Днес съм тук, както Джун каза, за да говоря за един проект, с който аз и близначката ми се занимаваме от три години и половина. Плетем коралов риф на една кука. Всъщност в този проект участват стотици хора от цял свят, с които го правим заедно. В действителност хиляди хора са обвързани с него по един или друг начин. Проектът вече е стъпил на три континента. Корените му са в областите на математиката, морската биология, женските занаяти и еко-активизма. Наистина е така. Освен това е проект, който по много красив начин с развитието си имитира еволюцията на живота на Земята, което ми е особено приятно да кажа точно тук през февруари 2009-а, когато, както един от предишните лектори ни каза, е 200-ата годишнина от рождението на Чарлз Дарвин.
I'm here today, as June said, to talk about a project that my twin sister and I have been doing for the past three and half years. We're crocheting a coral reef. And it's a project that we've actually been now joined by hundreds of people around the world, who are doing it with us. Indeed thousands of people have actually been involved in this project, in many of its different aspects. It's a project that now reaches across three continents, and its roots go into the fields of mathematics, marine biology, feminine handicraft and environmental activism. It's true. It's also a project that in a very beautiful way, the development of this has actually paralleled the evolution of life on earth, which is a particularly lovely thing to be saying right here in February 2009 -- which, as one of our previous speakers told us, is the 200th anniversary of the birth of Charles Darwin.
За всички тези неща ще говоря в следващите 18 минути, надявам се. Но нека започна, като ви покажа как изглежда това нещо на снимка. Просто за да ви дам идея за размера му, тази инсталация е дълга около 1,80 метра. Най-високите модели са около 60-90 сантиметра. Ето още малко снимки. Онзи вдясно е висок към метър и половина. Тази творба включва стотици различни модели на една кука. Всъщност вече има хиляди и хиляди модели, с които хора от целия свят са допринесли за този проект. В цялостта си проектът е погълнал десетки хиляди часове човешки труд, 99 процента извършен от жени. Частта от инсталацията, която виждате вдясно е дълга около три метра и половина.
All of this I'm going to get to in the next 18 minutes, I hope. But let me first begin by showing you some pictures of what this thing looks like. Just to give you an idea of scale, that installation there is about six feet across, and the tallest models are about two or three feet high. This is some more images of it. That one on the right is about five feet high. The work involves hundreds of different crochet models. And indeed there are now thousands and thousands of models that people have contributed all over the world as part of this. The totality of this project involves tens of thousands of hours of human labor -- 99 percent of it done by women. On the right hand side, that bit there is part of an installation that is about 12 feet long.
Със сестра ми започнахме този проект през 2005-а, защото през тази година, поне в научната преса, много се говореше за глобалното затопляне и ефекта му върху коралите. Коралите са много нежни същества. Всяко повишаване на температурата на водата ги унищожава. То предизвиква избелване, което е първият знак, че коралите са болни. И ако избелването не изчезне, ако температурите не се понижат, рифовете започват да умират. Това е много разпространено явление в Големия бариерен риф, и във всички коралови рифове по целия свят. Ето това е нашето изображение на избелял риф в плетка.
My sister and I started this project in 2005 because in that year, at least in the science press, there was a lot of talk about global warming, and the effect that global warming was having on coral reefs. Corals are very delicate organisms, and they are devastated by any rise in sea temperatures. It causes these vast bleaching events that are the first signs of corals of being sick. And if the bleaching doesn't go away -- if the temperatures don't go down -- reefs start to die. A great deal of this has been happening in the Great Barrier Reef, particularly in coral reefs all over the world. This is our invocation in crochet of a bleached reef.
