Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Hola. Quiero hablarles del entendimiento, y de la naturaleza del entendimiento, y de la esencia del entendimiento, porque todos tratamos de entender algo. Queremos entender las cosas. Para mí, el entendimiento tiene que ver con la capacidad de cambiar de perspectiva. Si uno carece de eso, no tiene entendimiento. Eso es lo que sostengo.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Y quiero hacer hincapié en las matemáticas. Muchos pensamos las matemáticas como sumas, restas, multiplicación, división, fracciones, porcentajes, geometría, álgebra, todo eso. Pero quiero hablar de la esencia de las matemáticas, también. Para mí, las matemáticas tienen que ver con patrones.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Detrás de mí, ven un hermoso patrón, y este patrón surge de dibujar círculos de una manera muy particular. Por eso mi definición cotidiana de matemáticas, la que uso a diario, es la siguiente: Ante todo, se trata de encontrar patrones. Y por "patrón" digo una conexión, una estructura, alguna regularidad, algunas reglas que gobiernan lo que vemos. Luego, pienso que se trata de representar estos patrones con un lenguaje. Inventamos lenguaje si no lo tenemos y, en matemática, esto es esencial. También tiene que ver con suponer cosas y jugar con esas suposiciones y ver qué pasa. Muy pronto vamos a hacer eso. Y, finalmente, se trata de hacer cosas geniales. Las matemáticas nos permiten hacer muchísimas cosas.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Veamos estos patrones. Si uno quiere atar el nudo de una corbata, hay patrones. Los nudos tienen nombres. Y existe una matemática de los nudos de corbata. Este nudo es izquierda-afuera, derecha-adentro, centro-afuera. Este nudo es izquierda-adentro, derecha- afuera, izquierda-adentro, centro-afuera. Este es el lenguaje que inventamos para los patrones de nudos. Y un medio Windsor es todo eso. Este es un libro de matemáticas sobre nudos de zapatos a nivel universitario, porque hay patrones en los nudos de zapato. Pueden hacerlo de muchas maneras diferentes. Podemos analizarlo. Podemos inventar lenguajes para eso.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Y hay representaciones en toda la matemática. Esta es la notación de Leibniz de 1675. Él inventó un lenguaje para los patrones de la naturaleza. Cuando arrojamos algo al aire, cae. ¿Por qué? No estamos seguros, pero podemos representarlo en un patrón matemático.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Esto también es un patrón. También es un lenguaje inventado. ¿Adivinan para qué? Es un sistema de notación para baile, para bailar tap. Eso le permite a él como coreógrafo hacer cosas geniales, nuevas cosas, porque las ha representado.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
Quiero que piensen en lo asombroso que es representar algo. Aquí dice la palabra "matemáticas". Pero en realidad son solo puntos, ¿no? ¿Cómo es posible que estos puntos representen la palabra? Bueno, lo hacen. Representan la palabra "matemáticas", y estos símbolos también representan esa palabra y podemos escucharlo. Suena así.
(Beeps)
(Pitidos)
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
De alguna manera estos sonidos representan la palabra y el concepto. ¿Cómo sucede eso? Hay algo increíble que ocurre al representar cosas.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
Por eso quiero hablarles de la magia que sucede cuando representamos algo. Aquí vemos líneas con diferentes anchos. Representan números de un libro particular. Y recomiendo este libro, es un libro muy bonito.
(Laughter)
(Risas)
Just trust me.
