On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
30-го травня 1832 року, було чутно постріл на цілий 13-ий округ в Парижі. (Вогнепальний постріл) Селянин, який йшов на ринок цього ранку побіг туди, звідки долинав звук пострілу, і знайшов юнака, що корчився в агонії на підлозі, очевидно, підстрелений на дуелі. Цього юнака звали Еварист Галуа. В той час він був добре відомим революціонером у Парижі. Галуа доставили в місцеву лікарню, де він помер на наступний день на руках у свого брата. І останні слова, які він сказав своєму брату, були: "Не плач за мною, Альфреде. Мені потрібна уся відвага, яку я можу зібрати, щоб померти у віці 20-ти років".
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
Насправді, не через революційні справи Галуа став відомим. Але декілька років раніше, коли ще навчався в школі, він фактично розв'язав одну з великих математичних проблем свого часу. І він написав академікам з Парижу, намагаючись пояснити свою теорію. Але академіки не змогли зрозуміти нічого з написаного. (Сміх) Ось, як він писав більшу частину своєї математики.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Тож, в ніч перед тою дуеллю він зрозумів що, можливо, це його останній шанс, щоб спробувати пояснити його великий прорив. Тож він не спав всю ніч, одержимий написанням, намагаючись пояснити свої ідеї. І на світанку, коли він пішов назустріч своїй долі, він залишив цю купу паперів на столі для наступних поколінь. Можливо, той факт, що він не спав всю ніч, займаючись математикою, пояснює те, що він був таким поганим дуелянтом того ранку, і був убитий.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Але в тих документах була нова мова, мова для розуміння одного з найбільш фундаментальних понять науки - а саме, симетрії. Отже, симетрія - це майже мова природи. Вона допомагає нам зрозуміти так багато різних шматочків наукового світу. Наприклад, молекулярну структуру. Які кристали можливі, ми можемо зрозуміти завдяки математиці симетрії.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
В мікробіології ви насправді не хочете мати справу з симетричними об'єктами. Тому що вони, як правило, досить неприємні. Вірус свинячого грипу, на даний момент, є симетричним об'єктом. І він використовує ефективність симетрії, щоб мати можливість поширювати себе так добре. Але в більш широкому масштабі біології, насправді, симетрія дуже важлива, оскільки вона безпосередньо передає генетичну інформацію.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Я взяв дві фотографії тут, і зробив їх штучно симетричними. І якщо я запитаю вас, які з них виглядають краще на вашу думку, ви, мабуть, виберете дві нижні. Тому що це важко зробити симетрію. І якщо ви можете зробити себе симетричними, ви посилаєте сигнал, що у вас гарні гени, ви добре росли, і тому ви будете хорошим партнером. Отож симетрія - це мова, яка може допомогти передавати генетичну інформацію.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Симетрія може також допомогти нам пояснити, що відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі. Або що не відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі. Мати можливість робити передбачення про елементарні частинки, які ми можемо побачити там, здається, вони всі є аспектами якоїсь дивної симетричної форми в високовимірному просторі.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
І я гадаю, що Галілей підсумував, дуже красиво, потужність математики, що дозволяє зрозуміти науковий світ навколо нас. Він написав: "Всесвіт не можна прочитати, поки ми не вивчили мову і не призвичаїлись до символів, якими він записаний. Він записаний на математичній мові. І букви - це трикутники, кола та інші геометричні фігури, без допомоги яких неможливо людям зрозуміти бодай єдине слово."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Але цікавляться симетрією не тільки вчені. Митці теж полюбляють бавитися із симетрією. Та вони мають дещо більш неоднозначні відносини з нею. Ось що Томас Манн говорить про симетрії в "Чарівній Горі". В нього є персонаж, який описує сніжинку. І той каже, що він "здригнувся від її бездоганної точності, що здавалася загрозливою, неначе таємниця самої сутності смерті".
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Але що художники люблять робити, це створювати очікування симетрії, а потім руйнувати їх. І прекрасний приклад цьому я знайшов, насправді, коли відвідав свого колегу в Японії, професора Курокаву. І він повів мене до храмів у Нікко. І якраз після цього знімку ми піднімалися сходами. І портик, який ви бачите позаду, має вісім колон, з красивими симетричним дизайном на них. Сім з них однаковісінькі, а восьма перевернута догори дригом.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
І я сказав професору Курокаві "Ого, архітектори, мабуть, кусали лікті, коли зрозуміли, що зробили помилку, і поставили це догори дригом." А він сказав: "Ні, ні, ні. Вони так зробили навмисне." І він процитував мені цю прекрасну цитату з японських "Нарисів з бездіяльності" 14-го століття. У якій, есеїст написав: "У всьому одноманітність небажана. Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим, і дає відчуття, що є можливості для зростання. Навіть при будівництві імператорського палацу, вони завжди залишають одне місце незавершеним".
