On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Vào ngày 30/05/1832, một phát súng hiệu lệnh vang lên khắp quận 13 tại Pháp. (Tiếng súng) Một người nông dân đang đi bộ ra chợ vào sáng đó, đã chạy về hướng có tiếng súng, và phát hiện một chàng thanh niên đang nằm quằn quại đau đớn dưới đất, rõ ràng bị bắn bởi một cuộc đọ súng đẫm máu. Chàng trai trẻ đó tên là Evariste Galois. Ông được bết đến như một nhà cách mạng tại Pháp lúc bấy giờ. Galois được mang đến bệnh viện nơi mà hôm sau ông đã chết trong vòng tay của anh trai mình. Lời cuối cùng ông nói với anh trai mình là, "Đừng khóc cho em, Alfred. Em cần tất cả sự can đảm để có thể chết ở tuổi 20."
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
Thực tế không phải các chính sách cách mạng làm Galois nổi tiếng. Mà vài năm trước đó, khi vẫn còn ngồi trên ghế nhà trường, ông ấy đã phá được một trong những vấn đề toán học lớn nhất lúc bấy giờ. Và ông đã viết thư cho viện hàn lâm tại Paris, cố gắng để giải thích học thuyết của mình. Nhưng viện hàn lâm không thể hiểu bất cứ thứ gì ông viết. ( Tiếng cười ) Đây là cách ông ấy viết hầu hết các bài toán của mình.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Vì vậy, vào đêm trước cuộc đọ súng diễn ra, ông nhận ra đây có thể là cơ hội cuối cùng để cố gắng và giải thích phát minh vĩ đại của mình. Vì thế ông đã thức cả đêm, viết liên tục, cố gắng giải thích ý tưởng của mình. Khi bình minh lên, ông đi gặp vận mệnh của mình, và bỏ lại một chồng giấy trên bàn cho thế hệ tiếp theo. Có lẽ việc thức cả đêm để làm toán đã khiến ông ấy bắn rất tệ sáng hôm đó và chết.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Nhưng chứa đựng bên trong đống tài liệu đó là một thứ ngôn ngữ mới, một loại ngôn ngữ để hiểu một trong những khái niệm căn bản nhất của khoa học -- đó là sự đối xứng. Bây giờ, đối xứng gần như là ngôn ngữ của tự nhiên. Nó giúp chúng ta hiểu được rất nhiều mảng khác nhau của thế giới khoa học. Ví dụ như, cấu trúc phân tử. Những loại tinh thể nào có tính khả thi, ta có thể hiểu thông qua toán học đối xứng.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
Trong vi trùng học bạn sẽ thật sự không muốn có một chủ thể đối xứng, bởi vì nhìn chung chúng khá là kinh khủng. Loại virus cúm A-H1N1, hiện tại là một chủ thể đối xứng và nó sử dụng khả năng đối xứng để có thể tự nhân đôi rất tốt. Nhưng xét về mặt sinh học, sự đối xứng thật sự rất quan trọng, bởi vì nó cho biết thông tin di truyền học.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Tôi đã lấy hai tấm ảnh này và tự tạo ra sự đối xứng. Và nếu tôi hỏi bạn rằng bạn thấy hình nào đẹp hơn, có lẽ bạn sẽ chọn hai hình bên dưới. Bởi vì thật khó để tạo sự đối xứng. Nếu bạn có thể tự làm chính mình cân đối, bạn đang gửi đi một thông điệp rằng bạn có gien tốt, bạn được giáo dục tốt và vì thế bạn sẽ là người bạn đời tốt. Vậy sự đối xứng là một thứ ngôn ngữ có thể truyền đạt thông tin di truyền.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Sự đối xứng cũng có thể giúp chúng ta giải thích điều gì đang xảy ra trong máy gia tốc hạt lớn của CERN. Hoặc điều gì không xảy ra trong đó. Để có thể đưa ra các dự đoán về hạt cơ bản chúng ta có thể thấy ở đó, có vẻ như chúng là các mặt của dạng đối xứng kì lạ nào đó trong một không gian theo chiều cao hơn.