Заедно създадохме организация, наречена "Институт за представяне", която е една малка организация, която започнахме, за да популяризираме, да правим проекти за естетическите и поетични измерения на науката и математиката. Аз сложих една обявка на нашата интернет страница, с която поканих хората да се включат в това начинание. За наша изненада сред първите, които се обадиха бяха тези от музея на Анди Уорхол. Казаха, че организират изложба за реакциите на хората на изкуството към глобалното затопляне и питаха дали искаме да участваме с кораловия риф. Аз се изсмях и им казах, че тъкмо сме го започнали и можем да участваме с едно малко парче. Така през 2007-ма вече имахме изложба, малка изложба на изплетения риф. Тогава се появиха едни хора от Чикаго и казаха: "В края на 2007-ма темата на "Фестивала на хуманитарните изкуства" в Чикаго ще бъде глобалното затопляне. Имаме една галерия към 300 квадратни метра и бихме искали да я запълните с вашия риф." И аз, все още наивна по въпроса, отговорих: "О, да. Разбира се." Казвам "наивна", защото всъщност по професия съм писател, специализирам в сферата на науката. Пиша книги за културната история на физиката. Писала съм за историята на космоса, историята на физиката и религията, пиша статии за вестници като Ню Йорк Таймс и Лос Анджелис Таймс. Така че нямах идея какво значи да запълниш 300 квадрата галерия. Така че казах да на това предложение. Отидох вкъщи и казах това на сестра ми Кристин. И тя почти изпадна в истерия, защото Кристин е професор в един от водещите колежи за изкуство в Лос Анджелис, "Калифорнийски институт по изкуствата", и тя знае точно какво значи да напълниш 300 квадрата галерийно пространство. Тя мислеше, че съм превъртяла. Но включи плетенето на турбо. Накратко, осем месеца по-късно наистина напълнихме галерията на Чикагския културен център.
We have a new organization together called The Institute for Figuring, which is a little organization we started to promote, to do projects about the aesthetic and poetic dimensions of science and mathematics. And I went and put a little announcement up on our site, asking for people to join us in this enterprise. To our surprise, one of the first people who called was the Andy Warhol Museum. And they said they were having an exhibition about artists' response to global warming, and they'd like our coral reef to be part of it. I laughed and said, "Well we've only just started it, you can have a little bit of it." So in 2007 we had an exhibition, a small exhibition of this crochet reef. And then some people in Chicago came along and they said, "In late 2007, the theme of the Chicago Humanities Festival is global warming. And we've got this 3,000 square-foot gallery and we want you to fill it with your reef." And I, naively by this stage, said, "Oh, yes, sure." Now I say "naively" because actually my profession is as a science writer. What I do is I write books about the cultural history of physics. I've written books about the history of space, the history of physics and religion, and I write articles for people like the New York Times and the L.A. Times. So I had no idea what it meant to fill a 3,000 square-foot gallery. So I said yes to this proposition. And I went home, and I told my sister Christine. And she nearly had a fit because Christine is a professor at one of L.A.'s major art colleges, CalArts, and she knew exactly what it meant to fill a 3,000 square-foot gallery. She thought I'd gone off my head. But she went into crochet overdrive. And to cut a long story short, eight months later we did fill the Chicago Cultural Center's 3,000 square foot gallery.
На този етап проектът вече се разпространяваше като вирус, беше извън нашите ръце. Хората в Чикаго решиха, че освен да излагат нашите рифове, искат на местно ниво да си направят техен риф. Така че отидохме и им преподадохме техниките. Направихме семинари и лекции. И хората в Чикаго си направиха техен риф. И той участва в изложбата до нашия. Участваха стотици хора. Поканиха ни да изнесем пълната програма и в Ню Йорк, и в Лондон, и в Лос Анджелис. Във всеки от тези градове местните граждани стотици и стотици хора, също оплетоха рифове. Все повече хора се занимават с това, а повечето дори няма да срещнем. Така че цялото нещо някак се превърна в едно живо и вечно еволюиращо същество, което вече е независимо от мен и Кристин.
By this stage the project had taken on a viral dimension of its own, which got completely beyond us. The people in Chicago decided that as well as exhibiting our reefs, what they wanted to do was have the local people there make a reef. So we went and taught the techniques. We did workshops and lectures. And the people in Chicago made a reef of their own. And it was exhibited alongside ours. There were hundreds of people involved in that. We got invited to do the whole thing in New York, and in London, and in Los Angeles. In each of these cities, the local citizens, hundreds and hundreds of them, have made a reef. And more and more people get involved in this, most of whom we've never met. So the whole thing has sort of morphed into this organic, ever-evolving creature, that's actually gone way beyond Christine and I.
