Hallo. Ich möchte über Verständnis, die Eigenart und das Wesen von Verständnis sprechen, denn wir alle bemühen uns, zu verstehen. Wir wollen Dinge verstehen. Ich behaupte, dass Verständnis mit der Fähigkeit zusammenhängt, die Perspektive zu wechseln. Wenn man das nicht hat, kann man nicht verstehen. Das behaupte ich jedenfalls.
Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Ich will mich auf Mathematik konzentrieren. Viele von uns denken bei Mathematik an Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Brüche, Prozent, Geometrie, Algebra -- all diese Dinge. Ich möchte aber eigentlich auch über das Wesen der Mathematik sprechen. Ich behaupte, dass Mathematik mit Mustern zu tun hat.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Hinter mir sehen Sie ein wunderschönes Muster, das nur dadurch entsteht, dass man Kreise auf eine sehr bestimmte Art und Weise zeichnet. Meine Alltagsdefinition von Mathematik, die ich ständig benutze, lautet: Erstens geht es darum, Muster zu finden. Mit "Muster" meine ich eine Verbindung, eine Struktur, Regelmäßigkeit, Regeln, die das, was wir sehen, steuern. Zweitens geht es darum, diese Muster mit Hilfe einer Sprache darzustellen. Wir erfinden Sprache, wenn wir keine haben. In der Mathematik ist das wesentlich. Es geht darum, Vermutungen anzustellen, mit ihnen herumzuspielen und zu sehen, was geschieht. Wir werden das bald tun. Und schließlich geht es um coole Dinge. Mathematik ermöglicht uns viele Dinge.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Schauen wir uns diese Muster mal an. Wenn man eine Krawatte bindet, entstehen Muster. Krawattenknoten haben Namen. Man kann diese Knoten auch berechnen. Das ist ein "links-hinaus, rechts-hinein, mittig-hinaus und binden". Das ist ein "links-hinein, rechts-hinaus, links-hinein, mittig-hinaus und binden". Diese Sprache haben wir für die Muster von Krawattenknotten erfunden. Ein halber Windsor-Knoten umfasst alles davon. Dies ist ein Mathematikbuch zum Thema Schnürsenkel binden auf Universitätsniveau, weil Schnürsenkel aus Mustern bestehen. Man kann sie auf so viele verschiedene Weisen binden. Wir können das analysieren. Wir können Sprachen dafür erfinden.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Darstellungen sind voller Mathematik. Dies die Leibniz-Schreibweise aus dem Jahre 1675. Er erfand eine Sprache für Muster in der Natur. Wenn wir etwas in die Luft werfen, fällt es herunter. Warum? Wir wissen es nicht genau, können es aber mathematisch als Muster darstellen.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Das ist auch ein Muster. Das ist auch eine erfundene Sprache. Können Sie erraten wofür? Das ist ein Notationssystem für einen Stepptanz. Das ermöglicht dem Choreographen, coole und neue Sachen zu machen, weil er es dargestellt hat.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Denken Sie darüber nach, wie wundervoll die Darstellung von etwas eigentlich ist. Das heißt "Mathematik". Aber eigentlich sind es nur Punkte, nicht war? Wie können also diese Punkte das Wort darstellen? Nun, es geht. Sie stellen "Mathematik" dar. Diese Symbole stellen auch das Wort dar und wir können zuhören. So hört es sich an.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
(Pieptöne)
(Beeps)
Irgendwie stellen diese Geräusche das Wort und das Prinzip dar. Wie geschieht das? Wenn man etwas darstellt, ist etwas Wundervolles im Gange.
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Ich möchte über die Magie sprechen, wenn etwas tatsächlich dargestellt wird. Hier sehen Sie nur Linien in unterschiedlicher Breite. Sie repräsentieren Nummern für ein bestimmtes Buch. Ich kann das Buch empfehlen, es ist ein sehr gutes Buch.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
(Gelächter)
(Laughter)
Vertrauen Sie mir.
Just trust me.