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Và tôi nghĩ Galileo đã tóm tắt lại một cách rất tốt, sức mạnh của toán học để hiểu về thế giới khoa học xung quanh chúng ta. Ông viết, "Vũ trụ sẽ không thể được hiểu cho đến khi chúng ta học được ngôn ngữ của nó và trở nên thân thuộc với các đặc tính vốn có của nó. Nó được viết bằng ngôn ngữ toán học, và những chữ cái là các hình tam giác, hình tròn và những dạng hình học khác, thiếu những thứ đó thì ta sẽ không thể lĩnh hội ngôn ngữ của vũ trụ."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Nhưng không chỉ có các nhà khoa học quan tâm đến sự đối xứng. Các nhà nghệ thuật cũng thích chơi đùa với sự đối xứng. Họ cũng có một mối liên hệ rất mơ hồ với nó. Thomas Mann có nói về sự đối xứng trong tác phẩm "Ngọn núi ma thuật". Ông có một nhân vật miêu tả bông hoa tuyết, và anh ta nói rằng anh ta đã rùng mình trước sự hoàn hảo của nó, đạt tới độ chết chóc, tận cốt lõi của cái chết"
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Nhưng những gì các nghệ sỹ muốn làm là đặt sự kì vọng lên sự đối xứng rồi sau đó phá vỡ chúng. Và một ví dụ đẹp đẽ về điều này mà tôi thật sự nhận ra khi đến thăm một người đồng nghiệp ở Nhật Bản, giáo sư Kurokawa. Ông ấy đã dẫn tôi đến những ngôi đền ở Nikko. Và sau khi tấm ảnh này được chụp, chúng tôi đi lên cầu thang. Và cái cổng vào bạn thấy phía sau chúng tôi có tới tám cái cột với những thiết kế đối xứng tuyệt vời. Bảy trong số đó giống hệt nhau, và cái thứ tám bị lộn ngược xuống.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Tôi đã nói với giáo sư Kurokawa "Wow, các kiến trúc sư chắc phải đã tự đá vào chính mình khi nhận ra rằng họ phạm một sai lầm vì để một cái cột lộn ngược xuống" Ông ấy nói "không, không, không. Nó được cố ý làm như vậy" rồi nói cho tôi nghe một câu trích dẫn rất hay của người Nhật trong cuốn "Các bài luận tản mạn" từ thế kỷ thứ 14, các nhà tiểu luận viết rằng, "Trong tất cả mọi thứ, sự không đồng bộ là điều không được hoan nghênh. Bỏ lại vài thứ chưa hoàn thành sẽ làm cho nó thú vị hơn, và cho ta cảm giác rằng có chỗ cho sự phát triển" Thậm chí khi xây dựng cung điện, họ luôn bỏ lại một chỗ nào đó không hoàn thiện.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Nhưng nếu tôi phải chọn một công trình trên thế giới để bị đuổi ra một hòn đảo hoang mạc và sống suốt phần đời còn lại, là một người đam mê sự đối xứng, có lẽ tôi sẽ chọn Lâu Đài Alhambra ở Granada. Đây là một cung điện tôn vinh sự đối xứng mà gần đây tôi dẫn gia đình mình tới Tụi tôi đi đúng kiểu một chuyến tham quan toán học buồn chán mà tôi rất thích. Đây là con trai tôi Tamer. Thằng bé thật sự rất thích chuyến du lịch toán học của chúng tôi tại Alhambra. Nhưng tôi cố làm phong phú hiểu biết của nó. Tôi nghĩ một trong những vấn đề của toán học ở trường là nó không nhìn theo cách mà toán học được ghi nhận trong cái thế giới mà chúng ta đang sống. Vì thế tôi muốn mở mang tầm mắt thằng bé về việc sự đối xứng đã chi phối cả điện Alhambar bao nhiêu.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Bạn thấy đó. Ngay khi bạn đi vào, sự đối xứng phản chiếu từ nước. Nhưng các bức tường mới là chỗ những thứ thú vị xuất hiện. Những họa sĩ Ma-rốc đã bị phủ nhận tính khả thi về việc vẽ những thứ có hồn. Vì thế họ khám phá thêm về nghệ thuật hình học. Vậy sự đối xứng là gì? Điện Alhambra bằng cách nào đó đã hỏi tất cả những câu hỏi đó. Sự đối xứng là gì? Khi có hai trong số các bức tường, chúng có cùng đối xứng không? Chúng ta có thể nói rằng liệu họ đã khám phá tất cả sự đối xứng ở Alhambra chưa?