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Але якби мені довелося обирати одну будівлю у світі, щоб бути вигнаним на безлюдний острів, щоб прожити в ній решту мого життя, оскільки я фанат симетрії, то обрав би Альгамбру в Гренаді. Це палац, присвячений симетрії. Нещодавно я взяв свою родину - ми здійснюємо такі поїздки для математичних фанатів, які полюбляє моя родина. Це мій син Теймер. Ви можете бачити, що він дійсно задоволений математичною поїздкою до Альгамбри. Але я хотів спробувати збагатити його. Я думаю, однією з проблем шкільної математики є те, що вона не розглядає, як математика вбудована у світ, в якому ми живемо. Отже, я захотів відкрити його очі на те, якою кількістю симетрії пронизано Альгамбру.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Це можна побачити відразу, тільки-но ви увійдете, дзеркальну симетрію у воді. Але стіни - ось де відбуваються найцікавіші речі. Мавританські художники були позбавлені можливості малювати одухотворені речі. Тож вони досліджували більш геометричне мистецтво. Отож що таке симетрія? Альгамбра якимось чином задає ці всі питання. Що таке симетрія? Якщо розглянути дві із цих стін, чи мають вони однакові симетрії? Чи можемо ми сказати, що вони виявили всі симетрії в Альгамбрі?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
І це саме Галуа створив мову, що надала можливість відповісти на деякі з цих запитань. Для Галуа, симетрія - на відміну від Томаса Манна, для якого вона означала щось нерухоме і смертельне - для Галуа, симетрія була найбільше пов'язана з рухом. Що ви можете зробити з симетричним об'єктом, перемістити його деяким чином, щоб він виглядав так само, як і до переміщення? Я би описав це як рухи у магічних трюках. Що ви можете зробити з чим-небудь? Заплющіть очі. Я зроблю щось, покладу його назад. Виглядає так само, як було спочатку.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Так, наприклад, стіни в Альгамбрі, я можу взяти всі ці плитки, і зафіксувати їх в жовтій точці, повернути їх на 90 градусів, покласти їх назад, і вони ідеально впишуться на ці місця. І якщо ви відкриєте очі знову, то не дізнаєтесь, що вони були переміщені. Але це рух, який справді характеризує симетрію усередині Альгамбри. Та також важливо створити мову, щоб описати це. І сила математики часто полягає в тому, щоб змінити одну річ на іншу, змінити геометрію на мову.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Так що я збираюся вас провести, можливо, підштовхнути вас трішечки математично - отож наберіться хоробрості - підштовхну вас зовсім трохи для розуміння, як ця мова працює, що дозволить нам вловити, що таке симетрія. Отже, візьмімо ці два симетричні об'єкти тут. Візьмімо перекручену шестикутну морську зірку. Що я можу зробити із зіркою, щоб вона виглядала так само? Що ж, я повернув її на одну шосту оберту, і вона виглядає так само, як до того, як я почав. Я міг би повернути її на третину оберту, або на півоберту - повертаю її на місце - або на дві третіх оберта. І п'ята симетрія, я можу повернути її на п'ять шостих оберта. І ті речі, які я можу зробити із симетричним об'єктом які роблять його схожим на себе до початку.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Тепер, для Галуа, була насправді шоста симетрія. Чи може хтось придумати, що ще я можу зробити з цим, щоб воно залишилось таким, як і до початку? Я не можу перевертати його, оскільки я дещо спотворив зірочку, чи не так? Вона не має дзеркальної симетрії. Але що я міг би зробити, це просто залишити її так, як є, підняти її, і покласти на місце. І для Галуа це була неначе нульова симетрія. Насправді винахід цього числа нуль був дуже сучасним поняттям, VII століття нашої ери, індійці. Здається, дивакуватим говорити ні про що. І це та сама ідея. Це симетричне - тож все має симетрію, якщо ви просто залишити його, як є.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Таким чином, цей об'єкт має шість симетрій. А як щодо трикутника? Ну, я можу повернути на третину оберту за годинниковою стрілкою або на третину оберту проти годинникової стрілки. Але також цей об'єкт має деякі дзеркальні симетрії. Я можу відображати його відносно прямої, що проходить через X, або відносно прямої, що проходить через Y, або відносно прямої, що проходить через Z. П'ять симетрії і також, звичайно, нульова симетрія, коли я просто візьму його і залишу, як є. Таким чином, обидва ці об'єкти мають шість симетрій. Далі, я переконаний, що математика - це не спорт для глядачів, і вам доведеться зайнятися трохи математикою для того, щоб дійсно зрозуміти її.