad addizione, sottrazione moltiplicazione, divisione, frazioni, percentuali, geometria, algebra - tutte queste cose. Ma in realtà, io voglio parlare dell'essenza della matematica. Sostengo che la matematica ha a che fare con gli schemi.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Dietro di me si vede un bel motivo che emerge semplicemente disegnando cerchi in un modo molto particolare. Perciò la definizione della matematica che uso ogni giorno è la seguente: per prima cosa, riguarda la scoperta di schemi. E per "schemi" intendo una connessione, una struttura, una regolarità, le regole che governano ciò che vediamo. In secodo luogo, significa rappresentare questi schemi con un linguaggio. Noi creiamo un linguaggio se non lo abbiamo, e nella matematica, questo è essenziale. Riguarda anche il fare delle supposizioni e giocare con queste supposizioni per vedere cosa succede. Lo faremo molto presto. E infine, ha a che fare con roba forte. La matematica ci permette di fare così tante cose.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Allora diamo un'occhiata a questi schemi. Se vuoi fare il nodo alla cravatta, ci sono degli schemi. I nodi hanno dei nomi. E si può anche fare la matematica dei nodi. Qui è sinistra fuori, destra dentro, centro fuori e tirare. Questo è sinistra dentro, destra fuori sinistra dentro, centro e tirare. Questo è un linguaggio che abbiamo creato per gli schemi dei nodi alla cravatta e un mezzo-Windsor è così. Questo è un libro di matematica su come allaciare le scarpe a livello universitario, perché ci sono degli schemi nei lacci. Puoi farlo in così tanti modi diversi. Possiamo analizzarlo. Possiamo creare linguaggi per questo.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Le rappresentazioni girano attorno la matematica. Questa è una notazione di Leibniz del 1675. Inventò un linguaggio per gli schemi presenti in natura. Quando lanciamo in aria qualcosa, questa cade. Perché? Non siamo sicuri, ma si può rappresentare con uno schema matematico.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Anche questo è uno schema. Anche questo è un linguaggio inventato. Indovinate cosa rappresenta? È in realtà un sistema di notazione per ballare il tip-tap. Come coreografo gli permette di fare cose incredibili, cose nuove, perché l'ha rappresentato.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Voglio che pensiate a quanto sia davvero incredibile rappresentare qualcosa. Qui c'è scritta la parola "matematica". Ma in realtà sono solo puntini, giusto? E allora come possono questi puntini rappresentare la parola? Beh, lo fanno. Rappresentano la parola "matematica" e anche questi simboli la rappresentano e questi li possiamo ascoltare. Suona così.
(Beeps)
(Beeps)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
In qualche modo questi suoni rappresentano la parola e il concetto. Come può succedere? Qualcosa di magnifico accade quando si rappresentano delle cose.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Voglio parlare della magia che accade quando rappresentiamo qualcosa. Qui potete vedere linee di diverse larghezze. Rappresentano i numeri di un particolare libro. Lo raccomando. È un libro davvero carino.
(Laughter)
(Risate)
Just trust me.
