مرحباً. أود التحدث إليكم عن عملية الفهم وطبيعة الفهم، وعن ماهية جوهر الفهم، لأن الفهم أمر نهدف إليه، جميعنا. إذ أننا نود فهم الأمور. ادعائي هو أنَّ الفهم أمر له علاقة بقدرتنا على تغيير منظورنا. إن كنتم لا تمتلكونها، فليست لديكم الكمية الكافية من الفهم. لذا فهذا ادعائي.
Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.
وأريد أن أركز على الرياضيات، العديد منا يعتقد أن الرياضيات هي عبارة عن الجمع والطرح والضرب والقسمة الكسور والنسب المئوية والمفاهيم الجيومترية وعلم الجبر ... كل هذه الأشياء. ولكن في الحقيقة، أريد أن أتكلم عن جوهر الرياضيات وطرحي هنا هو أن الرياضيات مرتبطة بالأنماط.
And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.
خلفي، ترون نمطًا رائعًا، وهذا النمط ينتج عن رسم الدوائر وحسب بطريقة محددة. لذا تعريفي للرياضيات اليومية التي أستخدمها هو التالي: بدايةً، إنها حول إيجاد الأنماط. وأعني ب"الأنماط" اتصالات، وهيكلًا وبعض التناسق، بعض القواعد التي تضمن تشكيل ما نراه. ثانياً، أعتقد أنها حول تمثيل هذه الأنماط بواسطة لغة. سنصنع لغةً إن لم نمتلكها، وفي الرياضيات، هذا أمر أساسي. إنها أيضاً حول صنع الافتراضات واللعب بهذه الافتراضات لنرى ماذا يحدث. سنقوم بفعل ذلك قريباً جداً. وفي النهاية، إنها حول القيام بأعمال رائعة. الرياضيات تمكِّننا من القيام بالكثير من الأشياء.
Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.
لذا دعونا نلقي نظرة على هذه الأنماط. إذا أردت أن تعقد ربطة العنق، فهناك أنماط. عقدات ربطة العنق لديها أسماء. ويمكن أيضاً أن تستخدم الرياضيات لعقد ربطة العنق. هذا هو الشمال خارجاً، اليمين داخلاً، المركز خارجاً واربط هذا هو الشمال داخلاً، اليمين خارجاً، اليسار خارجاً، المركز خارجاً واربط. هذه هي اللغة التي ابتكرناها لأنماط عقد ربطة العنق، وهذه هي عقدة نصف وندسور. هذا كتاب رياضيات حول عقد رباط الحذاء في المستوى الجامعي، لأن هناك العديد من الأنماط في رباط الحذاء. يمكن أن تقوم بها بالعديد من الطرق.
So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways.
يمكننا تحليلها. يمكننا أن نختلق لغة خاصة لها.
We can analyze it. We can make up languages for it.
وتمثيلها يتم بالكامل بواسطة الرياضيات. هذا هو رمز لايبنتز من عام 1675. لقد اخترع لغة للأنماط في الطبيعة. عندما نرمي شيئًا في الهواء، سيسقط نحو الأرض. لماذا؟ نحن لسنا متأكدين، لكن يمكننا أن نمثل ذلك بواسطة الرياضيات في نمط.
And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.
وهذا أيضاً نمط. وهذه أيضاً لغة مخترَعة. هل يمكن أن تحزروا لماذا؟ إنها في الحقيقة نظام رموز للرقص، للرقص النقري. وهذا ما يمكِّن مصمم الرقص من عمل أشياء رائعة، من عمل أشياء جديدة، لأنه قام بتمثيلها.
This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.
أريد أن تفكروا حول روعة تمثيل شيء ما. هنا تأتي الكلمة "رياضيات". ولكن في الحقيقة، إنها نقط وحسب، صحيح؟ لذا كيف يمكن لهذه النقط أن تمثل الكلمة؟ حسناً، إنها تمثلها. إنها تمثل الكلمة "رياضيات"، وهذه الرموز تمثل هذه الكلمة وهذا ما يمكننا سماعه. إنها تبدو هكذا.
I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.
(بيب)
(Beeps)
بشكل ما، يمكن لهذا الصوت أن يمثل الكلمة والمبدأ. كيف يتم ذلك؟ هناك شيء رائع حول تمثيل الأشياء.
Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.
لذا أود التحدث عن السحر الذي يحدث عندما نمثل شيئاً. هنا نرى مجرد خطوط مختلفة في العرض. إنها تحل محل الأعداد في كتاب محدد. ويمكنني أن أنصحكم بهذا الكتاب، إنه كتاب رائع جداً.
