Have you ever sat in a doctor's office for hours despite having an appointment at a specific time, has the hotel turned down your reservation because it's full? Or have you been bumped off a flight that you paid for? These are all symptoms of overbooking, a practice where businesses and institutions sell or book more than their full capacity. While often infuriating for the customer, overbooking happens because it increases profits while also letting businesses optimize their resources. They know that not everyone will show up to their appointments, reservations and flights, so they make more available than they actually have to offer. Airlines are the classical example, partially because it happens so often, about 50000 people get bumped off their flights each year. That figure comes at little surprise to the airlines themselves, which used statistics to determine exactly how many tickets to sell. It's a delicate operation, sell too few and they're wasting seats, sell too many and they pay penalties, money, free flights, hotel stays and annoyed customers. So here's a simplified version of how their calculations work. Airlines have collected years worth of information about who does and doesn't show up for certain flights. They know, for example, that on a particular route, the probability that each individual customer will show up on time is 90 percent. For the sake of simplicity, will assume that every customer is traveling individually rather than as families or groups, then if there are 180 seats on the plane and they sell 180 tickets, the most likely result is that 162 passengers will board. But of course, you could also end up with more passengers or fewer. The probability for each value is given by what's called a binomial distribution, which peaks at the most likely outcome. Now let's look at the revenue. The airline makes money from each ticket buyer and loses money for each person who gets bumped. Let's say a ticket costs 250 dollars and isn't exchangeable for a later flight and the cost of bumping a passenger is 800 dollars. These numbers are just for the sake of example. Actual amounts vary considerably. So here, if you don't sell any extra tickets, you make 45000 dollars. If you sell 15 extras and at least 15 people are no shows, you make forty eight thousand seven hundred fifty dollars. That's the best case. In the worst case, everyone shows up, 15 unlucky passengers get bumped and the revenue will only be thirty six thousand seven hundred fifty dollars, even less than if you only sold 180 tickets in the first place. But what matters isn't just how good or bad a scenario is financially, but how likely it is to happen. So how likely is each scenario? We can find out by using the binomial distribution in this example, the probability of exactly 195 passengers boarding is almost zero percent. The probability of exactly 184 passengers boarding is one point one one percent and so on. Multiply these probabilities by the revenue for each case, add them all up and subtract the sum from the earnings by 195 sold tickets and you get the expected revenue for selling 195 tickets. By repeating this calculation for various numbers of extra tickets, the airline can find the one likely to yield the highest revenue in this example. That's 198 tickets from which the airline will probably make forty eight thousand seven hundred seventy four dollars, almost 4000 more than without overbooking. And that's just for one flight. Multiply that by a million flights per airline per year. And overbooking adds up fast. Of course, the actual calculation is much more complicated airlines apply many factors to create even more accurate models, but should they? Some argue that overbooking is unethical. You're charging two people for the same resource. Of course, if you're 100 percent sure someone won't show up, it's fine to sell their seat. But what if you're only 95 percent sure, 75 percent. Is there a number that separates being unethical from being practical?