Fidatevi.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Ok, facciamo un esperimento, giocando un po' con delle linee rette. Questa è una linea retta. Facciamone un'altra. Ogni volta muoviamo un punto in basso e uno in avanti e tracciamo una nuova linea retta, ok? Lo facciamo ancora, ancora e ancora e cerchiamo degli schemi. Questo schema emerge, ed è uno schema piuttosto carino. Ha l'aspetto di una curva, giusto? Disegnando solo semplici linee rette.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Ora possiamo cambiare un po' la prospettiva. Lo ruotiamo. Guardate la curva. Cosa sembra? È una parte di cerchio? Veramente non è parte di un cerchio. E allora devo continuare la mia ricerca del vero schema. Forse se lo copio e faccio un po' di arte? Beh, no. Forse dovrei estendere le linee e cercare lì lo schema. Facciamo più linee. Facciamo così. Allontaniamoci e cambiamo di nuovo prospettiva. Possiamo vedere che quello che è iniziato come delle linee rette è in realtà una curva chiamata parabola. Questo è rappresentato da una semplice equazione, ed è un bello schema.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Queste sono le cose che facciamo. Troviamo schemi e li rappresentiamo. Penso sia una buona definizione per tutti i giorni. Ma oggi voglio andare un po' più a fondo, e pensare qual è la natura di questo. Cosa lo rende possibile? C'è una cosa che è un po' più profonda, e che ha a che vedere con l'abilità di cambiare la propria prospettiva. E io sostengo che quando si cambia prospettiva e se si considera un altro punto di vista, si impara qualcosa di nuovo su quello che si guarda o si vede o si sente. Penso sia una cosa molto importante che facciamo tutto il tempo.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Guardiamo questa semplice equazione. x + x = 2 • x. È uno schema molto semplice ed è vero perché 5 + 5= 2 • 5, ecc. L'abbiamo visto più e più volte e lo rappresentiamo così. Ma pensateci: questa è un'equazione. Dice che qualcosa è uguale a qualcos'altro, sono due diverse prospettive. Una prospettiva è la somma. È qualcosa che tu sommi. Dall'altra parte è una moltiplicazione, e quelle sono due diverse prospettive. E mi spingerei a dire che ogni equazione è così, ogni equazione matematica dove si usa un uguale è in realtà una metafora. È un'analogia tra due cose. State solo osservando qualcosa, considerando due diversi punti di vista e lo esprimete in un linguaggio.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Guardate questa equazione. Questa è una delle equazioni più belle. Dice semplicemente che due cose sono entrambe -1. Questa cosa a sinistra è -1 e anche l'altra lo è. Penso che questa sia una delle parti essenziali della matematica - considerare diversi punti di vista.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Giochiamo un po'. Prendiamo un numero. Conosciamo quattro-terzi. Sappiamo cos'è quattro-terzi. È 1,333 ma dobbiamo avere anche quei tre punti, altrimenti non è esattamente quattro-terzi. Ma questo è solo in base 10. Lo sapete, il sistema numerico ha dieci cifre. Se noi lo cambiamo e usiamo solo due cifre, abbiamo il sistema binario. Si scrive così. Adesso parliamo del numero. Il numero è quattro-terzi. Lo possiamo scrivere così, possiamo cambiare la base, cambiare il numero di cifre, e possiamo scriverlo in modo diverso.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Così queste sono tutte rappresentazioni dello stesso numero. Lo possiamo anche scrivere in modo semplice: 1,3 o 1,6. Dipende da quante cifre si hanno. O semplicemente lo semplifichiamo e lo scriviamo così. Mi piace questo perché dice quattro diviso tre. E questo esprime una relazione tra due numeri. Avete il quattro da una parte e il tre dall'altra. Si può visualizzare in molti modi. Quello che sto facendo adesso è vedere quel numero da diverse prospettive. Sto giocando. Sto giocando con la nostra visione di una cosa, e lo sto facendo deliberatamente. Si può prendere una griglia. Se è una griglia 4 per 3, questa linea è uguale a 5, sempre. Deve essere così. Questo è un bello schema. Quattro e tre e cinque. E questo rettangolo che è 4 x 3, l'avete visto molte volte. È lo schermo medio di un computer. 800 x 600 o 1.600 x 1.200 è lo schermo di un televisore o un computer.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Queste sono belle rappresentazioni, ma voglio andare un po' più lontano e giocare ancora con questo numero. Ecco due cerchi. Li ruoto in questo modo. Osservate quello in alto a sinistra. Va un po' più veloce, vero? Si vede. Ha esattamente una velocità di quattro-terzi dell'altro. Questo significa che dopo quattro rotazioni, l'altro ne ha fatte tre. Adesso facciamo due linee e disegnamo un punto dove si incontrano. Otteniamo questo punto che danza.
(Laughter)
(Risate)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
E questo punto viene da quel numero. Giusto? Adesso dovremmo tracciarlo. Tracciamolo e guardiamo cosa succede. Questo è ciò di cui tratta la matematica. Si tratta di vedere cosa succede. Questo emerge dai quattro-terzi. Mi piace dire che questa è l'immagine dei quattro-terzi. È molto più bella.
