Hej. Jeg vil tale om forståelse, og om begrebet forståelse, og hvad essensen af forståelse er, for det at forstå, er noget vi alle efterstræber. Vi ønsker at forstå ting. Min påstand er, at forståelse har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Evner du ikke det, har du ikke forståelse. Så det er min påstand.
Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
Og jeg vil fokusere på matematik. Mange af os tænker på matematik som addition, subtraktion, multiplikation, divison, fraktioner, procenter, geometri, algebra -- alt det der. Men faktisk, vil jeg også tale om essensen af matematik. Min påstand er, at matematik har noget at gøre med mønstre.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
Bag mig ser I et smukt mønster, dette mønster opstår, blot ved at anvende cirkler på en ganske særlig måde. Så min hverdags definition af matematik, som jeg bruger hver dag, er følgende: Først og fremmest handler det om, at finde mønstre. Og med "mønstre", mener jeg en sammenhæng, en struktur, noget regelmæssighed, nogle regler, der bestemmer hvad vi ser. Dernæst, tænker jeg på hvordan jeg omsætter disse mønstre til et sprog. Vi må opfinde et sprog, hvis vi endnu ikke har det, og i matematik, er dette essentielt. Matematik handler også om, at antage, og at lege med disse antagelser og se hvad der sker. Det kommer vi snart til. Og endelig, drejer det sig om at gøre seje ting. Matematik gør os i stand til at gøre så mange ting.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
Så lad os se på disse mønstre. Hvis du ønsker at binde en slipseknude, er der mønstre. Slipseknuder har navne. Og vi kan også bruge matematik på slipseknuder. Dette er en venstre-ud, højre-ind, midt-ud og stram til. Dette er en venstre-ind, højre-ud, venstre-ind, midt-ud og stram til. Dette er et sprog vi har opfundet, for at beskrive slipseknude-mønstre, og en halv-Windsor er alt dette. Dette er en matematikbog om at binde snørebånd, på universitets niveau, fordi, der er mønstre i at binde snørebånd. Vi kan gøre det på så mange forskellige måder. Vi kan analysere det. Vi kan opfinde sprog kun til det.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.
Og der findes den slags eksempler over det hele i matematik. Dette er Leibnitz's notation fra 1675. Han opfandt et sprog for mønstre i naturen. Når vi kaster noget op i luften, falder det ned. Hvorfor? Vi er ikke sikre, men vi kan beskrive dette med matematik i mønstre.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
Dette er også et mønster. Dette er også et opfundet sprog. Kan I gætte for hvad? Det er faktisk et notations-system for dans, for stepdans. Dette gør det muligt for koreografen at gøre nogle seje ting, at gøre nye ting, fordi han har opfundet en beskrivelse for det.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
Prøv at tænke over, hvor fantastisk det at kunne beskrive noget egentlig er. Her står der "matematik". Men faktisk, er det bare prikker. Ikke? Så hvordan i alverden kan disse prikker rent faktisk repræsentere dette ord? Jamen, det gør de. De repræsenterer ordet: "matematik", og disse symboler repræsenterer også det ord, og dette kan vi høre. Det lyder sådan her:
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
(bippelyde)
(Beeps)
På forunderlig vis, repræsenterer disse lyde ordet og konceptet bag ordet. Hvordan sker dette? Der er noget forbløffende ved at kunne beskrive ting.
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
Jeg vil gerne snakke om, den magiske ting der opstår når vi rent faktisk beskriver noget. Her ser du bare linjer med forskellig afstand. De står for numre i en bestemt bog. Og jeg kan faktisk anbefale denne bog, det er en god bog.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
(latter)
(Laughter)
Bare stol på mig.
Just trust me.