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Ta có Galois - người đã tạo ra một ngôn ngữ có thể trả lời một số các câu hỏi đó Với Galois, sự đối xứng -- không giống như Thomas Mann, là thứ gì đó ổn định và chết chóc-- với Galois, sự đối xứng bao gồm tất cả sự chuyển động. Bạn có thể làm gì với một vật đối xứng? Di chuyển nó theo nhiều hướng mà nó vẫn giống như trước khi bạn di chuyển nó? Tôi thích miêu tả nó như là một chuyển động ma thuật. Bạn có thể làm những gì? Bạn nhắm mắt lại. Tôi sẽ làm vài thứ, sau đó để nó lại chỗ cũ. Nó sẽ trông như lúc ban đầu.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Ví dụ như, các bức tường ở Alhambra -- tôi có thể lấy tất cả những lát gạch này, tập trung tại điểm màu vàng, xoay một góc 90 độ, đặt chúng tại vị trí cũ và chúng vẫn khớp nhau một cách hoàn hảo. Nếu bạn mở mắt ra, bạn sẽ không biết rằng chúng đã bị di chuyển. Sự chuyển động mới thật sự mô tả sự đối xứng bên trong điện Alhambra. Nhưng nó cũng liên quan tới việc tạo ra một loại ngôn ngữ để diễn tả điều này. Sức mạnh của toán học thường dẫn đến biến đổi thứ này thành một thứ khác, và biến hình học thành ngôn ngữ.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Tôi sẽ làm bạn hiểu hơn, có lẽ thúc đẩy một chút về mặt toán học- vậy hãy chuẩn bị tinh thần, thúc đẩy bản thân mình một chút để hiểu bản chất của ngôn ngữ này, để từ đó cho phép chúng ta nắm bắt được sự đối xứng là gì. Vậy hãy lấy hai vật đối xứng ở đây. Lấy sáu điểm xoắn của con sao biển. Làm sao để con sao biển trông y như cũ? Tôi sẽ xoay nó 1/6 vòng xoay, và nó vẫn y như lúc tôi mới bắt đầu. Tôi có thể xoay nó 1/3 vòng, hoặc nửa vòng xoay, hoặc đặt nó lại hình dạng của mình, hoặc hai phần ba vòng. và cách thứ năm, tôi có thể xoay nó 5/6 vòng. Đó là những thứ mà tôi có thể làm đối với những hình đối xứng để nó trông như lúc đầu.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Nhưng với Galois, có sáu cách làm vật đối xứng. Ai có thể nghĩ tôi làm được gì khác để nó vẫn như ban đầu không? Tôi không thể lật ngược nó bởi vì tôi đã thay đổi nó một chút, đúng chứ? Nó không có hình đối xứng phản chiếu lại. Nhưng điều tôi có thể làm là để yên nó ở vị trí cũ, nhấc nó lên và đặt nó xuống. Galois cho rằng điều này cũng như sự đối xứng 0. Thật ra, việc phát minh ra số 0 là một khái niệm rất hiện đại vào thế kỉ thứ bảy sau công nguyên bởi người Ấn Độ. Nó có vẻ rất điên rồ khi nói đến thứ không tồn tại. Điều có cùng ý kiến với nó chính là sự đối xứng, mọi thứ đều có sự đối xứng, vì bạn chỉ cần để nó đúng vị trí ban đầu.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Vậy, hình này có sáu điểm đối xứng. Nhưng còn hình tam giác thì sao? Tôi có thể xoay 1/3 vòng theo chiều kim đồng hồ hoặc 1/3 vòng ngược chiều kim đồng hồ. Nhưng giờ nó có vài điểm đối xứng phản chiếu. Tôi có thể đối xứng nó theo đường thẳng qua X, hoặc đường thẳng qua Y, hoặc đường thẳng qua Z. Năm cách đối xứng và sau đó dĩ nhiên là đối xứng 0 ngay chỗ mà tôi nhấc nó lên rồi để lại vị trí cũ. Vậy cả hai hình điều có sáu đối xứng. Bây giờ, tôi là một tín đồ cho toán học không phải là một môn thể thao để xem, và bạn phải làm một vài ví dụ để thật sự hiểu nó.