Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
नमस्कार। मैं समझ के बारे में बात करना चाहता हूँ, समझ की प्रकृति के बारे में, और समझ के मूल के बारे में, क्योंकि समझ, हम सभी का लक्ष्य है। हम चीज़ों को समझना चाहते हैं। मेरा दावा है कि समझ का सम्बन्ध, अपना दृष्टिकोण बदल पाने की क्षमता से है। अगर आप वो नहीं कर सकते तो आपके पास समझ नहीं है। ये मेरा दावा है।
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
और मैं गणित पर केंद्रित होना चाहता हूँ। हम में बहुत से लोग, गणित को योग, घटान, गुणा, भाग, भिन्न, प्रतिशतता, ज्यामिति, बीजगणित की तरह देखते हैं। पर असल में, मैं गणित के मूल के बारे में भी बात करना चाहता हूँ। और मेरा दावा है कि गणित का सम्बन्ध, आकृतियों से है।
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
मेरे पीछे, आप एक सुन्दर आकृति देख रहे हैं, और यह आकृति केवल वृत्तों को एक विशेष रूप से बनाने से उभरती है। तो गणित की जो परिभाषा मैं आम तौर पर प्रयोग करता हूँ, वो यह है: पहली बात, कि वो आकृतियों को खोजने से सम्बंधित है। और "आकृति" से मेरा तात्पर्य है, एक सम्बन्ध एक संरचना, कोई एकसमानता, कुछ नियम, जो हम जो देखते हैं उसे संचालित करते हैं। दूसरा ये, मेरे हिसाब से उसका सम्बन्ध इन आकृतियों को एक भाषा द्वारा चित्रित करने में है। हमारे पास वो भाषा नहीं होती, तो हम उसे बना लेते हैं, और गणित में ये ज़रूरी है। वो धारणाएँ बनाने, और फिर उनके साथ खेलने से भी सम्बंधित है, सिर्फ ये देखने के लिए कि होता क्या है। हम ये बहुत जल्द करेंगे। और अंततः, वो मज़ेदार चीज़ें करने से सम्बन्धित है। गणित हमें कितना कुछ करने में सक्षम बना देता है।
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
तो आइये, इन आकृतियों को देखते हैं। अगर आपको टाई की गाँठ बाँधनी हो, उसमे आकृतियाँ होती हैं। टाई की गांठों के नाम होते हैं। और आप टाई की गाँठ बाँधने की गणित भी कर सकते हैं। इसे बाएं-बाहर, दाएं-अन्दर, बीच-बाहर और बाँधना है। यह बाएं-अन्दर, दाएं-बाहर, बाएं-अन्दर, बीच-बाहर और बाँधना है। यह भाषा हमने टाई की गांठों की रचनाये के लिए बना ली है। और आधा-विंडसर, ये सब है। यह एक विश्वविद्यालय स्तर की, गणित की पुस्तक है, जो फीते बाँधने के बारे में है क्योंकि फीतों में आकृतियाँ होती हैं। आप इसको कई भिन्न तरीकों से बाँध सकते हैं। इसका विश्लेषण कर सकते हैं। हम इसके लिए भाषाएँ बना सकते हैं।
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
और इसको पूरे गणित में दर्शाया गया है। यह लाईबनेज़ का, १६७५ में किया हुआ अंकन है। उसने प्रकृति की आकृतियों की भाषा का आविष्कार किया। जब हम कुछ हवा में उछालते हैं, तो वो नीचे गिर जाता है। ऐसा क्यों? पक्का तो नहीं पता, लेकिन हम इसको एक आकृति की रूप में, गणित से दर्शा सकते हैं।
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
यह भी एक ढाचा है। यह भी एक आविष्कार की हुई भाषा है। क्या आप बता सकते हैं, किसलिये? यह असल में नृत्य के लिये एक अंकन प्रणाली है, टाप-डान्स के लिये। यह उसको एक नृत्यरचना-कार के रूप में मज़ेदार और नई चीज़ें करने में सक्षम करती है, क्योंकि उसने उसको दर्शाया है।
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
मैं चाहता हूँ कि आप सोचें कि किसी चीज़ को दर्शाना करना कितना अद्भुद होता है। यहाँ जो शब्द लिखा है, वो "गणित" है। पर असल में तो ये सिर्फ कुछ बिंदु ही हैं, है ना? तो ये बिन्दु इस शब्द को आखिर कैसे दर्शा सकते हैं? लेकिन दर्शाते हैं। ये "गणित" शब्द को दर्शाते हैं। और ये चिन्ह भी उसको दर्शाते हैं। और ये, इसे हम सुन सकते हैं। इसकी ध्वनि ऐसी होती है।
(Beeps)
(ध्वनि)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
ये ध्वनि भी इस शब्द और इस सिद्धान्त को दर्शाती है। पर ये होता कैसे है? चीज़ों को दर्शाना बहुत अद्भुत होता है।
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
तो मैं उस जादू के बारे में बात करना चाहता हूँ, जो कुछ दर्शाने पर होता है। यहाँ आप सिर्फ अलग-अलग चौड़ाई की रेखाएँ देख रहे हैं। ये एक पुस्तक की संख्या को दर्शाते हैं। और मैं सलाह दूँगा कि आप इस पुस्तक को पढें, ये बहुत अच्छी है।
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
Just trust me.