Thank you!
Grazie!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Applausi) Non è una novità. Si conosce da tanto tempo ma...
(Laughter)
(Risate)
But this is four-thirds.
ma questi sono quattro-terzi.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Facciamo un altro esperimento. Prendiamo un suono, questo suono. (Beep)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Questo è un LA perfetto, 440Hz. Moltiplichiamolo per due. Otteniamo questo suono. (Beep)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Quando li suoniamo assieme, si sente questo. Questo è un'ottava, vero? Possiamo fare questo gioco. Possiamo suonare sempre il LA, e moltiplicarlo per tre mezzi.
(Beep)
(Beep)
This is what we call a perfect fifth.
Questa è chiamata una quinta giusta.
(Beep)
(Beep)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Suonano molto bene assieme. Moltiplichiamo questo suono di quattro-terzi. (Beep)
What happens? You get this sound. (Beep)
Cosa succede? Si ottiene questo suono. (Beep)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Questa è la quarta giusta. Se la prima è un LA, questa è un RE. Assieme suonano così. (Beep)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Questo è il suono dei quattro-terzi. Quello che sto facendo è cambiare prospettiva. Sto guardando un numero da un'altra prospettiva.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Posso farlo anche con i ritmi, giusto? Posso prendere un ritmo e suonare tre colpi assieme (Percussioni)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
in un periodo di tempo, e posso fare un altro suono quattro volte nello stesso spazio.
(Clanking sounds)
(Rumore metallico)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Suona un po' noioso, ma ascoltateli assieme.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Percussione e suono metallico)
(Laughter)
(Risate)
Hey! So.
Hei!
(Laughter)
(Risate)
I can even make a little hi-hat.
Posso anche aggiungere dei piatti.
(Drumbeats and cymbals)
(Percussioni e piatti)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
Lo sentite? Questo è il suono dei quattro-terzi. Questo è un ritmo.
(Drumbeats and cowbell)
(Percussioni e campanaccio)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
E posso continuare e giocare con questo numero. Quattro-terzi è veramente un gran numero. Amo i quattro-terzi!
(Laughter)
(Risate)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Veramente -- è un numero sottovalutato. Se si prende una sfera e si guarda il suo volume, è i quattro-terzi di un particolare cilindro. Quindi i quattro-terzi sono nella sfera. È il volume della sfera.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Ma perché sto facendo tutto questo? Bene, voglio parlare di cosa vuol dire capire qualcosa e cosa intendiamo con capire qualcosa. È il mio scopo qui. E io affermo che si capisce qualcosa se si ha la capacità di vederlo da prospettive diverse. Guardiamo questa lettera. È una bella R, vero? Come lo sapete? Si da il caso che abbiate visto un bel po' di R, avete generalizzato, astratto e trovato uno schema. Quindi sapete che questa è una R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Il mio scopo qui è quindi dire come comprendere e cambiare prospettiva siano collegati. Sono un insegnante e un docente, e infatti posso usare questo quando insegno, perché quando offro a qualcuno una storia, una metafora, un'analogia, se racconto la storia da un altro punto di vista, facilito la comprensione. Rendo possibile la comprensione, perché si deve generalizzare tutto ciò che si vede o si sente, e se offro un'altra prospettiva, tutto diventerà più semplice.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Facciamo di nuovo un altro esempio. Questo è quattro e tre. questi sono quattro triangoli. Anche questo è in un certo senso quattro terzi. Uniamoli assieme. Adesso facciamo un gioco; pieghiamoli in una struttura tridimensionale. Mi piace. È una piramide a base quadrata. Prendiamone due e mettiamole assieme. Questo è ciò che si chiama un ottaedro. È uno dei cinque solidi platonici. Ora possiamo letteralmente cambiare prospettiva, perché possiamo ruotarlo attorno a tutti gli assi e vederlo da prospettive diverse. Posso cambiare asse, e vederlo da un altro punto di vista, è la stessa cosa, ma sembra un po' diversa. Lo posso fare ancora una volta.