Wir werden ein Experiment machen, um mit einigen geraden Linien herumzuspielen. Dies ist eine gerade Linie. Wir zeichnen noch eine. Bei jeder Bewegung geht es eine Einheit nach unten und eine quer und wir zeichnen eine neue gerade Linie, richtig? WIr machen das immer und immer wieder und suchen nach Mustern. Dann erscheint dieses Muster. Es ist ein ziemlich schönes Muster. Es sieht aus wie eine Kurve, richtig? Allein durch das Zeichnen einfacher gerader Linien.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Ich kann meine Perspektive etwas verändern und die Kurve drehen. Schauen Sie sich die Kurve an. Wie sieht sie aus? Ist sie Teil eines Kreises? Eigentlich ist sie kein Teil eines Kreises. Ich muss meine Untersuchung fortführen und nach dem echten Muster suchen. Was wenn ich sie kopiere und Kunst daraus mache? Eher nicht. Vielleicht sollte ich die Linien so ausweiten und dann nach einem Muster suchen. Zeichnen wir noch mehr Linien. Das machen wir. Dann zoomen wir heraus und wechseln wieder unsere Perspektive. Dann können wir erkennen, dass die ersten geraden Linien eigentlich eine Kurve bilden, eine sogenannte Parabel. Sie wird durch eine einfache Gleichung dargestellt und ist ein wunderschönes Muster.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Damit beschäftigen wir uns. Wir suchen Muster und stellen sie dar. Ich denke, das ist eine nette Alltagsdefinition. Heute möchte ich etwas tiefer einsteigen und über das Wesen davon nachdenken. Wie ist das möglich? Es gibt etwas, das ein wenig tiefer sitzt und mit der Fähigkeit zusammenhängt, die Perspektive zu wechseln. Ich behaupte, wenn man die Perspektive wechselt und einen anderen Standpunkt einnimmt, lernte man etwas Neues über das, was man beobachtet, anschaut oder hört. Ich halte das für etwas sehr Wichtiges, das wir ständig tun.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Schauen wir uns diese einfache Gleichung an: x + x = 2 • x. Das ist ein schönes Muster und es stimmt, denn 5 + 5 = 2 • 5, etc. Wir haben das immer wieder gesehen und stellen es so dar. Aber denken Sie daran: Das ist eine Gleichung. Sie sagt aus, dass eine Sache einer anderen gleichkommt und das sind zwei verschiedene Perspektiven. Eine Perspektive ist eine Summe. Etwas, das man zusammenzählt. Auf der anderen Seite steht eine Multiplikation, das sind zwei verschiedene Perspektiven. Ich würde soweit gehen zu behaupten, dass jede Gleichung so ist. Jede mathematische Gleichung mit einem Gleichheitszeichen ist eigentlich eine Metapher. Es ist eine Analogie zwischen zwei Dingen. Man sieht etwas, nimmt zwei verschiedene Standpunkte ein
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view,
und drückt das mit einer Sprache aus. Sehen Sie sich diese Gleichung an. Dies ist eine der schönsten Gleichungen. Sie sagt einfach nur aus, dass zwei Dinge zusammen -1 ergeben, Das Ding links ergibt -1 und das andere ebenso. Das ist eins der wesentlichen Elemente der Mathematik:
and you're expressing that in a language. Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts
zwei verschiedene Ansichten. Spielen wir ein wenig herum. Nehmen wir eine Zahl, Wir kennen vier Drittel. Wir wissen, was vier Drittel sind. Das ist 1,333, aber wir brauchen diese drei Punkte, sonst sind es nicht exakt vier Drittel. Das gilt aber nur für die Basis 10. Sie wissen schon, das Zahlensystem mit 10 Stellen. Wenn wir nur zwei Stellen verwenden, heißt das Binärsystem. Es wird so geschrieben. Jetzt sprechen wir über die Zahl. Die Zahl lautet vier Drittel. Wir können das so schreiben, wir können auch die Basis, die Anzahl der Stellen ändern
of mathematics -- you take different points of view. So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits,
und es anders aufschreiben. Das sind alles Darstellungen derselben Zahl. Es geht auch einfach: etwa 1,3 oder 1,6. Es hängt von der Anzahl der Stellen ab. Vielleicht vereinfachen wir und schreiben es so. Ich mag das, weil es heißt: vier geteilt durch drei. Diese Zahl drückt eine Beziehung zwischen zwei Zahlen aus. Man hat vier auf der einen und drei auf der anderen Seite. Man kann das unterschiedlich veranschaulichen. Ich betrachte diese Zahl nun aus verschiedenen Blickwinkeln. Ich spiele herum. Ich spiele ganz bewusst mit Sichtweisen herum. Nehmen wir ein Raster. Bei vier waagrecht und drei senkrecht ergibt diese Linie immer fünf. Das muss so sein. Es ist ein schönes Muster. Vier und Drei und Fünf. Dieses Rechteck aus 4 x 3 haben Sie schon oft gesehen. Das ist ein durchschnittlicher Computerbildschirm.