मुझ पर भरोसा कीजिये।
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
तो आइये, एक परिक्षण करते हैं, कुछ सीधी रेखाओं के साथ खेलने के लिए। यह एक सीधी रेखा है। चलिये एक और बनाते हैं। तो हम हर बार एक मात्रा नीचे और एक मात्रा आगे बढ़ेंगे, और हम एक नई सीधी रेखा बनाएँगे, ठीक है? और हम ये बार बार करेंगे, और फिर आकृतियाँ खोजेंगे। इससे ये आकृति उभरती है, और ये काफी अच्छी आकृति है। ये एक वक्र की तरह दिखता है, है ना? केवल कुछ सीधी रेखाएँ खींचने से।
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
अब अगर मैं अपना दृष्टिकोण बदल कर, इसे घुमा दूँ, तो अब इस वक्र को देखिये। अब ये किसकी तरह दिखता है? क्या यह एक वृत्त का हिस्सा है? नहीं, यह वृत्त का हिस्सा नहीं है। तो मुझे अपनी खोज जारी रखते हुए, सही आकृति को ढूँढना है। अगर मैं इसकी प्रति बनाकर इससे कोई चित्रकारी करूँ तो? नहीं, ये नहीं। शायद मुझे इन रेखाओं को और लंबा कर देना चाहिए और उसमे आकृति ढूंढनी चाहिए। चलिये और रेखाएँ बनाते हैं। हम ये करते हैं, और फिर इसे दूर करके अपना दृष्टिकोण फिर से बदलते हैं। अब हम सच में ये देख सकते हैं कि जो मात्र सीधी रेखाएँ बनाने से शुरू हुआ था, वो असल में वक्र है जिसे अनुवृत्त कहते हैं। यह एक सुन्दर आकृति है और इसे एक सरल समीकरण से दर्शाते हैं।
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
तो हम ये काम करते हैं। हम आकृतियाँ ढूँढते हैं, और उनको दर्शाते हैं। मुझे लगता है ये एक अच्छी परिभाषा है। पर आज, मैं और थोड़ी गहराई में जा कर ये देखना चाहता हूँ कि इसकी प्रकृति है क्या। ये संभव कैसे होता है? एक बात है जो थोड़ी गहरी है, और उसका सम्बन्ध, अपने दृष्टिकोण को बदल पाने से की क्षमता से है। और मेरा दावा है कि जब आप अपना दृष्टिकोण बदलते हैं, और किसी और नज़रिये से सोचते हैं, तो आप जो देखते या सुनते हैं, उसके बारे में, कुछ नया सीखते हैं। और ये एक बहुत महत्वपूर्ण काम है, जो हम हमेशा करते हैं।
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
तो चलिये, इस सरल समीकरण को देखते हैं, x + x = २ • x यह एक अच्छी आकृति भी है, और सच भी, क्योंकि ५ + ५ = २ • ५, इत्यादि। हमने इसे बहुत बार देखा है, और इसे हम ऐसे दर्शाते हैं। लेकिन गौर कीजिये, ये एक समीकरण है। ये कहता है कोई चीज़, किसी और चीज़ के समान है, और ये दो भिन्न दृष्टिकोण हैं। एक यह, कि ये एक योगफल है। ऐसा कुछ जिसका जोड़ किया हो। और दूसरी तरफ, ये एक गुणन है, और ये दो भिन्न दृष्टिकोण हैं। और मैं तो यहाँ तक कहूँगा कि इस तरह का हर समीकरण, गणित की हर समिका, जहाँ आप समता का चिन्ह प्रयोग करते हैं, वह असल में एक रूपक है। वो दो चीज़ों के बीच समरूपता है। आप बस किसी चीज़ को, दो भिन्न नज़रियों से देख रहे हैं, और आप उसको एक भाषा में व्यक्त कर रहे हैं।
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