Ok, så lad os lave et eksperiment, bare for at lege med nogle lige linjer. Det er en lige linje. Lad os lave en ny. Så hver gang vi bevæger den, bevæger vi den en ned og en på tværs, så vi tegner en ny, lige linje, ikke sandt? Dette gør vi igen og igen, og leder efter mønstre. Dette mønster opstår, og det er et ret pænt mønster. Det ligner en kurve, ikke sandt? Det opstår blot fra at tegne simple, lige linjer.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
Nu kan jeg ændre mit perspektiv en smule. Jeg kan rotere det. Se lige den kurve. Hvad ligner det? Er det en del af en cirkel? Det er faktisk ikke en del af en cirkel. Så jeg må fortsætte mit detektivarbejde, og lede efter et korrekt mønster. Måske hvis jeg kopierer det, og laver noget kunst? Nå. Ikke alligevel. Måske skulle jeg udvide linjerne på denne måde, og lede efter mønstret dér. Lad os tegne flere linjer. Vi gør sådan. Lad os således zoome ud, og ændre vort perspektiv igen. Så kan vi faktisk se, at hvad der startede som lige linjer faktisk er en kurve der hedder en parabel. Dette er repræsenteret ved en simpel ligning, og det er et smukt mønster.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
Så, dette er det arbejde vi gør. Vi finder mønstre, og så beskriver vi dem. Jeg synes at dette er en god almen definition. Men i dag vil jeg grave lidt dybere ned, og tænke på hvad dette arbejde egentlig er. Hvad gør det muligt? Der er en ting som graver et spadestik dybere ned, og det har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Og min påstand er, at når du ændrer perspektiv, og hvis du indtager et andet synspunkt, så lærer du noget nyt, om det du ser på, betragter eller lytter til. Jeg tror det er en umådeligt vigtig ting, som vi gør hele tiden.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
Så lad os se på denne simple ligning, x + x = 2 • x. Det er et meget fint mønster, og det er sandt, fordi 5 + 5 = 2 • 5, og så videre. Vi har set dette igen og igen - og vi beskriver det sådan her. Men tænk på dette: Dette er en ligning. Den siger at noget er lig med noget andet, og det er to forskellige perspektiver. Ét perspektiv er, at det er en sum. Det er noget du adderer. På den anden side er det en multiplikation, og det er to forskellige perspektiver. Jeg vil gå så langt som at sige, at hver eneste ligning er sådan her; hver eneste matematiske ligning hvor du bruger dette lighedstegn, faktisk er en metafor. Det er en analogi imellem to ting. Du betragter blot noget, og indtager to forskellige syn på det, og dette beskriver du så i et sprog.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Se denne ligning. Det er én af de smukkeste ligninger. Ligningen siger blot, at to ting er lig med -1. På venstre side er den -1, og det er den anden også. Dette er, synes jeg, én af de essentielle dele af matematik-- du indtager to forskellige synspunkter.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
Så, lad os lege lidt. Vi tager et nummer. Vi kender fire tredjedele. Vi ved hvad fire tredjedele er. Det er 1.333..., men vi skal have de sidste tre prikker med, ellers er det faktisk ikke præcist fire tredjedele. Men, dette er kun i 10-talssystemet. I ved, at vort nummersystem kun bruger 10 cifre. Hvis vi ændrer på dét, og kun anvender 2 cifre, kaldes det det binære talsystem, som skrives sådan: Så nu taler vi om dette nummer. Tallet er tre fire tredjedele. Vi kan skrive det sådan her: Og vi kan ændre basen, altså antallet af cifre, så kan vi skrive det anderledes.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
Så, disse tal er alle beskrivelser af det samme nummer. Vi kan endda skrive det helt simpelt, som 1.3 eller 1.6. Det afhænger alt sammen af, hvor mange cifre du har til rådighed. Eller vi kan simplificere det, og skrive det således: Jeg kan godt lide denne, fordi den siger fire delt med tre. Dette nummer udtrykker en relation mellem to numre. På den ene side har du fire, og på den anden har du tre. Du kan visualisere dette på mange måder. Det jeg gør nu, er at anskue dette nummer fra forskellige perspektiver. Jeg leger med det. Jeg leger med vores anskuelse af noget, og det gør jeg med vilje. Lad os tage dette gitter. Hvis det er fire på tværs og tre op, så er denne linje altid lig fem. Det er nødt til at være sådan. Dette er et smukt mønster. Fire og tre og fem. Denne rektangel, som er 4 x 3, har I set masser af gange. Dette er en gennemsnitlig computer skærm. 800 x 600 eller 1,600 x 1,200 er et TV eller en computer skærm.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
Dette er alle gode beskrivelser. Men jeg vil godt gå lidt længere, og lege mere med dette nummer. Her ser du to cirkler. Jeg roterer dem lige sådan her: Se på den øverste til venstre. Den bevæger sig lidt hurtigere, ikke? Det kan I se. Den går faktisk præcist fire tredjedele så hurtigt som den anden. Det betyder at når dén når rundt fire gange, når den anden rundt tre gange. Nu laver vi to linjer, og tegner en prik der hvor linjerne mødes. Så danser denne prik rundt.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
[Latter]
(Laughter)
Denne prik kommer fra det nummer. Ikke? Nu bør vi spore den. Lad os spore den og se hvad der sker. Dette er, hvad matematik i virkeligheden drejer sig om. Det drejer sig om, at se hvad der sker. Dette opstår ud fra fire tredjedele. Jeg kan lide at sige, at dette er billedet på fire tredjedele. Det er meget federe -- [Begejstret hujen]
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
Tak!