and we can write it differently. So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen.
800 x 600 oder 1 600 x 1 200 ist ein Fernseh- oder Computerbildschirm. Das sind alles nette Darstellungen, aber ich möchte noch weitergehen und mit dieser Zahl spielen. Hier sehen Sie zwei Kreise. Ich werde sie drehen. Beobachten Sie den Kreis oben links. Er dreht sich etwas schneller, nicht wahr? Sie können das sehen. Er dreht sich genau vier Drittel so schnell. Das bedeutet, wenn er sich viermal dreht, dreht sich der andere dreimal.
800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen. So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times.
Jetzt zeichnen wir zwei Linien und diesen Punkt, an dem sich die beiden Linien treffen.
Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
Wir lassen diesen Punkt tanzen. (Gelächter) Dieser Punkt kommt von dieser Zahl. Stimmt's? Wir sollten ihn verfolgen. Das tun wir und sehen, was geschieht. Darum geht es in der Mathematik. Es geht darum, zu beobachten, was geschieht. Das bildet sich aus vier Dritteln heraus.
(Laughter) And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds.
Das ist das Bild von vier Drittel.
I like to say that this is the image of four-thirds.
Es ist viel schöner -- (Beifallsrufe) Danke! (Applaus)
It's much nicer -- (Cheers) Thank you! (Applause)
Das ist nicht neu.
This is not new.
Das weiß man schon sehr lange, aber --
This has been known for a long time, but --
(Gelächter) Aber das sind vier Drittel.
(Laughter) But this is four-thirds.
Machen wir ein anderes Experiment. Wir nehmen ein Geräusch: (Piepen) Das ist ein perfektes a, 440 Hz.
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep) This is a perfect A, 440Hz.
Wir multiplizieren mit zwei und erhalten dieses Geräusch. (Piepen) Wenn wir sie zusammen abspielen, hört es sich so an. Das ist eine Oktave, nicht wahr?
Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep) When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right?
Wir können herumspielen, einen Ton spielen, dasselbe a.
We can do this game. We can play a sound, play the same A.
Wir können es mit drei Halbtönen multiplizieren.
We can multiply it by three-halves.
(Piepen)
(Beep)
Das nennen wir eine perfekte Quinte. (Piepen)
This is what we call a perfect fifth. (Beep)
Zusammen hören sie sich wirklich gut an. Wir multiplizieren diesen Ton mit vier Drittel. (Piepen)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep) What happens?
Was passiert? Das ist eine perfekte Quart.
You get this sound. (Beep) This is the perfect fourth.
Wenn der erste Ton ein a ist, ist dieser ein d. Zusammen hören sie sich so an. (Piepen) So klingen vier Drittel.
If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps) This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective.
Ich wechsle nun meine Perspektive. Ich betrachte eine Zahl aus einer anderen Perspektive.
I'm just viewing a number from another perspective. I can even do this with rhythms, right?
Das kann ich sogar mit Rhythmen tun, nicht wahr? Ich kann einen Rhythmus wählen und drei Schläge gleichzeitig spielen
I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
(Trommelschlag)
in a period of time,
Ich kann einen anderen Ton viermal in derselben Zeitspanne spielen.
and I can play another sound four times in that same space.