इस समिका को देखिये। ये एक बहुत ही सुन्दर समिका है। ये केवल इतना कहती है कि, दो वस्तुएँ हैं, दोनों -१ हैं। बाएं तरफ जो वास्तु है वो -१ है, और दाएं तरफ वाली भी। और ये गणित का बहुत ज़रूरी हिस्सा है, कि आप भिन्न नज़रियों से देखें।
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
तो चलिये इससे खेलते हैं। एक संख्या लेते हैं। हमें चार-तिहाई पता है। हमें पता है चार-तिहाई क्या होता है। वो १.३३३ होता है, लेकिन वो तीन बिन्दु लगाने ज़रूरी हैं, नहीं तो वो पूरा चार-तिहाई नहीं होगा। पर ये केवल १० के आधार में होता है। संख्या पद्धति में हम १० अंक प्रयोग करते हैं। अगर हम इसको बदल कर केवल दो अंकों का प्रयोग करें, उसे बायनरी सिस्टम कहते हैं। उसको ऐसे लिखते हैं। तो अब संख्या पर आते हैं। और संख्या है, चार-तिहाई। हम इसे ऐसे लिख सकते हैं, और हम इसका आधार बदल सकते हैं, अंकों की संख्या बदल सकते हैं, और इसको भिन्न तरह से लिख सकते हैं।
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
तो ये सब एक ही संख्या को भिन्न तरह से दर्शाते हैं। हम इसको केवल ऐसे भी लिख सकते हैं, जैसे १.३ या १.६। ये सब आपके अंकों की संख्या पर निर्भर करता है। या फिर हम बस इसको सरलता से ऐसे लिखें। मुझे ये पसंद है क्योंकि ये कहता है चार तीन से विभाजित। और ये संख्या, दो संख्याओं के सम्बन्ध को व्यक्त करती है। एक तरफ आपके पास चार है, और दूसरी तरफ तीन। और इसकी आप बहुत तरह से कल्पना कर सकते हैं। अब मैं इस संख्या को भिन्न नज़रियों से देख रहा हूँ। मैं इससे खेल रहा हूँ। हम किसी चीज़ को जैसे देखते हैं मै उसके साथ खेल रहा हूँ। और मैं ये सब जान - बूझकर कर रहा हूँ। एक ग्रिड को लेते हैं। अगर ये चार माप आगे, और तीन ऊपर हो, तो इस रेखा का माप पाँच होगा, हमेशा। ऐसा ही होगा। ये एक बहुत सुन्दर आकृति है। चार, तीन और पाँच। और ये आयत, जो ४ x ३ है, इसे आपने बहुत बार देखा होगा। कम्प्यूटर चित्रपट ऐसे माप का होता है। टेलीविजन या कम्प्यूटर का चित्रपट, ८०० x ६०० या १६०० x १२०० होता है।
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
तो ये सब अच्छी तरह दर्शाया गया है, पर मैं थोड़ा और आगे जा कर, इस संख्या से और खेलना चाहता हूँ। यहाँ आप दो वृत्त देख रहे हैं। मैं इनको ऐसे घुमाऊँगा। ऊपर बाएं वाले पर गौर कीजिये। वो थोड़ा ज़्यादा तेज़ चल रहा है, है ना? आप ये देख सकते हैं। वो असल में दूसरे से पूरा चार-तिहाई तेज़ है। जिसका मतलब है कि जब वो ४ चक्कर पूरे करता है, तो दूसरा ३ करता है। अब दो रेखाएँ बनाते हैं, और जहाँ वो मिलती हैं, वहाँ ये बिंदु बना देते हैं। अब हमारा बिंदु नृत्य कर रहा है।
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
और ये बिन्दु इस संख्या से आया है। है ना? अब इसकी छाप लेनी चाहिये। इसकी छाप लेकर देखते हैं, क्या होता है। गणित इसी से सम्बंधित है। ये देखने से कि होता क्या है। और चार-तिहाई से ये उभरता है। मैं कहूंगा कि ये चार-तिहाई की छवि है। ये ज़्यादा सुन्दर है।
Thank you!