Някои от вас си седят и си мислят: "На коя планета са тези хора? Как им е хрумнало да плетат риф? Вълната и водата не са точно свързани идеи. Защо не го изсекат от мрамор? Или не го отлеят от бронз?" Но се оказва, че има много добра причина да го плетем на една кука, защото много същества от кораловите рифове имат една специална структура. Тези къдрави форми като кринолин, които виждате в коралите, в кафявите водорасли, в сюнгерите, в морските голи охлюви, е вид геометрия, известна като хиперболична геометрия. И единственият начин, известен на математиците за моделиране на тази форма, е крошето. Невероятно, но факт. Почти невъзможно е да се направи модел по друг начин. И е почти невъзможно да се направи на компютър. И каква е тази хиперболична геометрия, която коралите и морските плужеци олицетворяват?
Now some of you are sitting here thinking, "What planet are these people on? Why on earth are you crocheting a reef? Woolenness and wetness aren't exactly two concepts that go together. Why not chisel a coral reef out of marble? Cast it in bronze." But it turns out there is a very good reason why we are crocheting it because many organisms in coral reefs have a very particular kind of structure. The frilly crenulated forms that you see in corals, and kelps, and sponges and nudibranchs, is a form of geometry known as hyperbolic geometry. And the only way that mathematicians know how to model this structure is with crochet. It happens to be a fact. It's almost impossible to model this structure any other way, and it's almost impossible to do it on computers. So what is this hyperbolic geometry that corals and sea slugs embody?
В следващите няколко минути всички ние ще се издигнем до нивото на морски плужек. (Смях в залата) Този вид геометрия революционизира математиката, когато за първи път е открита през 19-и век. Но до 1997-ма математиците не можели да разберат как да направят модел. През 1997-ма един математик в Корнел, Дайна Таймина, открива, че тази форма всъщност може да се постигне чрез плетене на една или две куки. Първо опитала на две. Само че така скоро се събират прекалено много бримки на иглата. Така че бързо разбрала, че крошето е по-добрият вариант. Това, което направила било модел на математическа стуктура, който много математици мислели, че е невъзможно да се направи. Всъщност смятали, че каквито и да е подобия на тази структура били буквално невъзможни. Някои от най-добрите математици прекарали стотици години, опитвайки се да докажат, че тази структура е невъзможна.
The next few minutes is, we're all going to get raised up to the level of a sea slug. (Laughter) This sort of geometry revolutionized mathematics when it was first discovered in the 19th century. But not until 1997 did mathematicians actually understand how they could model it. In 1997 a mathematician at Cornell, Daina Taimina, made the discovery that this structure could actually be done in knitting and crochet. The first one she did was knitting. But you get too many stitches on the needle. So she quickly realized crochet was the better thing. But what she was doing was actually making a model of a mathematical structure, that many mathematicians had thought it was actually impossible to model. And indeed they thought that anything like this structure was impossible per se. Some of the best mathematicians spent hundreds of years trying to prove that this structure was impossible.
Е, каква е тази невъзможна хиберболична структура? Преди хиперболичната геометрия, математиците знаели за два вида пространство, Евклидово пространство и сферично пространство. Тези пространства имат различни свойства. Математиците обичат да описват нещата като ги формализират. Всички имате идея какво е плоско, Евклидово пространство. Но математиците го формализират по особен начин. Това, което правят е, дефинират го чрез успоредни линии. Ето тук имаме линия и точка извън линията. Евклид казал: "Как да дефинирам успоредни линии? Задавам въпроса колко линии мога да прокарам през тази точка без да пресекат първата линия?" Всички знаете отговора. Някой иска ли да го извика? Една. Правилно. Добре. Това е определението за успоредна линия. Всъщност това е определение, което важи в Евклидово пространство.
So what is this impossible hyperbolic structure? Before hyperbolic geometry, mathematicians knew about two kinds of space: Euclidean space, and spherical space. And they have different properties. Mathematicians like to characterize things by being formalist. You all have a sense of what a flat space is, Euclidean space is. But mathematicians formalize this in a particular way. And what they do is, they do it through the concept of parallel lines. So here we have a line and a point outside the line. And Euclid said, "How can I define parallel lines? I ask the question, how many lines can I draw through the point but never meet the original line?" And you all know the answer. Does someone want to shout it out? One. Great. Okay. That's our definition of a parallel line. It's a definition really of Euclidean space.