(Klirrendes Geräusch)
(Clanking sounds)
Klingt langweilig, aber hören Sie, wie sie gemeinsam klingen.
Sounds kind of boring, but listen to them together.
(Trommel und klirrendes Geräusch)
(Drumbeats and clanking sounds)
(Gelächter)
(Laughter)
Hey! So.
Hey! So.
(Gelächter)
(Laughter)
Ich kann sogar ein kleines Hi-Hat machen. (Trommel und Becken) Können Sie das hören?
I can even make a little hi-hat. (Drumbeats and cymbals) Can you hear this?
So klingen vier Drittel.
So, this is the sound of four-thirds.
Das wieder als Rhythmus. (Trommel und Kuhglocke)
Again, this is as a rhythm. (Drumbeats and cowbell)
Ich kann so weitermachen und mit dieser Zahl spielen.
And I can keep doing this and play games with this number.
Vier Drittel ist eine tolle Zahl. Ich liebe vier Drittel! (Gelächter) Wirklich -- es ist eine unterschätzte Zahl. Sehen Sie sich das Volumen der Kugel an.
Four-thirds is a really great number. I love four-thirds! (Laughter) Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,
Das sind eigentlich vier Drittel eines besonderen Zylinders. Vier Drittel sind in der Kugel, es ist das Volumen der Kugel. Warum mache ich das alles? Ich möchte darüber sprechen, was es bedeutet, etwas zu verstehen und was wir damit meinen, etwas zu verstehen. Das ist mein Ziel. Ich behaupte, dass man etwas versteht, wenn man von verschiedenen Standpunkten betrachten kann. Schauen wir uns diesen Buchstaben an. Ein schönes R, stimmt's? Woher wissen Sie das? Sie haben schon viele Rs gesehen, haben verallgemeinert,
it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere. OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized
von diesen abstrahiert und ein Muster gefunden. Sie wissen, dass das ein R ist. Ich möchte etwas darüber sagen, wie Verständnis und Perspektivenwechsel miteinander verbunden sind. Ich bin Lehrer und Dozent und kann dies im Unterricht einsetzen, denn wenn ich jemandem eine andere Geschichte, Metapher oder Analogie erzähle, wenn ich eine Geschichte aus einer anderen Sicht erzähle, ermögliche ich Verständnis. Ich mache Verständnis möglich,
and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R. So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear,
weil man alles, was man sieht und hört, verallgemeinern muss. Wenn ich Ihnen eine andere Perspektive biete, ist das leichter für Sie. Noch ein einfaches Beispiel. Das sind vier und drei. Es sind vier Dreiecke. Das sind gewissermaßen auch vier Drittel. Wir verbinden sie. Wir spielen ein Spiel; wir falten sie zu einer dreidimensionalen Struktur. Ich liebe das. Das ist eine quadratische Pyramide. Fügen wir zwei davon zusammen. Das nennen wir einen Oktaeder. Es ist einer der fünf platonischen Körper. Wir können buchstäblich unsere Perspektive wechseln, weil wir ihn um alle Achsen drehen können und von verschiedenen Perspektiven sehen können. Ich kann die Achse ändern und ihn aus einer anderen Ansicht betrachten
and if I give you another perspective, that will become easier for you. Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view,
Es ist das gleiche, sieht aber ein wenig anders aus. Ich kann es noch einmal machen. Immer wenn ich das tue, erscheint etwas anderes. Ich lerne also mehr über den Gegenstand, wenn ich meine Perspektive ändere. Ich kann das als Werkzeug gebrauchen, um Verständnis zu erzeugen. Ich kann zwei davon nehmen und so zusammensetzen und schauen, was passiert. Es sieht ein bisschen aus wie ein Oktaeder. Schauen Sie es sich an, wenn ich ihn so drehe. Was passiert? Wenn man zwei davon zusammensetzt und dreht, entsteht wieder der Oktaeder, eine wunderschöne Struktur. Wenn man es auf dem Boden ausbreitet, ist das der Oktaeder. Das ist die grafische Struktur eines Oktaeders. Ich kann damit weitermachen. Man kann drei große Kreise um den Oktaeder zeichnen und sie drehen lassen. Drei große Kreise sind tatsächlich mit dem Oktaeder verwandt. Wenn ich das mit einer Fahrradpumpe aufpumpe, ist das auch ein bisschen wie der Oktaeder.
but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time. Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron.