धन्यवाद!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(वाहवाही) ये कुछ नया नहीं है। ये बहुत पहले से विदित है, लेकिन --
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
But this is four-thirds.
लेकिन चार-तिहाई ये है।
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
चलिये एक और परिक्षण करते हैं। इस बार एक ध्वनि लेते हैं, ये ध्वनि।
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
ये एक उत्तम A है, ४४० हर्ट्ज। इसको दो से गुणा करते हैं। तो हमें ये ध्वनि मिलती है।
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
अगर हम दोनों ध्वनि साथ बजाएँ, तो ऐसा सुनाई देता है। ये एक सप्टक है, है ना? हम ये खेल खेल सकते हैं। हम एक ध्वनि बजाएँ, वही A बजाएँ। उसको ३/२ से गुणा करें।
(Beep)
(बीप)
This is what we call a perfect fifth.
इसको सही पाँचवा कहते हैं।
(Beep)
(बीप)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
ये दोनों साथ बहुत अच्छे सुनाई देते हैं। चलिये इस ध्वनि को चार-तिहाई से गुणा करते हैं।
What happens? You get this sound. (Beep)
अब क्या होगा? आपको ये ध्वनि मिलेगी।
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
ये सही चौथा है। अगर पहला A है, तो ये D है। ये साथ में ऐसे सुनाई पड़ते हैं।
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
ये चार-तिहाई की ध्वनि है। अब मैं क्या कर रहा हूँ? मैं अपना दृषिकोण बदल रहा हूँ। मैं एक संख्या को दूसरे नज़रिये से देख रहा हूँ।
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
मैं ऐसा ताल के साथ भी कर सकता हूँ, है ना? मैं एक ताल को तीन बार एक साथ बजा सकता हूँ,
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
कुछ समय के लिए, और मैं उसी वक्त एक दूसरी ध्वनि चार बार बजा सकता हूँ।
(Clanking sounds)
(झनकार)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
ये ध्वनि थोड़ी उबाऊ है, पर इनको साथ सुनिये।
(Drumbeats and clanking sounds)
(ध्वनि)
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
Hey! So.
तो देखा आपने?
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
I can even make a little hi-hat.
मैं इसे थोड़ा हाई-हैट भी बना सकता हूँ।
(Drumbeats and cymbals)
(ध्वनि)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
सुना आपने? तो ये चार-तिहाई की ध्वनि है। और ये एक ताल के रूप में है।
(Drumbeats and cowbell)
(ध्वनि)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
और मैं इस संख्या के साथ खेलते हुए ये सब करता रह सकता हूँ। चार-तिहाई एक बहुत ही अच्छी संख्या है और मुझे बहुत पसंद है।
(Laughter)
(खिलखिलाहट)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
यह संख्या सच में अनमोल है। तो अगर आप एक गोला लें, और उसके आयतन को देखें, तो वो एक सिलेंडर का चार-तिहाई होता है। तो एक गोले में चार-तिहाई होता है। वो उस गोले का आयतन होता है।
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