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Tôi có một câu hỏi nhỏ dành cho các bạn, và tôi sẽ tặng một phần quà vào cuối buổi nói chuyện này cho người có câu trả lời gần đúng nhất. Khối lập phương Rubik. Khối rubik có bao nhiêu cách đối xứng? Có bao nhiêu cách tôi có thể làm với nó để đặt nó xuống thì nó có vẫn là hình lập phương? Được chưa? Tôi muốn bạn suy nghĩ về vấn đề này trong lúc ta tiếp tục và đếm xem nó có bao nhiêu cách đối xứng. Sẽ có một phần quà dành cho người trả lời gần đúng nhất.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Nhưng hãy quay lại với sự đối xứng của hai hình trước đó. Điều mà Galois nhận ra là nó không chỉ là những đối xứng riêng lẻ, mà ở cách chúng tương tác lẫn nhau thật sự mô tả sự đối xứng của một vật. Nếu tôi thực hiện một chuyển động ma thuật rồi một chuyển động nữa, kết hợp chúng lại sẽ là một chuyển động ma thuật thứ ba. Và ở đây chúng ta thấy Galois bắt đầu phát triển một thứ ngôn ngữ để hiểu cốt lõi những thứ không thấy được, một loại ý tưởng trừu tượng về sự đối xứng trên cơ sở hình thể vật lý. Ví dụ, điều gì sẽ xảy ra nếu như tôi xoay con sao biển 1/6 vòng xoay, rồi sau đó là 1/3 vòng xoay?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Tôi cho chúng những cái tên, những kí tự hoa A, B, C, D, E, F, cũng là tên các điểm chuyển động. Ví dụ như B, xoay điểm màu vàng đến điểm B của sao biển, vân vân... Vậy nếu như tôi thực hiện chuyển động B, đi 1/6 vòng xoay, theo sau là C, nghĩa là xoay 1/3 vòng, thì điều gì sẽ xảy ra? Hãy làm thế. Xoay 1/6 vòng, rồi xoay 1/3 vòng, kết quả có được là nó giống như thể tôi đã xoay nó nửa vòng trong một lần xoay. Cái bảng nhỏ này ghi lại cách mà số học được sử dụng trong sự đối xứng. Tôi tiếp tục làm một cái khác. Câu trả lời là nó là cách xoay D: xoay 1/2 vòng. Nếu như tôi xoay theo kiểu khác thì có gì khác biệt không? Hãy xem nào. Hãy xoay 1/3 vòng trước, sau đó là 1/6 vòng xoay. Dĩ nhiên, nó không có gì khác biệt. Nó vẫn giữ nguyên ở 1/2 vòng.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Có vài sự đối xứng ở đây theo cách mà chúng tương tác lẫn nhau. Nhưng nó khác hoàn toàn với đối xứng của hình tam giác. Hãy xem điều gì xảy ra nếu tôi cùng thực hiện hai đối xứng với hình tam giác, một cái tiếp theo cái khác. cùng xoay luân phiên 1/3 vòng ngược chiều kim đồng hồ, và phản chiếu qua đường X. Kết quả thu được giống như thể tôi vừa phản chiếu nó qua đường Z ngay từ đầu. Bây giờ thử làm điều đó theo kiểu khác. Hãy làm với phản chiếu của X trước, sau đó xoay 1/3 vòng ngược kim đồng hồ. Kết quả ta có là một hình tam giác hoàn toàn khác so với ban đầu. Cứ như thể nó phản chiếu qua đường thẳng Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Giờ thì vấn đề là bạn làm theo trình tự nào và nó cho phép chúng ta phân biệt được tại sao các hình đó đều có sáu đối xứng. Vậy tại sao chúng ta không nên nói chúng có cùng các đối xứng? Nhưng cái cách mà sự đối xứng tương tác giúp chúng ta có thêm một loại ngôn ngữ để phân biệt tại sao những đối xứng này về cơ bản là khác nhau Bạn có thể thử nghiệm điều này khi bạn đi đến quán bar. lấy một miếng lót ly bia và xoay nó 1/4 vòng, lật nó lại. Tiếp tục làm theo cách ngược lại, bức hình sẽ ở hướng ngược lại.