Thank you!
[Publikum klapper] Dette er ikke noget nyt. Dette har vi vidst i lang tid, men...
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
[Latter]
(Laughter)
Men dette er fire tredjedele.
But this is four-thirds.
Lad os lave et andet eksperiment. Lad os nu tage denne lyd. [Bip]
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
Dette er et perfekt A, 440 Hz. Lad os multiplicere det med to. Så får vi denne lyd. [Nyt bip]
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
Når vi spiller dem samtidig, så lyder det sådan her: [Nyt bip] Det er en oktav, ikke? Vi kan sagtens spille dette spil. Vi kan afspille en lyd, spille det samme A. Så kan vi multiplicere det med tre halve.
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
[Nyt bip]
(Beep)
Dette er hvad vi kalder et perfekt femte.
This is what we call a perfect fifth.
[Nyt bip]
(Beep)
De lyder ret godt sammen. Lad os multiplicere denne lyd med fire tredjedele. [Nyt bip]
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
Hvad sker der? Du får denne lyd. [Nyt bip]
What happens? You get this sound. (Beep)
Dette, er en perfekt fjerde. Hvis den første er et A, så er denne et D. De lyder sådan her sammen. [Nyt bip]
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
Dette er lyden af fire trejdedele. Det jeg gør lige nu, er at ændre mit perspektiv. Jeg ser blot et nummer fra et andet perspektiv.
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
Jeg kan endda gøre dette med rytmer, ikke? Jeg kan tage en rytme, og spille tre beats på samme tid [Tromme rytme]
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
i et afgrænset tidsrum, og så kan jeg spille en anden lyd, fire gange i det samme tidsrum.
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
[Anden rytme]
(Clanking sounds)
Lyder lidt kedeligt, men prøv at lytte til dem sammen.
Sounds kind of boring, but listen to them together.
[Tromme rytme og Anden rytme spiller sammen, arytmisk]
(Drumbeats and clanking sounds)
[Latter i salen]
(Laughter)
Hey! Såeh.
Hey! So.
[Latter i salen]
(Laughter)
Jeg kan endda lave en lille bækken lyd.
I can even make a little hi-hat.
[Trommerytme og bækken]
(Drumbeats and cymbals)
Kan I høre dette? Dette er så lyden af fire tredjedele. Og igen; dette som en rytme.
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
[Trommerytme og kobjælde]
(Drumbeats and cowbell)
Dette kan jeg blive ved med at gøre, og lege med dette nummer. Fire tredjedele er et virkeligt fedt nummer. Jeg elsker fire tredjedele!
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
[Latter]
(Laughter)
Det er i sandhed, et undervurderet nummer. Hvis vi tager en sfære, og ser på massefylden af denne sfære, så er det faktisk en fire tredjedel af en bestemt cylinder. Så fire tredjedele er i sfæren. Det er sfærens masse.
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
Ok, så hvorfor gør jeg alt dette? Jeg prøver jo at snakke om, hvad det betyder at forstå noget, og hvad vi mener, når vi siger vi forstår noget. Det er mit mål her. Min påstand er, at du forstår noget hvis du har evnen til at se det fra forskellige perspektiver. Lad os kigge på dette bogstav. Det er et smukt R, ikke? Hvordan véd du det? Jamen, du har jo allerede set en bunke R'er, og har ud fra dem generaliseret og har udtrukket alle disse forskellige former, og har fundet et mønster. Så du véd dette er et R.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
Så det jeg sigter efter her, er at sige noget om, hvordan forståelse og dét at ændre sit perspektiv er knyttet sammen. Jeg er lærer, og foredragsholder, og kan faktisk bruge dette til at undervise i noget. for når jeg giver andre en ny historie, en metafor, en analogi, hvis jeg fortæller en historie, fra et andet perspektiv, så faciliterer jeg forståelse. Jeg gør forståelse mulig, fordi du er nødt til at generalisere alt hvad du ser og hører, og hvis jeg forærer dig et andet perspektiv, bliver det nemmere for dig.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
Lad os tage endnu et simpelt eksempel. Dette er fire og tre. Dette er fire triangler. Så, dette er også fire tredjedele på en måde. Lad os sætte dem sammen. Nu skal vi lege en leg; hvor vi folder denne sammen til en tredimensionel struktur. Jeg elsker det her. Dette er en firkantet pyramide. Lad os tage to af disse, og sætte dem sammen. Dette hedder en oktaeder. Den er en af de fem platoniske legemer. Nu kan vi bogstaveligt talt ændre vort perspektiv, fordi vi kan rotere den rundt om alle sine akser og se den fra forskellige perspektiver. Jeg kan ændre aksen, og så kan jeg se den fra et andet synspunkt, det er den samme ting, men ser en smule anderledes ud. Jeg kan endda gøre det en gang mere.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