Sehen Sie, was ich hier mache? Ich wechsle die Perspektive jedes Mal. Gehen wir einen Schritt zurück -- das ist eigentlich eine Metapher -- und sehen, was wir machen. Ich spiele mit Metaphern. Ich spiele mit Perspektiven und Analogien. Ich erzähle eine Geschichte auf verschiedene Weisen. Ich erzähle Geschichten. Ich mache eine Erzählung; ich mache mehrere Erzählungen. Ich denke, alles das ermöglicht Verständnis.
Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time. So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible.
Das ist das Wesen des Verstehens. Ich glaube das wirklich. Es geht um Perpektivenwechsel -- das ist für uns Menschen absolut wichtig. Spielen wir mit der Erde. Zoomen wir in den Ozean, betrachten wir den Ozean. Das geht mit allem. Wir können den Ozean aus der Nähe betrachten. Wir können die Wellen betrachten. Wir können an den Strand gehen. Wir können den Ozean aus anderer Sicht betrachten. Jedes Mal lernen wir ein wenig mehr über den Ozean. An der Küste können wir ihn riechen, stimmt's? Wir können die Wellen hören. Wir können das Salz auf unserer Zunge fühlen. Das sind alles verschiedene Perspektiven. Das ist die beste. Wir können ins Wasser gehen. Wir sehen das Wasser von innen. Wissen Sie was? Das ist absolut wesentlich für die Mathematik und die Informatik. Wenn man eine Struktur von innen sehen kann,
I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this. So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside,
dann lernt man wirklich etwas darüber. Das ist das Wesen von etwas. Wenn wir das tun und die Reise in den Ozean gemacht haben, gebrauchen wir unsere Vorstellungskraft. Das ist auf einem tieferen Level, es erfordert, die Perspektive zu ändern. Spielen wir ein kleines Spiel. Sie können sich vorstellen, dort zu sitzen. Sie können sich vorstellen, dass Sie hier oben sind und dort sitzen. Sie können sich von außen betrachten. Das ist wirklich seltsam. Sie ändern Ihre Perspektive. Sie verwenden Ihre Vorstellungskraft
then you really learn something about it. That's somehow the essence of something. So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination,
und sehen sich selbst von außen. Das erfordert Vorstellungskraft. Mathematik und Informatik sind die fantasievollsten Künste überhaupt. Perspektivenwechsel sollte Ihnen ein wenig vertraut sein, weil wir es jeden Tag tun. Dann wird es Empathie genannt. Wenn ich die Welt aus Ihrer Perspektive betrachte, habe ich Einfühlungsvermögen für Sie. Wenn ich wirklich verstehe, wie die Welt aus Ihrer Perspektive aussieht, bin ich empathisch. Das erfordert Vorstellungsvermögen. So gelangen wir zu Verständnis.
and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination. Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding.
Das geht alles um Mathematik, das geht alles um Informatik. Es gibt eine tiefe Verbindung zwischen Empathie und diesen Wissenschaften. Meine Schlussfolgerung ist folgende: Etwas wirklich zu verstehen, hat mit der Fähigkeit zu tun, die Perspektive zu ändern. Ich rate Ihnen deshalb: Versuchen Sie, Ihre Perspektive zu ändern. Sie können Mathematik studieren. Es ist eine wunderbare Möglichkeit, Ihr Gehirn zu trainieren. Wenn Sie Ihre Perspektive ändern, wird Ihr Geist flexibler. Sie werden offener gegenüber neuen Dingen und Sie können Dinge verstehen. Um eine andere Metapher zu gebrauchen:
And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences. So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor:
Haben Sie einen Geist wie Wasser.
have a mind like water.
Das ist schön. Danke. (Applaus)
That's nice. Thank you. (Applause)