तो अब मैं ये सब कर क्यों रहा हूँ? क्योंकि अब मैं कुछ समझने के अर्थ के बारे में बात करना चाहता हूँ, और कुछ समझने से हमारा मतलब क्या है। मेरा लक्ष्य ये है। और मेरा दावा ये है, कि आप कुछ समझते हैं, अगर आप में उसको भिन्न नज़रियों से देखने की क्षमता है तो। चलिये इस अक्षर को देखते हैं। ये एक सुन्दर R है, है ना? और ये आप कैसे जानते हैं? इसलिए, क्योंकि आपने बहुत सारे R देखे हैं, और आपने उन सबका सामान्यीकरण और सार करके एक आकृति खोज ली है। इसलिए आपको पता है कि ये एक R है।
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
तो मेरा लक्ष्य यहाँ ये कहना है, कि समझना और अपना दृश्टिकोण बदलना, आपस में कैसे जुड़ा है। मैं एक शिक्षक और प्रवक्ता हूँ, और मैं इसे कुछ सिखाने के लिये प्रयोग कर सकता हूँ, क्योंकि जब मैं किसी और को, कोई और कहानी, रूपक या समरूपता सुनाऊंगा, अगर मैं एक कहानी भिन्न दृष्टिकोण से सुनाऊंगा, तो मैं समझ को सक्षम करूँगा। मैं समझ को संभव बनाऊंगा, क्योंकि आप जो भी देखते या सुनते हैं उसका सामान्यीकरण करते हैं, और अगर मैं आपको दूसरा नजरिया दूंगा, तो ये आपके लिए आसान हो जायेगा।
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
चलिये दोबारा एक सरल उदहारण को देखते हैं। ये चार और तीन है। ये चार त्रिभुज हैं। तो ये एक तरह से चार-तिहाई है। चलिये इसको साथ जोड़ देते हैं। अब हम एक खेल खेलेंगे, हम इनको एक तीन आयामी संरचना में मोड़ देंगे। मुझे ये बहुत पसंद है। ये एक वर्ग पिरामिड है। चलिये दो वर्ग पिरामिड लेकर एक साथ रखते हैं। इसको अष्टफलक कहते हैं। ये पांच में से एक सैद्धान्तिक ठोस है। अब हम वस्तुतः अपना दृष्टिकोण बदल सकते हैं, क्योंकि हम इसको सारी धुरियों पर घुमा सकते हैं और इसको भिन्न दृष्टिकोण से देख सकते हैं। और मैं धुरी बदल कर, इसको दूसरे नज़रिये से देख सकता हूँ, ये चीज़ वही है, पर दिखती अलग है। मैं ऐसा दोबारा भी कर सकता हूँ।
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
मैं ऐसा जितनी बार भी करता हूँ, कुछ नया दिखाई देता है, तो मैं इस वस्तु के बारे में और सीख रहा हूँ, जब मैं अपना नज़रिया बदलता हूँ। मैं इसको समझ का निर्माण करने के साधन की तरह प्रयोग कर सकता हूँ। मैं इन दो आकृतियों को एक साथ ऐसे रख के देख सकता हूँ, कि होता क्या है। और ये थोड़ा थोड़ा अष्टफलक की तरह दिखता है। देखिये, अगर मैं इसे ऐसे घुमाऊं तो, क्या होता है? अगर आप इन दो आकृतियों को लेकर साथ जोड़ देते हैं और घूमाते हैं, तो आपका अष्टफलक फ़िर से ये रहा, एक सुन्दर संरचना। अगर आप इसको धरती पर रख दें, तो ये एक अष्टफलक है। ये अष्टफलक की लेखाचित्र संरचना है। और मैं ये करता रह सकता हूँ। आप एक अष्टफलक आस-पास तीन बड़े वृत्त बना सकते हैं, और उनको घुमा सकते हैं, तो ये तीन बड़े वृत्त असल में अष्टफलक से सम्बन्धित हैं। और अगर मैं एक साईकल का पम्प लूँ, और इसमें हवा भर दूँ, तो आप देख सकते हैं कि ये भी कुछ-कुछ अष्टफलक की तरह है। तो आपने देखा मैंने क्या किया? मैं हर बार दृष्टिकोण बदल रहा हूँ।
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
तो अब एक कदम पीछे लेते हैं, और एक कदम पीछे लेना, असल में एक रूपक है, और देखिये कि हम क्या कर रहे हैं। मैं रूपकों से खेल रहा हूँ। मैं नज़रियों और समानता से खेल रहा हूँ। मैं एक कहानी को भिन्न तरह से सुना रहा हूँ। मै कहानियाँ सुना रहा हूँ। मैं एक कहानी बना रहा हूँ; मैं कई कहानियाँ बना रहा हूँ। और ये सब समझ को सक्षम करते हैं। ये असल में कुछ समझने का मूलतत्त्व हैं। मेरा ये सच में मानना है।