Hver gang jeg gør dette, opstår noget andet så jeg lærer rent faktisk noget mere om objektet når jeg ændrer mit perspektiv. Jeg kan bruge dette som et redskab til at skabe forståelse. Jeg kan tage to af disse og sætte dem sammen, sådan her og se hvad der sker. Den ligner en smule den oktaeder vi så. Se den, når jeg snurrer den rundt sådan her. Hvad sker der? Hvis du tager to af disse figurer, sætter dem sammen og snurrer dem rundt, så har du din oktaeder igen, en smuk struktur. Hvis du lægger den fladt ud på gulvet, så er dette oktaederen. Dette er den grafiske struktur af en oktaeder. Og sådan kan jeg blive ved. Du kan tegne store cirkler omkring oktaederen, og du kan snurre rundt, så hele tre, store cirkler er nu i forbindelse med oktaederen. Hvis jeg tager en cykelpumpe og puster denne op, så kan du se, at denne struktur også minder en smule om oktaederen. Kan I se hvad jeg gør her? Jeg ændrer perspektivet hver gang.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
Så lad os tage et skridt tilbage -- det er jo faktisk en metafor, at tage et skridt tilbage -- og se på hvad vi egentlig laver. Nu leger jeg med metaforer. Jeg leger med perspektiver og analogier. Jeg fortæller den samme historie på forskellige måder. Jeg fortæller historier. Jeg kreerer et narrativ; jeg skaber faktisk flere narrativer. Jeg tror at alle disse metoder, er med til at gøre forståelse mulig. Jeg tror faktisk det er essensen i, at forstå noget. Jeg tror virkelig på, det er sådan det fungerer.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
Så det med at ændre sit perspektiv, er absolut fundamentalt for mennesker. Lad os lege lidt med Jordkloden. Lad os zoome ind på havet, se på havet. Dette er muligt med alting. Vi kan se på havet, helt tæt på. Vi kan se på bølgerne. Vi kan gå på stranden. Vi kan betragte havet fra et alternativt perspektiv. Hver gang vi gør dét, lærer vi en smule mere om havet. Hvis vi går ud til kysten, kan vi faktisk dufte havet. Ikke? Vi kan høre bølgernes brusen. Vi kan smage salt på tungen. Alle disse oplevelser, er forskellige perspektiver. Og dette er den bedste; vi kan gå i vandet. Vi kan se vandet indefra. Ved I hvad? Dette er absolut essentielt for matematisk forskning og IT-videnskab. Hvis du kan se en struktur indefra, kan du virkelig lære dig noget om den. Det er, på en måde, essensen af noget.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
Så vi gør dette, og vi har taget denne rejse, ud i havet. vi bruger vores fantasi. Jeg tror dette er et niveau dybere, og er faktisk en nødvendighed for at kunne ændre på sit perspektiv. Lad os lave en lille leg. Forestil dig, at du sidder dér. Du an forestille dig, at du er heroppe, og at du sidder her. Du kan se dig selv udefra. Det er virkelig mærkeligt. Du ændrer dit perspektiv. Du bruger din fantasi. Ser dig selv udefra. Det kræver fantasi.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
Matematik og IT-videnskab er de mest kreative kunstarter der nogensinde har eksisteret. Det her med at skifte perspektiver; burde lyde genkendeligt for jer, for vi gør det hver eneste dag. Det hedder empati. Når jeg ser verden, fra dit perspektiv, så har jeg empati for dig. Hvis jeg virkelig, i sandhed forstår hvordan verden ser ud fra dit perspektiv. så er jeg empatisk. Det kræver fantasi. Og det er sådan vi opnår forståelse. Dette går igen i hele matematikkens verden, og i al IT og computer videnskab, der er en virkelig dyb forbindelse mellem empati og disse videnskaber.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
Så min konklusion er følgende: At forstå noget, særligt dybt har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Så mit råd til her er følgende: Prøv at ændre dit perspektiv. Du kan studere matematik. Det er en vidunderlig måde at træne din hjerne på. At ændre perspektiv gør dit sind mere fleksibelt. Gør dig mere åben overfor nye ting, gør dig i stand til at forstå ting. For nu at bruge endnu en metafor: hav et sind som vandet. Det er lækkert.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
Tak.
Thank you.
[Bifald]
(Applause)