Но има и друга възможност, за която всички знаете -- сферата. Помислете за повърхността на сфера -- като плажна топка, или земната повърхност. Имам права линия на моята сфера. Имам и точка извън линията. Колко прави линии мога да прокарам през точката, без да пресека първата? Какво имаме предвид като говорим за права линия на крива повърхност? Математиците са отговорили на този въпрос. Те са разбрали, че има обобщено понятие за правост. Нарича се геодезическа линия. И на повърхността на сфера, правата линия е възможно най-големият кръг, който можете да нарисувате. Като екватора или меридианите. И така задавам отново въпроса, "Колко прави линии мога да прокарам през точката без да пресека първата линия?" Някой иска ли да познае? Нула. Много добре.
But there is another possibility that you all know of: spherical space. Think of the surface of a sphere -- just like a beach ball, the surface of the Earth. I have a straight line on my spherical surface. And I have a point outside the line. How many straight lines can I draw through the point but never meet the original line? What do we mean to talk about a straight line on a curved surface? Now mathematicians have answered that question. They've understood there is a generalized concept of straightness, it's called a geodesic. And on the surface of a sphere, a straight line is the biggest possible circle you can draw. So it's like the equator or the lines of longitude. So we ask the question again, "How many straight lines can I draw through the point, but never meet the original line?" Does someone want to guess? Zero. Very good.
Така математиците мислели, че са изчерпали всички възможности. Малко е подозрително, нали? Засега въпросът има два отговора. Нула и едно. Два отговора? Може пък да има и трета алтернатива За математиците, ако има два отговора, и те са нула и едно, има още една стойност, която веднага се подразбира, като трети вариант. Някой иска ли да я познае? Безкрайност. Всички познахте. Точно така. Има трета възможност. И тя изглежда така. Има права линия и безброй други линии, които минават през точката, но никога не пресичат първата линия. Това е чертежът. Това почти подлудило математиците, защото, също като вас, те седели и се чувствали баламосани. Мислели, как е възможно това? Ти ме будалкаш. Тези линии са криви. Това е така само защото ги проектирам върху плоска повърхност. Стотици години математиците наистина се мъчели с тази идея. Как биха могли да го видят? Как точно би изглеждал физически модел на тази повърхност?
Now mathematicians thought that was the only alternative. It's a bit suspicious isn't it? There is two answers to the question so far, Zero and one. Two answers? There may possibly be a third alternative. To a mathematician if there are two answers, and the first two are zero and one, there is another number that immediately suggests itself as the third alternative. Does anyone want to guess what it is? Infinity. You all got it right. Exactly. There is, there's a third alternative. This is what it looks like. There's a straight line, and there is an infinite number of lines that go through the point and never meet the original line. This is the drawing. This nearly drove mathematicians bonkers because, like you, they're sitting there feeling bamboozled. Thinking, how can that be? You're cheating. The lines are curved. But that's only because I'm projecting it onto a flat surface. Mathematicians for several hundred years had to really struggle with this. How could they see this? What did it mean to actually have a physical model that looked like this?
Малко е като, представете си, че досега сте виждали само Евклидово пространство. Идват математиците и казват: "Има едно нещо, наричаме го сфера и линиите се съединяват на северния и южния полюс." Но вие не знаете как изглежда една сфера. И някой идва и казва: "Виж, това е топка." И вие си казвате: "О! Сега разбирам. Мога да я почувствам. Да я докосна. Да поиграя с нея." Точно това се случило, когато Дайна Таймина доказала през 1997-ма, че могат да се плетат модели в хиперболичното пространство. Ето я същата диаграма под формата на кроше. Избродирала съм Евклидовия постулат отгоре. Линиите изглеждат криви. Но вижте, мога да ви докажа, че са прави, защото мога да хвана, която и да е от тях и да сгъна плетката по продължението й. Това е права линия. Така че ето, от вълна, чрез домашно женско изкуство, доказателството, че най-прочутият постулат в математиката е грешен. (Ръкопляскане)
It's a bit like this: imagine that we'd only ever encountered Euclidean space. Then our mathematicians come along and said, "There's this thing called a sphere, and the lines come together at the north and south pole." But you don't know what a sphere looks like. And someone that comes along and says, "Look here's a ball." And you go, "Ah! I can see it. I can feel it. I can touch it. I can play with it." And that's exactly what happened when Daina Taimina in 1997, showed that you could crochet models in hyperbolic space. Here is this diagram in crochetness. I've stitched Euclid's parallel postulate on to the surface. And the lines look curved. But look, I can prove to you that they're straight because I can take any one of these lines, and I can fold along it. And it's a straight line. So here, in wool, through a domestic feminine art, is the proof that the most famous postulate in mathematics is wrong. (Applause)
Върху тези повърхности могат да се избродират всякакви математически теореми. Откритието на хиперболичното пространство довело до развитието на нов дял в математиката, наречен неевклидова геометрия. Това е клонът на математиката зад общата теория на относителността и от който се очаква в крайна сметка да ни разкрие формата на Вселената. Така че имаме пряка връзка между женския ръчен труд, Евклид и теорията на относителността.