So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.
(ضحك)
(Laughter)
فقط ثقوا بي.
Just trust me.
حسناً، لذا دعونا نقوم بتجربة، فقط لنعبث ببعض الخطوط المستقيمة، هذا خط مستقيم. دعونا ننشئ واحدًا آخر. لذا فكل مرة نتحرك فيها، نتحرك مرة للأسفل ومرة للجانب، ونرسم خطاً مستقيماً جديداً، صحيح؟ نقوم بهذا مراراً وتكراراً، ونبحث عن الأنماط. لذا هذا النمط ينتج، وهذا نمط رائع. إنه يبدو مثل منحنى، صحيح؟ فقط عبر رسم خطوط مستقيمة وبسيطة.
OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.
الآن أستطيع أن أغير منظوري قليلاً. أستطيع أن أديرها. ألقوا نظرة على المنحنى. كيف يبدو؟ هل هو جزء من دائرة؟ إنه في الحقيقة ليس جزءًا من دائرة. لذا يجب أن أكمل تحقيقي وأبحث عن حقيقة النمط. ربما إذا نسخته وصنعت لوحة فنية؟ حسناً، لا. ربما يجب أن أُمدِّد الخطوط هكذا، وأبحث عن النمط هناك. دعونا ننشئ المزيد من الخطوط. قمنا بهذا. ونصغِّر الصورة حتى نغير منظورنا مجدداً. ومن ثم يمكننا أن نرى أن ما بدأناه كخطوط مستقيمة وحسب هو في الحقيقة شكل منحنى يدعى القطع المكافئ. والذي يمكن أن يتم تمثيله بواسطة معادلة بسيطة، وهو نمط رائع.
Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.
لذا فهذه الأشياء التي نقوم بها. نجد الأنماط ونقوم بتمثيلها. وأعتقد أن هذا تعريف يومي رائع. لكن اليوم أود أن أذهب أعمق قليلاً، وأفكر في طبيعة هذا. ما الذي يجعله ممكنًا؟ هناك شيء واحد أعمق بقليل، والذي يتعلق بالقدرة على تغيير منظوركم. وأفترض أنك عندما تغير منظورك، وإذا أخذنا وجهة نظر أخرى، فستتعلم شيئاً جديداً حول ما تشاهده أو تنظر إليه أو تسمعه. وأعتقد أن هذا أمر في غاية الأهمية وأمر نقوم به طوال الوقت.
So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.
لذا دعونا ننظر إلى هذه المعادلة البسيطة، x+x=2*x إنه نمط رائع للغاية وهذا صحيح، لأن 5+5=2*5 ، وهكذا. نرى ذلك مراراً تكراراً ونمثل ذلك كالآتي. ولكن فكروا في ذلك: هذه معادلة. إنها تقول أن شيئًا مساوٍ لشيء آخر، وهذا يمثل منظورين مختلفين. أحد المنظورين هو، أنها عملية جمع. إنها جمع شيئين مع بعضهما. من ناحية أخرى، إنها عملية ضرب، وهذان منظوران مختلفان. وأريد أن أذهب أبعد وأقول أن كل معادلة هي بهذا الشكل، كل معادلة رياضية تستخدم إشارة المساواة ما هي إلا استعارة مجازية. ما هو إلا مماثلة لطرفين. أنت تعرض شيئاً من وجهتي نظر مختلفتين. وتعبر عن ذلك باللغة.
So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
ألقوا نظرة على هذه المعادلة. إنها واحدة من أجمل المعادلات. إنها تقول ببساطة، حسناً، أن شيئين، يساوي كلاهما 1-. هذا الشيء على الجانب الأيسر يساوي 1- ونفس الشيء على الجانب الآخر. وهذا، كما أعتقد واحد من الأجزاء الرئيسية للرياضيات... إنك تأخذ وجهات نظر مختلفة.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.
لذا دعونا نلعب معاً. دعونا نأخذ عدداً. نحن نعلم ما هي أربعة أثلاث. نحن نعلم ما تمثله. إنها 1.333 ولكننا يجب أن نحصل على هذه النقاط الثلاث، وإلا لن تكون أربعة أثلاث كاملة. ولكن هذا فقط في الأساس 10. أنتم تعلمون، نظام العد، نحن نستخدم النظام العشري. إن غيرنا ذلك واستخدمنا رقمين فقط، فإن ذلك يدعى بالنظام الثنائي. وهو يكتب هكذا. لذا نحن الآن نتحدث عن العدد. والعدد هو أربعة أثلاث. يمكن كتابته هكذا، ويمكننا بتغيير الأساس، تغيير عدد الأرقام ويمكننا كتابته بشكل مختلف.