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Ogni volta che lo faccio, appare qualcos'altro, quindi sto imparando di più sull'oggetto quando cambio prospettiva. Posso usarlo come uno strumento per creare comprensione. Posso prenderne due e metterli assieme in questo modo e vedere cosa succede. Assomiglia un po' a un ottaedro. Guardate se lo faccio girare in questo modo. Cosa succede? Se prendete due di questi, li unite e li fate ruotare, ecco qui di nuovo il vostro ottaedro, una bella struttura. Se lo appiattite al suolo, questo è l'ottaedro. Questa è la struttura grafica di un ottaedro. Posso continuare a fare così. Posso disegnare tre grandi cerchi attorno all'ottaedro, e ruotarli, i tre grandi cerchi sono veramente in relazione con l'ottaedro. E se prendo una pompa e lo gonfio, si vede che anche questo è un po' come un ottaedro. Vedete cosa sto facendo? Cambio prospettiva ogni volta.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Facciamo un passo indietro -- in realtà fare un passo indietro è una metafora -- guardate cosa facciamo. Sto giocando con le metafore. Sto giocando con le prospettive e le analogie. Raccontando una storia in modi diversi. Racconto storie. Sto costruendo un racconto; costruendo diversi racconti. E penso che tutto questo faciliti la comprensione. Di fatto credo sia l'essenza della comprensione. Lo credo veramente.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Questa cosa di cambiare la propria prospettiva -- è assolutamente fondamentale per gli umani. Giochiamo col pianeta Terra. Focalizziamoci sulll'oceano, diamo un'occhiata. Lo possiamo fare con qualsiasi cosa. Possiamo prendere l'oceano e vederlo da vicino. Possiamo guardare le onde, andare sulla spiaggia, vedere l'oceano da un'altra prospettiva. Ogni volta che lo facciamo, impariamo un po' di più sull'oceano. Se andiamo sulla spiaggia, quasi ne sentiamo l'odore. Possiamo sentire il rumore delle onde, il sale sulla nostra lingua. Tutte queste sono prospettive diverse. Questa è quella migliore. Possiamo entrare nell'acqua. Possiamo vedere l'acqua da dentro. E sapete cosa? Questo è assolutamente essenziale in matematica e informatica. Se si è capaci di vedere una struttura dall'interno, allora si impara realmente qualcosa su di essa. È in qualche modo l'essenza di una cosa.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Così quando lo facciamo, e intraprendiamo questo viaggio nell'oceano, noi usiamo l'immaginazione. Credo che questo sia un livello più profondo, ed è un requisito necessario per cambiare la propria prospettiva. Facciamo un giochetto. Immaginate di essere seduti qui. Potete immaginare di essere qui, ed essere seduti. Potete vedere voi stessi dal di fuori. È una cosa veramente strana. State cambiando prospettiva. State usando l'immaginazione e vi state vedendo dall'esterno. Per questo è necessaria l'immaginazione.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
La matematica e l'informatica sono le forme d'arte più immaginative. Questa cosa del cambio di prospettiva dovrebbe suonarvi un po' familiare, perché lo facciamo ogni giorno. Ed è chiamata empatia. Quando guardo il mondo dalla vostra prospettiva, entro in empatia con voi. Se capisco realmente com'è il mondo dalla vostra prospettiva, sono empatico. Questo ha bisogno d'immaginazione ed è così che abbiamo comprensione. Questo riguarda la matematica e riguarda l'informatica, c'è un collegamento molto profondo tra l'empatia e queste scienze.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
La mia conclusione quindi è la seguente: capire qualcosa veramente in profondità ha a che fare con la capacità di cambiare prospettiva. Per quello il mio consiglio per voi è: provate a cambiare prospettiva. Potete studiare matematica. È un modo magnifico di allenare il cervello. Cambiare prospettiva rende il cervello più flessibile. Vi apre a nuove cose, vi rende capaci di capire cose nuove. Ancora una metafora: abbiate la mente come l'acqua. Questa mi piace.
Thank you.
Grazie.
(Applause)
(Applausi)