And you can stitch all sorts of mathematical theorems onto these surfaces. The discovery of hyperbolic space ushered in the field of mathematics that is called non-Euclidean geometry. And this is actually the field of mathematics that underlies general relativity and is actually ultimately going to show us about the shape of the universe. So there is this direct line between feminine handicraft, Euclid and general relativity.
Така, споменах, че математиците са смятали това за невъзможно. Ето две създания, които никога не са чували за Евклидовата аксиома на успоредните прави -- и не са знаели, че е невъзможно да я нарушат, затова просто си живеят живота. Правят го от стотици милиони ходини. Веднъж питах математиците защо са смятали, че тази структура е невъзможна, щом морските охлюви се възползват от нея от Силурския период на Палеозоя. Отговорът им беше интересен. Казаха: "Ами, предполагам, че не са толкова много математиците, които седят и наблюдават морски охлюви." И това е истина. Но има още. Този пример казва много за това, което математиците са възприемали като математика. Какво са мислели, че математиката може или не може. Какво са мислели, че тя може или не може да опише. Дори математиците, които в някои отношения са най-освободените мислители буквално не могли да видят не само морските охлюви около себе си, но и марулята в чинията си, защото марулите и всички други къдрави зеленчуци също са примери за хиперболична геометрия. В някои отношения те буквално -- те имали толкова символична представа за математиката -- че не могли да видят какво се случва върху марулята пред тях. Оказва се, че природата е пълна с хиперболични чудеса.
Now, I said that mathematicians thought that this was impossible. Here's two creatures who've never heard of Euclid's parallel postulate -- didn't know it was impossible to violate, and they're simply getting on with it. They've been doing it for hundreds of millions of years. I once asked the mathematicians why it was that mathematicians thought this structure was impossible when sea slugs have been doing it since the Silurian age. Their answer was interesting. They said, "Well I guess there aren't that many mathematicians sitting around looking at sea slugs." And that's true. But it also goes deeper than that. It also says a whole lot of things about what mathematicians thought mathematics was, what they thought it could and couldn't do, what they thought it could and couldn't represent. Even mathematicians, who in some sense are the freest of all thinkers, literally couldn't see not only the sea slugs around them, but the lettuce on their plate -- because lettuces, and all those curly vegetables, they also are embodiments of hyperbolic geometry. And so in some sense they literally, they had such a symbolic view of mathematics, they couldn't actually see what was going on on the lettuce in front of them. It turns out that the natural world is full of hyperbolic wonders.
Също така сме открили, че съществува безкрайна класификация на плетени на една кука хиперболични същества. В началото Криси, аз и другите участници правехме прости математически издържани модели. Но открихме, че когато се отклонявахме от строгия математически код, който лежи в основата, този прост алгоритъм, изплете три бримки, добави една. Когато се отклонявахме от това и разкрасявахме кода, моделите веднага започнаха да изглеждат по-естествени. И всички участници в проекта, които са удивителна група хора от целия свят, го разкрасяват по свой начин. Все едно имаме едно вечно еволюиращо класификационно дърво на живота, изплетен на една кука. Точно както морфологията и разнообразието на живота на земята нямат край, разкрасяването и усложняването на ДНК кода, водят до нови неща като жирафите и орхидеите. По същият начин малките детайли в кроше кода водят до нови и чудни създания в еволюционното дърво на живота, изплетен на една кука. Така че този проект наистина води едно собствено органично съществуване. Имаме сбора от всички хора, които се занимават с него. Тяхното въображение и тяхното взаимодействие с този математически метод.