So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.
لذا هذه كلها تمثيلات للعدد نفسه. ويمكن حتى أن نكتبه بشكل أبسط مثل 1.3 أو 1.6. هذا يعتمد على عدد الأرقام لديك. أو ربما يمكننا تبسيطه وكتابته على هذه الصورة. أحب هذه بالتحديد، لأنها تقول أربعة مقسومة على ثلاثة. وهذا العدد يمثل علاقة بين عددين. لدينا أربعة على هذا الجانب وثلاثة على الجانب الآخر. ويمكننا تصور ذلك بالعديد من الطرق. ما أفعله الآن هو أني أستعرض لكم ذلك الرقم من وجهات مختلفة. إني أعبث وحسب. ألعب بكيفية عرض شيء معين. وأنا أفعل ذلك عن عمد. يمكننا أخذ شبكة. إذا كانت أربعة مربعات جانبية وثلاثة علوية، فهذا الخط يساوي خمسة دائماً. يجب أن تبدو هكذا. إنه نمط جميل. أربعة وثلاثة وخمسة. وهذا المستطيل، الذي مساحته 4x3 أنتم ترونه في كثير من الوقت. إنه معدل مساحة شاشة حاسوبكم. 800x600 أو 1600x1200 إنها شاشة تلفاز أو شاشة حاسوب.
So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.
لذا هذه كلها تمثيلات رائعة، ولكن أرغب أن أذهب أبعد قليلاً وألعب أكثر بهذا العدد. هنا نرى دائرتين، أريد أن أديرهما هكذا. راقب تلك التي في أعلى اليسار. إنها تتحرك بشكل أسرع قليلاً، أليس كذلك؟ يمكنكم رؤية ذلك. إنها فعلياً تتحرك أسرع بأربعة أثلاث. وهذا يعني أنها عندما تدور أربع مرات، فإن الأخرى تدور ثلاث مرات. الآن دعونا ننشئ خطين ونرسم هذه النقطة عند التقاء الخطين. سنحصل على هذه النقطة ترقص حولها.
So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.
(ضحك)
(Laughter)
وهذه النقطة ناتجة عن هذا العدد. صحيح؟ الآن يجب علينا أن نرسمها. دعونا نرسمها ونرى ماذا يحدث. هذا ما تدور حوله الرياضيات. إنها تدور حول رؤية ما سيحدث. وهذا ما نتج عن الأربعة أثلاث. أحب أن أقول أن هذه هي صورة الأربعة أثلاث. إنها أجمل بكثير... (هتاف)
And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)
شكراً لكم!
Thank you!
(تصفيق) إنه أمر ليس بجديد. إنه معروف منذ وقت طويل، لكن...
(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --
(ضحك)
(Laughter)
ولكن هذه هي الأربعة أثلاث.
But this is four-thirds.
دعونا نقوم تجربة أخرى. دعونا نأخذ الآن صوتاً، هذا الصوت: (بيب)
Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)
هذا هو حرف (أ) مثالي، 440 هيرتز. دعونا نضربه باثنين. نحصل على هذا الصوت. (بيب)
This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)
عند تشغيلهم معاً، يبدو الصوت هكذا. هذه هي الطبقة الصوتية الثامنة، صحيح؟ يمكننا لعب هذه اللعبة. يمكننا تشغيل صوت، شغل نفس صوت (أ). يمكننا ضربه بثلاثة أنصاف.
When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.
(بيب)
(Beep)
هذا ما ندعوه بالخمس المثالي.
This is what we call a perfect fifth.
(بيب)
(Beep)
إن صوتها جميل معاً. دعونا نضرب هذا الصوت بأربعة أثلاث. (بيب)
They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)
ماذا حدث؟ لقد حصلنا على هذا الصوت (بيب)
What happens? You get this sound. (Beep)
إنه ربع مثالي. إن كان الصوت الأول (أ) فإن هذا الصوت هو (ث). يبدو صوتها معاً هكذا (بيب)
This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)
إنه صوت الأربعة أثلاث. ما أفعله الآن هو أنني أغير منظوري. إني أعرض العدد من منظور آخر.
This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.
يمكنني حتى فعل ذلك باستخدام إيقاع، صحيح؟ يمكنني أخذ صوت إيقاعي وعزف ثلاث ضربات مرة واحدة (أصوات قرع الطبول)
I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
في مدة زمنية محددة، ويمكنني عزف صوت آخر أربع مرات في نفس المجال.