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois đã tạo ra một số nguyên tắc mô tả cách mà các đối xứng tương tác lẫn nhau. Nó gần giống như trò Sudoku. Bạn không thấy bất kỳ sự đối xứng nào hai lần ở bất kỳ hàng hay cột. Và, việc sử dụng những luật đó, ông ấy đã có thể nói rằng thực tế chỉ có hai hình với sáu cách đối xứng. và chúng sẽ giống nhau như đối xứng của hình tam giác, hoặc đối xứng của con sao biển sáu nhánh. Tôi nghĩ điều này là một sự phát triển tuyệt vời. Nó gần giống với khái niệm số học được phát triển cho sự đối xứng. Ngay phía trước tôi đây, tôi có một, hai, ba người ngồi trên một, hai, ba cái ghế. Người và ghế rất khác nhau, nhưng con số, khái niệm trừu tượng về nó là giống nhau.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Hãy quay lại với những bức tường ở Alhambra. Có hai bức tường rất khác nhau, những bức tranh hình học rất khác nhau. Nhưng, bằng cách sử dụng ngôn ngữ của Galois, ta có thể hiểu rằng sự tương tác đối xứng ẩn dưới nó thực ra là giống nhau. Ví dụ, hãy lấy bức tường tuyệt đẹp này có những hình tam giác với các cạnh lượn sóng. Bạn có thể xoay chúng 1/6 vòng Nếu bạn bạn bỏ qua màu của nó. Ta không kết hợp các màu lại. Nhưng các hình sẽ tương ứng nếu tôi xoay 1/6 vòng xung quanh điểm mà tất cả các hình tam giác nối nhau. Thế còn trung tâm của một hình tam giác thì sao? Tôi có thể xoay 1/3 vòng quanh trung tâm hình tam giác, và tất cả đều khớp với nhau. Và sau đó có một điểm thú vị ở nửa dọc theo bên lề, nơi tôi có thể xoay 180 độ. Và tất cả những lát gạch lại khớp nhau một lần nữa. Vì thế xoay chúng quanh điểm đó, chúng hoàn toàn khớp với nhau.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Giờ hãy chuyển đến bức tường trông rất lạ lẫm, khác biệt kia. Ta cũng tìm được sự đối xứng tương tự, sự tương tác tương tự. Đây là 1/6 vòng quay. 1/3 vòng quay là nơi các mảnh Z gặp nhau. 1/2 vòng là điểm gặp nhau của các ngôi sao sáu cánh. Mặc dù các bức tường này có vẻ rất khác nhau, Galois đã tạo ra một loại ngôn ngữ để nói rằng các đối xứng ẩn sâu trong đó là hoàn toàn giống nhau. Ta gọi nó là cách đối xứng 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Đây là một ví dụ khác ở Alhambra. Đây là một bức tường, trần nhà và sàn nhà. Chúng trông rất khác nhau. Nhưng, ngôn ngữ này cho phép ta nói rằng chúng là biểu tượng về các vật trừu tượng có cùng sự đối xứng, ta gọi nó là phép đối xứng 4-4-2. Dù không liên quan tới bóng đá, nhưng thực tế có hai điểm mà bạn có thể xoay 1/4 vòng, và 1/2 vòng
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Sức mạnh của thứ ngôn ngữ này còn lớn hơn nữa kìa, bởi Galois có thể nói, "Có phải các nghệ sĩ Ma rốc đã khám phá ra tất cả các khả năng đối xứng trên các bức tường trong Alhambra? Thực ra, họ đã suýt làm được điều đó. Bạn có thể chứng minh nó, bằng cách sử dụng ngôn ngữ của Galois, thực tế, chỉ có 17 phép đối xứng khác nhau mà bạn có thể thực hiện trên các bức tường của Alhambra. Nếu bạn cố tạo ra một bức tường khác với cách đối xứng thứ 18, thì nó cũng chỉ giống hệt cách đối xứng thứ 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Nhưng đây là thứ ta có thể nhận ra. Và sức mạnh ngôn ngữ toán học của Galois cũng cho phép ta tạo ra những vật đối xứng trong thế giới vô hình, vượt lên trên cả không gian hai chiều, ba chiều, tới không gian bốn hoặc năm hoặc vô hạn chiều. Đó là nơi tôi làm việc. Tôi tạo ra các vật hình học, các vật đối xứng, bằng cách sử dụng ngôn ngữ của Galois, và ở trong không gian đa chiều. Tôi nghĩ đó là ví dụ tuyệt vời về các vật vô hình, mà bằng sức mạnh của toán học, ta lại có thể tạo ra nó.