And so, too, we've discovered that there is an infinite taxonomy of crochet hyperbolic creatures. We started out, Chrissy and I and our contributors, doing the simple mathematically perfect models. But we found that when we deviated from the specific setness of the mathematical code that underlies it -- the simple algorithm crochet three, increase one -- when we deviated from that and made embellishments to the code, the models immediately started to look more natural. And all of our contributors, who are an amazing collection of people around the world, do their own embellishments. As it were, we have this ever-evolving, crochet taxonomic tree of life. Just as the morphology and the complexity of life on earth is never ending, little embellishments and complexifications in the DNA code lead to new things like giraffes, or orchids -- so too, do little embellishments in the crochet code lead to new and wondrous creatures in the evolutionary tree of crochet life. So this project really has taken on this inner organic life of its own. There is the totality of all the people who have come to it. And their individual visions, and their engagement with this mathematical mode.
Имаме много технологии. Използваме ги. Но защо? Какво значение има това? Защо е важно? За мен и Криси важното е, че тези неща подсказват колко ценно е въплътеното познание. Живеем в общество, което има склонност да придава излишна важност на символичните начини за представяне -- алгебрични символи, уравнения, кодове. Живеем в общество, завладяно от този начин за представяне на информацията, и преподаването й. Но чрез тази модалност, чрез кроше и други пластични начини за изобразяване, хората могат да бъдат ангажирани от най-абстрактните, най-могъщите теоретични идеи -- идеите, за които по принцип трябва да отидеш в университет и да учиш висша математика, както и аз първоначално научих за хиперболичното пространство. Но можеш да го направиш и чрез игра с предмети. Това е една от гледните ни точки, това което се опитваме да направим с "Института за представяне", и с проекти като този, опитваме се да направим детска градина за възрастни.
We have these technologies. We use them. But why? What's at stake here? What does it matter? For Chrissy and I, one of the things that's important here is that these things suggest the importance and value of embodied knowledge. We live in a society that completely tends to valorize symbolic forms of representation -- algebraic representations, equations, codes. We live in a society that's obsessed with presenting information in this way, teaching information in this way. But through this sort of modality, crochet, other plastic forms of play -- people can be engaged with the most abstract, high-powered, theoretical ideas, the kinds of ideas that normally you have to go to university departments to study in higher mathematics, which is where I first learned about hyperbolic space. But you can do it through playing with material objects. One of the ways that we've come to think about this is that what we're trying to do with the Institute for Figuring and projects like this, we're trying to have kindergarten for grown-ups.
Детската градина всъщност е била много формализирана образователна система, създадена от Фридрих Фрьобел, един кристалограф от 19-и век. Той вярвал, че кристалът е модел за всякакви видове символи. Той развил радикална алтернативна система, която ангажирала вниманието на най-малките деца с най-абстрактните идеи чрез специални играчки. Той самият заслужава да му бъде посветена цяла лекция. Важността на образованието е нещо, което Фрьобел защитил чрез пластични форми на игра.
And kindergarten was actually a very formalized system of education, established by a man named Friedrich Froebel, who was a crystallographer in the 19th century. He believed that the crystal was the model for all kinds of representation. He developed a radical alternative system of engaging the smallest children with the most abstract ideas through physical forms of play. And he is worthy of an entire talk on his own right. The value of education is something that Froebel championed, through plastic modes of play.
Сега живеем в общество, в което имаме много експертни групи, където големите мозъци се събират и мислят за света. Те пишат едни страхотни символични трактати, наречени книги или доклади, или анализи. Искаме да предложим, аз и Криси, чрез "Института за представяне", алтернативен начин да се постигне това, което е с групи за игра. Групата за игра, както експертната група, е място, където хората могат да отидат и да мислят за велики идеи. Но това, което ние искаме да предложим е, че най-високото ниво на абстракция неща като математика, изчисления, логика, и т.н. -- с тези неща може да се борави не само чрез чисто интелектуални, алгебрични, символични методи, но и буквално, чрез физическа игра с идеите. Много ви благодаря. (Ръкопляскане)
We live in a society now where we have lots of think tanks, where great minds go to think about the world. They write these great symbolic treatises called books, and papers, and op-ed articles. We want to propose, Chrissy and I, through The Institute for Figuring, another alternative way of doing things, which is the play tank. And the play tank, like the think tank, is a place where people can go and engage with great ideas. But what we want to propose, is that the highest levels of abstraction, things like mathematics, computing, logic, etc. -- all of this can be engaged with, not just through purely cerebral algebraic symbolic methods, but by literally, physically playing with ideas. Thank you very much. (Applause)