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.
(أصوات قعقعة)
(Clanking sounds)
تبدو أصواتًا مملة ولكن استمع إليها معاً.
Sounds kind of boring, but listen to them together.
(أصوات قرع الطبول وأصوات قعقعة)
(Drumbeats and clanking sounds)
(ضحك)
(Laughter)
ها! لذا.
Hey! So.
(ضحك)
(Laughter)
ويمكنني حتى أن أجعلها أجمل قليلاً.
I can even make a little hi-hat.
(أصوات قرع الطبول وقرع الصنج)
(Drumbeats and cymbals)
هل باستطاعتكم سماع هذا؟ لذا، هذا هو صوت الأربعة أثلاث. مجدداً، فهو هكذا كصوت إيقاعي.
Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.
(أصوات قرع الطبول وقرع الجرس)
(Drumbeats and cowbell)
وأستطيع أن أستمر بفعل ذلك وألعب بهذا العدد. إن العدد أربعة أثلاث هو عدد عظيم. أنا أحب عدد الأربعة أثلاث!
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!
(ضحك)
(Laughter)
بصدق... إنه عدد مستخَف به. لذا إذا نظرتم إلى كرة ونظرتم إلى حجم الكرة، إنه فعلياً يساوي أربعة أثلاث حجم أسطوانة معينة. لذا فإن الأربعة أثلاث موجود في الكرة. إنه حجم الكرة.
Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.
حسناً، لذا لم أقوم بكل هذا؟ حسناً، أريد أن أتحدث عن ماذا يعني أن تفهم شيئاً وماذا نقصد بفهم الأشياء. إنه هدفي هنا. وادعائي هنا هو أنك تفهم الشيء عندما تمتلك القدرة على عرضه من منظورات مختلفة. دعونا نلقي نظرة على هذا الحرف. إنه حرف الراء الجميل، صحيح؟ كيف علمتم ذلك؟ حسناً، في الحقيقة، لقد رأيتم حزمة كم حروف الراء، ولقد عممتم ولخصتم ذلك ووجدتم نمطاً. لذا فقد علمتم أن ذلك حرف راء.
OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.
لذا ما أهدف له هو أن أقول شيئاً حول كيف أن الفهم وتغيير منظورك مرتبطان. وأنا مدرس ومحاضر، وأستطيع أن أستخدم هذا لتعليم شيء، لأني عندما أعطي شخصًا آخرًا قصة مختلفة، استعارة، أو مشابهة، إذا رويت قصة من وجهة نظر مختلفة، فإني أمكِّنك من الفهم. أجعل الفهم ممكنًا، لأنك يجب أن تعمم فوق كل شيء تراه وتسمعه، وإذا أعطيتك منظورًا آخر فسيصبح أسهل لك.
So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.
دعونا نقوم بمثال آخر مجدداً. هذه هي أربعة وثلاثة. هذه هي أربعة مثلثات. لذا فهذه أيضاً أربعة أثلاث، بهذه الطريقة. دعونا نربطها معاً . الآن سوف نلعب معاً لعبة؛ سوف نقوم بطيِّها في مجسم ثلاثي الأبعاد. أحب هذا. هذا هرم رباعي. ودعونا نأخذ اثنين منها ونضعها معاً. لذا هذا ما يسمى بثماني الأوجه. إنه واحد من المجسمات الأفلاطونية الخمسة. الآن نحن نستطيع حرفياً أن نغير منظورنا، لأننا نستطيع أن نديره حول كل المحاور وأن نعرضه بمنظورات مختلفة. وأستطيع أن أغير المحاور، و أستطيع أن أعرضه من وجهة نظر مختلفة، لكنه نفس الشيء، ولكنه يبدو مختلفًا قليلًا. وأستطيع أن أفعلها مرة أخرى أيضًا.
Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.
في كل مرة أفعل ذلك، يظهر شيء آخر، لذا أنا فعلياً أتعلم أكثر حول الجسم عندما أغير منظوري. يمكن أن أستخدم هذا لخلق الفهم. أستطيع أن آخذ اثنين منها وأضعها معاً هكذا وأرى ما الذي يحدث. وهي تبدو أكثر مثل ثماني الأوجه. ألقوا نظرة عليه إذا أدرناه هكذا. ما الذي يحدث؟ حسناً، إذا أخذت اثنين منها ووصلتها معاً وأدرتها، إنه ثماني الأوجه مجدداً، مجسم رائع. إذا وضعته بشكل مستوٍ على الأرض، هذا هو ثماني الأوجه. هذا هو مجسم ثماني الأوجه. وأستطيع أن أستمر بفعل هذا. يمكن أن أرسم ثلاث دوائر كبيرة حول ثماني الأوجه، ويمكن أن تدور حوله، لذا هناك ثلاث دوائر عظيمة مرتبطة بثماني الأوجه. فإذا أخذنا مضخة دراجة ونفخناها، يمكنكم أن تروا أن هذا أيضاً يبدو كثماني أوجه. هل ترون ما الذي أفعله هنا؟ إني أغير منظوري كل مرة.
Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.
لذا دعونا نأخذ خطوة للخلف ... وهذه فعلياً استعارة، أخذ خطوة للخلف ... ونلقي نظرة على ما نفعله. أنا فقط ألعب بالمتناظرات. أنا أعبث بالمنظورات والمتجانسات. وأروي قصة واحدة بطرق مختلفة. أنا أروي قصصًا. وأبتكر روايات؛ أبتكر العديد من الروايات. وأنا أعتقد أن كل هذه الأشياء تجعل الفهم ممكنًا. أعتقد أن هذا هو جوهر فهم الأشياء. أؤمن بذلك بصدق.
So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.
لذا هذا الشيء حول تغيير منظورك... إنه أمر رئيسي للبشر. دعونا نلعب بالكرة الأرضية. دعونا نكبِّر الصورة إلى المحيط، ألقوا نظرة على المحيط. يمكننا فعل ذلك مع أي شيء. يمكننا أن نأخذ المحيط ونعرضه بشكل قريب. يمكن أن ننظر إلى الأمواج. يمكن أن نذهب إلى الشاطئ. يمكن أن نعرض المحيط من منظور مختلف. في كل وقت نفعل ذلك، نتعلم شيئاً آخر حول المحيط. إذا ذهبنا إلى الشاطئ، يمكننا أن نشم رائحة المحيط، صحيح؟ يمكن أن نسمع أصوات الأمواج. يمكن أن نشعر بالملح على ألسنتنا. لذا كل هذا حول منظور مختلف. وهذا هو أفضلها. يمكن أن نذهب داخل الماء. يمكن أن نرى الماء من الداخل. وهل تعلمون ماذا؟ هذا جوهري في الرياضيات وعلوم الحاسوب. إذا كنت قادرا على رؤية الجسم من الداخل، فيمكن أن تتعلم شيئاً عنه. وهذا بشكل ما جوهر الأشياء.
So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.
لذا عندما نفعل هذا، ونبدأ هذه الرحلة داخل المحيط، يمكن أن نستخدم مخيلتنا. وأعتقد أن هذا مستوى أعمق، وهو فعلياً من متطلبات تغيير منظورنا. يمكننا القيام بلعبة صغيرة. يمكن أن تتخيل أنك تجلس هناك. يمكن أن تتصور أنك هناك وأنت تجلس هنا. يمكن أن تعاين نفسك من الخارج. إن هذا لشيء مختلف. أنتم تغيرون منظوركم. أنتم تستخدمون مخيلتكم، وترون أنفسكم من الخارج. إنه يتطلب مخيلة.
So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.
الرياضيات وعلوم الحاسوب هي أقصى أشكال الفن التخيلي. وهذا الشيء حول تغيير منظوركم يجب أن يبدو مألوفًا لديكم، لأننا نقوم بذلك كل يوم. وهذا ما يدعى بالتعاطف. عندما أرى العالم من منظوركم، فأنا أتعاطف معكم. إذا كنت أفهم حقًّا كيف يبدو العالم من وجهة نظركم، فأنا متعاطف. هذا يتطلب مخيلة. وهذه هي كيفية حصولنا على الفهم. وهذا كله موجود في الرياضيات وهذا كله موجود في علم الحاسوب وهناك بحق اتصال عميق بين التعاطف وهذه العلوم.
Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.
لذا فإن استنتاجي هو التالي: إن فهم شيء بشكل عميق جداً مرتبط بالقدرة على تغيير منظورك. فنصيحتي لكم هي: جرِّبوا أن تغيروا منظوركم. يمكن أن تدرسوا الرياضيات. إنها طريقة رائعة لتدريب أدمغتكم. تغيير منظوركم يجعل أدمغتكم أكثر مرونة. هذا يجعلكم منفتحين على أشياء جديدة، وهذا يمكِّنكم من فهم الأشياء. ولاستخدام استعارة أخرى: امتلك عقلًا مثل الماء. هذا لطيف.
So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.
شكراً لكم. (تصفيق)
Thank you. (Applause)