Créanme.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Bien, hagamos un experimento, para jugar con algunas líneas rectas. Esta es una línea recta. Hagamos otra. En cada movimiento, movemos uno abajo y uno a través, y dibujamos una nueva línea recta, ¿sí? Hacemos esto una y otra y otra vez, y buscamos patrones. Y surge este patrón, es un patrón bastante lindo. Parece una curva, ¿verdad? Solo con dibujar líneas rectas simples.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Ahora puedo cambiar de perspectiva un poquito. Puedo rotarlo. Vean la curva. ¿A qué se parece? ¿Es parte de un círculo? En realidad no es parte de un círculo. Tengo que seguir investigando y buscar el patrón verdadero. ¿Quizá si lo copio y hago arte? Bueno, no. Quizá debería extender las líneas así, y buscar el patrón allí. Hagamos más líneas. Hacemos esto. Alejémonos y cambiemos de perspectiva otra vez. Luego, podemos ver que lo que empezamos solo con líneas rectas es en realidad un curva llamada parábola. Esto se representa con una ecuación simple, y es un patrón hermoso.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Estas son las cosas que hacemos. Encontramos patrones y los representamos. Y pienso que esta es una linda definición del día a día. Pero hoy quiero profundizar un poco más, y pensar en la naturaleza de esto. ¿Qué lo hace posible? Hay algo un poco más profundo, y es la capacidad que tenemos de cambiar de perspectiva. Y sostengo que cuando uno cambia de perspectiva, al adoptar otro punto de vista, uno aprende algo nuevo sobre lo que está viendo, mirando o escuchando. Y pienso que eso es algo muy importante que hacemos todo el tiempo.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Miremos esta ecuación simple, x + x = 2 • x. Es un patrón muy hermoso, y es verdadero, porque 5 + 5 = 2 • 5, etc. Lo hemos visto una y otra vez, y lo representamos así. Pero piénsenlo: esta es una ecuación. Dice que una cosa es igual a otra cosa, desde dos perspectivas diferentes. Una perspectiva es la suma. Es algo que uno adiciona. Por otro lado, está la multiplicación, son dos perspectivas diferentes. E iría más lejos y diría que toda ecuación como esta, toda ecuación matemática que use el signo de igual es una metáfora. Es una analogía entre dos cosas. Uno ve dos cosas y adopta dos puntos de vista diferentes, y lo expresa en un lenguaje.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Vean esta ecuación. Es una de las ecuaciones más hermosas. Simplemente dice que, bien, dos cosas, ambas son -1. Esto de la izquierda es -1, y la otra parte también. Y esa, pienso, es una de las partes esenciales de las matemáticas; adoptar puntos de vista diferentes.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Juguemos un poco. Tomemos un número. Conocemos los cuatro tercios. Sabemos lo que son cuatro tercios. Es 1,333 pero tenemos que colocar esos tres puntos, de lo contrario no es exactamente cuatro tercios. Pero esto es solo en base 10. En el sistema numérico usamos 10 dígitos. Si cambiamos eso y usamos dos dígitos, eso se llama sistema binario. Se escribe así. Ahora hablamos del número. El número es cuatro tercios. Podemos escribirlo así, y podemos cambiar la base, cambiar la cantidad de dígitos, y escribirlo de manera diferente.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Son todas representaciones del mismo número. Podemos escribirlo simplemente como 1,3 o 1,6. Todo depende de cuántos dígitos haya. O quizá podemos escribirlo simplemente así. Me gusta este, porque dice que es cuatro dividido tres. Y este número expresa una relación entre dos números. Uno tiene cuatro por un lado y tres por el otro. Y se puede visualizar esto de muchas maneras. Ahora veo ese número desde diferentes perspectivas. Estoy jugando. Estoy jugando con la manera de ver algo, y lo hago muy deliberadamente. Podemos tomar una grilla. Si tiene 4 de ancho y 3 de alto, esta línea es igual a 5, siempre. Tiene que ser así. Este es un patrón hermoso. Cuatro y tres y cinco. Y este rectángulo, que es 4 x 3, lo habrán visto muchas veces. Es la pantalla de computadora promedio. 800 x 600 o 1600 x 1200 es una pantalla de TV o computadora.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Son todas lindas representaciones, pero quisiera ir un poquito más lejos y jugar un poco más con este número. Aquí ven dos círculos. Los voy a rotar de este modo. Observen la parte superior izquierda. Va un poco más rápido, ¿verdad? Pueden verlo. En realidad va exactamente cuatro tercios más rápido. Eso significa que cuando pasa cuatro veces, la otra pasa tres veces. Ahora hagamos dos líneas, y dibujemos este punto donde las líneas se encuentran. Tenemos este punto danzante.