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Giống như Galois, tôi đã thức trắng đêm qua để tạo ra một vậy đối xứng về mặt toán học cho các bạn, và tôi có mang hình của nó tới đây. Thực ra nó không hẳn là một bức hình. Nếu tôi có thể có tấm bảng của mình ở chỗ này, tốt lắm, tuyệt vời. Thật tiếc rằng tôi không thể cho bạn xem bức ảnh đó. Nhưng đây là ngôn ngữ có thể miêu tả cách mà các đối xứng tương tác nhau.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Vật đối xứng này chưa được đặt tên. Mọi người đều thích đặt tên cho mọi thứ, các miệng núi lửa trên mặt trăng, hay các loài động vật mới. Giờ tôi sẽ cho các bạn cơ hội đặt tên cho một vật đối xứng mới mà chưa được đặt tên Và các loài vật có thể chết dần, các mặt trăng có thể bị sao chổi đâm trúng và nổ tung, nhưng vật này sẽ tồn tại mãi mãi. Nó sẽ làm bạn bất tử. Để thắng được nó, bạn chỉ phải trả lời câu hỏi tôi đặt ra ở đầu buổi trò chuyện. Khối rubik có bao nhiêu cách đối xứng?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Tôi sẽ phân loại các bạn Thay vào việc đồng thời hét lên, tôi muốn bạn đếm xem có bao nhiêu chữ số trong số đó, được không? Nếu bạn có một thừa số, bạn phải làm tròn nó, nếu bạn muốn chơi, thì hãy đứng dậy, được chứ? Nếu bạn nghĩ rằng mình đã đếm được có bao nhiêu chữ số, được rồi -- ta đã có một đối thủ ở đây. Nếu tất cả các bạn ngồi xuống hết, thì anh ấy sẽ tự động thắng. Tốt rồi. Ta có bốn, năm, sáu. Tuyệt lắm. Ta có thể chơi được rồi.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Ai có năm hoặc ít hơn năm chữ số, bạn phải ngồi xuống, bởi vì bạn đã đếm thiếu. năm chữ số hoặc ít hơn. Nếu bạn ở trong số hàng chục ngàn thì bạn phải ngồi. Có 60 chữ số hoặc hơn, bạn cũng phải ngồi xuống Bạn đã đếm thừa quá rồi. 20 chữ số hoặc ít hơn, ngồi xuống. Bạn có bao nhiêu chữ số? Hai? Bạn nên ngồi xuống sớm hơn. (Tiếng cười) Hãy làm một lần nữa nhé, ai ngồi xuống ở khoảng 20, hãy đứng dậy lại lần nữa. Ok? Nếu tôi nói 20 hoặc ít hơn, bạn hãy đứng dậy. Bởi vì lần này. Tôi nghĩ rằng có một vài người ở đây. Những người ngồi xuống cuối cùng
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Được rồi, bạn có bao nhiêu chữ số trong số của mình? (Tiếng cười) 21. Tốt lắm. Còn bạn? 18. Giống người phụ nữ này. 21 là gần đúng nhất Các cách đối xứng của khối rubik có tổng là 25 chữ số. Tôi cần bạn đặt tên cho nó. Vậy, tên bạn là gì? Tôi cần họ của bạn. Các vật đối xứng thường được -- hãy đánh vần cho tôi G-H-E-Z Không, SO2 đã được sử dụng, trong ngôn ngữ toán học. Vì vậy bạn không dùng tên đó được Vậy, Ghez, đây là vật đối xứng mới của bạn Giờ bạn đã bất tử. (vỗ tay)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
Và nếu bạn thích nó, tôi có một dự án gây quỹ từ thiện ở Guatemala, nơi tôi sẽ thức cả đêm và thiết kế một vật cho bạn, để làm từ thiện cho quỹ này, giúp trẻ em được đến trường ở Guatemala. Tôi nghĩ rằng thứ thúc đẩy tôi, với tư cách là một nhà toán học, là những thứ mà chưa được khám phá. Những câu hỏi chưa có lời giải đáp chính là điều làm toán học sống động. Và tôi sẽ nói lại câu trích từ cuốn "Các bài luận tản mạn" của người Nhật: "Trong tất cả mọi thứ, sự không đồng bộ là điều không được hoan nghênh. Để lại thứ gì đó không hoàn chỉnh sẽ làm nó thú vị hơn, và cho ta cảm giác có chỗ cho sự phát triển." Cảm ơn các bạn. (vỗ tay)