האם פעם ישבתם בהמתנה לרופא במשך שעות למרות שהיה לכם תור בשעה מסויימת? האם מלון דחה את ההזמנה שלכם בגלל שהוא מלא? או שהורדתם מטיסה ששילמתם עליה? כל אלה סימפטומים לרישום יתר, מנהג בו עסקים ומוסדות מוכרים או רושמים מעל לקיבולת המלאה שלהם. למרות שזה עלול להרתיח את הלקוח, רישום יתר מתרחש כי הוא מגדיל רווחים ומאפשר לעסקים למטב את המשאבים שלהם. הם יודעים שלא כולם יופיעו לתורים, להזמנות, ולטיסות שלהם, אז הם מציעים יותר ממה שבאמת יש להם להציע. חברות תעופה הן הדוגמה הקלאסית, בין השאר כי זה קורה שם כל כך הרבה. בערך 50,000 אנשים מורדים מהטיסות שלהם כל שנה. המספר הזה לא מפתיע את חברות התעופה, שמשתמשות בסטטיסטיקה כדי לקבוע בדיוק כמה כרטיסים למכור. זה מבצע עדין. ימכרו מעט מדי, והם יבזבזו כיסאות. ימכרו יותר מדי, והם ישלמו קנסות – כסף, טיסות חינם, לילות במלון, ולקוחות ממורמרים. אז הנה גרסה מפושטת לאיך עובדים החישובים שלהם. חברות תעופה אספו מידע של שנים בנוגע למי מגיע ומי לא לטיסות מסויימות. הם יודעים, לדוגמה, שבמסלול מסויים, ההסתברות שלקוח יגיע בזמן היא 90%. לצורך הפשטות, נניח שכל לקוח נוסע לבד, ולא במשפחה או קבוצה. אז אם יש 180 כיסאות על המטוס, והם ימכרו 180 כרטיסים, התוצאה הכי צפויה היא ש-162 נוסעים יעלו. אבל, כמובן, אפשר גם להגיע ליותר נוסעים, או פחות. ההסתברות לכל ערך ניתנת על ידי מה שנקרא פיזור בינומי, שמגיע לשיא בתוצאה הכי סבירה. עכשיו בואו נביט ברווחים. חברת התעופה מרוויחה מכל רוכש כרטיס ומפסידה כסף על כל אדם שמורד. בואו נגיד שכרטיס עולה $250 ולא ניתן להחליפו לטיסה מאוחרת יותר. והורדת נוסע עולה $800. המספרים האלה הם רק להדגמה. המספרים הממשיים משתנים מאוד. אז פה, אם אתם לא מוכרים כרטיסים עודפים בכלל, אתם מרוויחים $45,000. אם אתם מוכרים 15 כרטיסים נוספים ולפחות 15 אנשים לא מופעים, אתם מרוויחים $48,750. זה המקרה הכי טוב. במקרה הכי גרוע, כולם מופיעים. 15 נוסעים חסרי מזל מורדים, והרווח יהיה רק $36,750. אפילו פחות, אם מכרתם רק 180 כרטיסים מראש. אבל מה שמשנה זה לא רק כמה טובים או גרועים התרחישים כלכלית, אלא מה ההסתברות שהם יתרחשו. אז מה הסיכויים לכל תרחיש? אנחנו יכולים לגלות בעזרת התפזרות בינומית. בדוגמה הזו, ההסתברות שיעלו בדיוק 195 אנשים, היא כמעט 0%. ההסתברות שיעלו בדיוק 184 נוסעים היא 1.11%, וכך הלאה. הכפילו את ההסתברויות האלו ברווחים לכל מקרה, חברו את כולם, והפחיתו את הסכום מהרווחים מ-195 כרטיסים שנמכרו. ואתם מקבלים רווח צפוי למכירת 195 כרטיסים. על ידי חזרה על החישוב הזה למספרים שונים של כרטיסים נוספים, חברת התעופה יכולה למצוא את המספר עם הרווח הגבוה ביותר. בדוגמה הזו, זה 198 כרטיסים, מהם החברה תרוויח כנראה $48,774, כמעט 4,000 יותר מבלי כרטוס יתר. וזה רק עבור טיסה אחת. הכפילו את זה במליון טיסות לחברה לשנה, וכרטוס יתר מצטבר במהירות. כמובן, החישוב הממשי הרבה יותר מורכב. חברות תעופה מפעילות הרבה שיקולים כדי ליצור מודל אפילו יותר מדוייק. אבל האם הן צריכות לעשות זאת? כמה טוענים שכרטוס יתר הוא לא אתי. אתם מחייבים שני אנשים על אותו משאב. כמובן, אם אתם בטוחים ב-100% שמישהו לא יגיע, זה בסדר למכור את הכרטיס שלהם. אבל מה אם אתם בטוחים רק ב-95%? 75%? האם יש מספר שמפריד בין חוסר אתיות לפרקטיות?