(Laughter)
(Risas)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
Y este punto viene de ese número. ¿Sí? Ahora deberíamos rastrearlo. Rastrémoslo y veamos qué pasa. De eso se tratan las matemáticas. De ver qué pasa. Y eso surge de los cuatro tercios. Me gusta decir que esta es la imagen de los cuatro tercios. Es mucho mejor... (Ovación)
Thank you!
¡Gracias!
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(Aplausos) Esto no es nuevo. Esto se conoce desde hace mucho, pero...
(Laughter)
(Risas)
But this is four-thirds.
Pero esto son cuatro tercios.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Hagamos otro experimento. Tomemos un sonido, este sonido: (Pitido)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Es un perfecto do, 440Hz. Multipliquemos por dos. Tenemos este sonido. (Pitido)
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
Tocadas juntas suenan así. Esto es una octava, ¿verdad? Podemos hacer este juego. Tocamos el sonido, tocamos el mismo do. Multiplicamos por tres mitades.
(Beep)
(Pitido)
This is what we call a perfect fifth.
Esto es lo que llamo un quinto perfecto.
(Beep)
(Pitido)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Suenan muy bien juntos. Multipliquemos este sonido por cuatro tercios. (Pitido)
What happens? You get this sound. (Beep)
¿Qué sucede? Obtienen este sonido. (Pitido)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Este es el cuarto perfecto. Si el primero es do, este es fa. Suenan así juntas. (Pitidos)
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Este es el sonido de los cuatro tercios. Ahora estoy cambiando de perspectiva. Estoy viendo un número desde otra perspectiva.
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
Puedo hacer esto con ritmos, ¿verdad? Puedo tomar un ritmo y tocar tres tiempos a la vez (Tambor)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
en un período de tiempo, y puedo tocar otro sonido cuatro veces en ese mismo espacio.
(Clanking sounds)
(Sonido metálico)
Sounds kind of boring, but listen to them together.
Suena un poco aburrido, pero escúchenlos juntos.
(Drumbeats and clanking sounds)
(Tambores y sonido metálico)
(Laughter)
(Risas)
Hey! So.
¡Oye! Casi.
(Laughter)
(Risas)
I can even make a little hi-hat.
Incluso puedo hacer un pequeño hi hat.
(Drumbeats and cymbals)
(Tambores y platillos)
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
¿Pueden oír esto? Este es el sonido de los cuatro tercios. De nuevo, esto es un ritmo.
(Drumbeats and cowbell)
(Tambores y cencerro)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
Y puedo seguir con esto y jugar con este número. Los cuatro tercios son un gran número. ¡Me encantan los cuatro tercios!
(Laughter)
(Risas)
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
De verdad, es un número infravalorado. Si toman una esfera y miran el volumen de la esfera, son cuatro tercios de un cilindro particular. Los cuatro tercios están en la esfera. Es el volumen de la esfera.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Pero, ¿por qué hago todo esto? Bueno, quiero hablar de lo que significa entender algo y lo que queremos decir por entender algo. Ese es mi objetivo aquí. Mi idea es que uno entiende algo si puede verlo desde diferentes perspectivas. Veamos esta letra. Es una hermosa R, ¿no? ¿Cómo lo saben? Bueno, de hecho, han visto muchas eRes, y han generalizado y las sintetizaron todas en un patrón. Saben que esto es una R.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Mi intención aquí es decir algo sobre la relación entre entender algo y cambiar de perspectiva. Soy profesor y doy conferencias, y puedo usar esto para enseñar algo, porque cuando le doy a alguien otra historia, una metáfora, una analogía, si cuento una historia desde un punto de vista diferente, facilito el entendimiento. Hago posible el entendimiento, porque Uds. tienen que generalizar sobre lo que vieron y oyeron, y si les doy otra perspectiva, eso les resultará fácil.