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
तो अपना दृष्टिकोण बदलने की ये बात, ये मनुष्य के लिए निश्चित रूप से मूल है। चलिये धरती के साथ खेलते हैं। सागर को और बड़ा करके, उसको देखते हैं। हम ऐसा किसी भी वस्तु के साथ कर सकते हैं। हम सागर को पास से देख सकते हैं। हम लहरों को देख सकते हैं। हम तट पर जा सकते हैं। हम सागर को दूसरे नज़रिये से देख सकते हैं। जितनी बार भी हम ये करते हैं, हम सागर के बारे में कुछ नया सीखते हैं। अगर हम तट पर जायें तो जैसे हम उसे सूंघ सकते हैं, है ना? हम लहरों का शोर सुन सकते हैं। अपनी ज़ुबान पर नमक महसूस कर सकते हैं। तो ये सब भिन्न दृष्टिकोण हैं। और ये वाला सबसे अच्छा है। हम पानी के अंदर जा सकते हैं। हम पानी को अन्दर से देख सकते हैं। और पता है क्या? ये गणित और कम्प्यूटर विज्ञान में निश्चित रूप से आवश्यक है। अगर आप किसी संरचना को अन्दर से देख सकते हैं, तो आप सच में उसके बारे में सीख सकते हैं। किसी वजह से यही किसी वस्तु का मूल होता है।
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
तो जब हम ये करते हैं, और ये सागर के अन्दर की यात्रा पूरी करते हैं, तो हम अपनी कल्पना का उपयोग करते हैं। इसमें थोड़ी और गहराई होती है, और ये अपना नजरिया बदलने के लिए ज़रूरी है। हम एक खेल खेलते हैं। कल्पना कीजिये कि आप वहाँ बैठे हैं। आप कल्पना कर सकते हैं कि आप यहाँ ऊपर हैं, और यहाँ बैठे हैं। आप खुद को बाहर से देख सकते हैं। ये एक बहुत ही अनोखी बात है। आप अपना दृष्टिकोण बदल रहे हैं। आप अपनी कल्पना का उपयोग करके, खुद को बाहर से देख रहे हैं। इसके लिए कल्पना-शक्ति की ज़रूरत होती है।
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
गणित और कम्प्यूटर विज्ञान सबसे ज़्यादा कल्पनाशील कला का रूप हैं। और अपना दृष्टिकोण बदलने की ये बात, आपको थोड़ी जानी-पहचानी लग रही होगी, क्योंकि हम ये रोज़ करते हैं। और हम इसको सहानुभूति कहते हैं। जब मैं दुनिया को आपके नज़रिये से देखता हूँ, तो मुझे आपसे सहानुभूति होती है। अगर मैं सच में समझ पाता हूँ, कि दुनिया आपके नज़रिये से कैसी दिखती हैं, तो मुझ में सहानुभूति है। इसके लिए कल्पना-शक्ति की ज़रूरत होती है। और ऐसे हम समझ को प्राप्त कर पाते हैं। ये पूरे गणित में हैं, यही पूरे कंप्यूटर विज्ञान में हैं, और सहानुभूति और इन विज्ञान का बहुत गहरा सम्बन्ध है।
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
तो मेरा निष्कर्ष ये है: किसी चीज़ को उसकी गहराई तक समझने का सम्बन्ध अपने दृष्टिकोण को बदलने की क्षमता से होता है। तो मेरी आपको सलाह है कि: आप अपने दृष्टिकोण को बदलने की कोशिश करें। आप गणित पढ़ सकते हैं। ये अपनी बुद्धि तेज़ करने का बहुत अच्छा तरीका है। दृष्टिकोण बदलना आपके दिमाग को और लचीला बनाता है। आपको नई चीज़ों के लिये सहनशील बनाता है, और आपको नई चीज़ें समझने में सक्षम करता है। और अगर मैं एक और रूपक का प्रयोग करूँ तो: बुद्धि पानी की तरह होनी चाहिये। वो अच्छा होता है।
Thank you.
धन्यवाद।
(Applause)
(वाहवाही)