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Hagamos otro ejemplo simple. Esto es cuatro y tres. Son cuatro triángulos. Son cuatro tercios, en cierta forma. Unámoslos. Ahora vamos a jugar un juego; los vamos a plegar en una estructura tridimensional. Me encanta. Esta es una pirámide cuadrada. Tomemos dos y juntémoslas. Esto es lo que se llama un octaedro. Es uno de los cinco sólidos de Platón. Ahora podemos literalmente cambiar de perspectiva, porque podemos rotarlo en todos sus ejes y verlo desde diferentes perspectivas. Y puedo cambiar el eje, y verlo desde otro punto de vista, pero es la misma cosa, pero parece un poco diferente. Puedo hacerlo incluso otra vez más.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Cada vez que lo hago aparece algo más, así que estoy aprendiendo algo más sobre el objeto cuando cambio la perspectiva. Puedo usar esto como una herramienta para crear entendimiento. Puedo tomar dos de estos y ponerlos juntos así y ver qué pasa. Y se parece un poco al octaedro. Miren si lo giro así. ¿Qué pasa? Bueno, si toman dos de estos, los juntan y los giran, se forma un octaedro otra vez, una estructura hermosa. Si lo aplanan sobre el suelo, es un octaedro. Es la estructura de grafo de un octaedro. Y puedo seguir haciendo esto. Pueden dibujar tres grandes círculos alrededor del octaedro, y rotarlo, así, tres grandes círculos se relacionan al octaedro. Y si tomo una bomba de bicicleta y le inyecto aire, pueden ver que esto también tiene forma de octaedro. ¿Ven lo que estoy haciendo aquí? Cambio de perspectiva cada vez.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Ahora volvamos un paso atrás, retrocediendo, esto es una metáfora, veamos lo que estamos haciendo. Estoy jugando con metáforas. Estoy jugando con perspectivas y analogías. Estoy contando una historia de diferentes maneras. Estoy contando historias. Estoy creando una narrativa; estoy creando varias narrativas. Y pienso que todas estas cosas hacen posible el entendimiento. Pienso que esta es la esencia de entender algo. Realmente creo eso.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Cambiar de perspectiva es algo fundamental para los humanos. Juguemos con la Tierra. Acerquémonos al océano, miremos el océano. Podemos hacer esto con cualquier cosa. Podemos observar de cerca el océano. Podemos mirar las olas. Podemos ir a la playa. Podemos ver el océano desde otra perspectiva. Cada vez que lo hacemos, aprendemos un poco más sobre el océano. Si vamos a la costa, podemos olerla, ¿cierto? Podemos oír el sonido de las olas. Podemos sentir la sal en la lengua. Todas esas son diferentes perspectivas. Y esta es la mejor. Podemos entrar al agua. Podemos ver el agua desde dentro. ¿Y saben qué? Esto es absolutamente esencial en matemáticas e informática. Si uno puede ver una estructura desde dentro, entonces realmente aprende algo de ella. Es como la esencia de algo.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Por eso cuando lo hacemos, cuando hacemos el viaje al océano, usamos la imaginación. Y creo que este es un nivel más profundo, y es realmente un requisito para cambiar de perspectiva. Podemos hacer un jueguito. Pueden imaginar que están aquí sentados. Pueden imaginar que están aquí, que están sentados aquí. Pueden verse desde afuera. Eso es algo muy extraño. Están cambiando de perspectiva. Están usando la imaginación, y se ven desde fuera. Eso requiere imaginación.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Las matemáticas y la informática son las formas de arte más imaginativas. Y esto de cambiar de perspectiva debería sonarles un poco familiar, porque lo hacemos a diario. Se llama empatía. Cuando veo el mundo desde tu perspectiva, siento empatía por ti. Si verdaderamente entiendo cómo ves el mundo desde tu perspectiva, siento empatía. Eso requiere imaginación. Y así entendemos las cosas. Esto sobrevuela las matemáticas, y sobrevuela la informática, y existe una conexión muy profunda entre la empatía y estas ciencias.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Por eso mi conclusión es la siguiente: entender algo cabalmente tiene que ver con la capacidad de cambiar de perspectiva. Por eso mi consejo para Uds. es: traten de cambiar de perspectiva. Pueden estudiar matemáticas. Es una manera maravillosa de entrenar el cerebro. Cambiar de perspectiva hace que la mente sea más flexible. Hace que se abran a nuevas cosas, y les permite entender las cosas. Y para usar otra metáfora: tengan una mente como el agua. Eso es bueno.
Thank you.
Gracias.
(Applause)
(Aplausos)