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Таке от маленьке питання до вас. І я збираюся дати приз в кінці мого виступу людині, яка найбільш наблизиться до відповіді. Кубик Рубика. Скільки симетрій має кубик Рубика? Як багато речей можна зробити з цим об'єктом і поставити його назад так, щоб він і далі виглядав як куб? Домовилися? Отож я хочу, щоб ви подумали над цією задачєю поки ми продовжуватимемо, і підрахували, скільки там симетрій. І буде приз для людини, яка підійде найближче в кінці.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Але давайте повернемося до симетрії, які в мене є для цих двох об'єктів. Що Галуа зрозумів: справа не просто в окремо взятих симетріях, а в тому, як вони взаємодіють між собою, що справді характеризує симетричність об'єкта. Якщо я зроблю один магічного трюк, потім інший, то результатом комбінації буде третій магічний трюк. І тут ми бачимо, що Галуа починає розвивати мову, щоб побачити суть невидимих речей, типу абстрактних ідей симетрії, що лежать в основі цього фізичного об'єкта. Наприклад, що якщо я поверну зірку на одну шосту оберта, а потім на одну третю?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Тож я дам їм імена. Великими літерами, A, B, C, D, E, F, імена поворотів. B, наприклад, повертає маленьку жовту точку на точку В на зірочці. І так далі. Отож, що буде, якщо я виконаю B, який є одною шостою оберту, потім C, який є третиною оберту? Добре, зробімо це. Шоста частина оберту, потім третина, результуючий ефект - ніби я щойно повернув її на пів-оберта за один раз. Таким чином, маленька табличка тут записує, як працює алгебра цих симетрій. Після виконання одного після іншого, відповідь - це поворот D, на півоберта. Що буде, якби я це зробив в іншому порядку? Чи була б різниця? Погляньмо. Зробімо третину оберту, а потім одну шосту. Звичайно, тут не має різниці. Так само виходить півоберту.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
І є деяка симетрія в тому, як симетрії взаємодіють між собою. Але це зовсім інше, ніж симетрії трикутника. Погляньмо, що станеться, якщо ми виконаємо дві симетрії з трикутником, одну за одною. Зробімо поворот на третину оберту проти годинникової стрілки, і відобразимо симетрично відносно прямої X. Що ж, сукупний ефект такий, ніби я щойно зробив відображення відносно прямої Z з початкової зірочки. Тепер, зробімо це в іншому порядку. Зробімо спершу відображення відносно прямої Х, а після того поворот на третину оберту проти годинникової стрілки. Сукупний ефект: трикутник опиняється в якомусь зовсім іншому положенні. Неначе його відображено симетрично відносно прямої Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Тепер грає роль, в якому порядку ви виконуєте операції. І це дає нам змогу розрізняти, чому симетрії цих об'єктів -- вони обоє мають шість симетрій. Так чому б нам не сказати, що вони мають ті ж самі симетрії? Але спосіб, яким симетрії взаємодіють, дозволяє нам - у нас тепер є мова, щоб розрізняти, чому ці симетрії фунаментально різні. І ви можете спробувати зробити це, коли підете в бар потім. Візьміть підставку для пива, і поверніть її на чверть оберту, а потім переверніть її. А потім зробіть це в іншому порядку, І картина буде дивитись в протилежному напрямку.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Тепер Галуа розробив деякі закони того, як ці таблиці, як симетрії взаємодіють. Це майже як таблички Судоку. Ви не побачите будь-якої симетрії двічі у будь-якому рядку або стовпці. І, скориставшись цими правилами, він отримав змогу сказати, що насправді є лише два об'єкти з шістьма симетріями. І вони будуть такими ж, як симетрії трикутника або симетрії шестикутної зірки. Я думаю, що це дивовижний результат. Це майже як поняття числа, розробленого для симетрії. На передніх рядах тут, я бачу одного, двох, трьох людей, що сидять у одному, двох, трьох кріслах. Люди у кріслах дуже різні, однак число, абстрактна ідея числа, одна і та ж.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
І ми можемо побачити це зараз: повернемося до стін в Альгамбрі. Ось тут дві дуже різні стіни, дуже різні геометричні зображення. Але, використовуючи мову Галуа, ми розуміємо, що сутнісні абстрактні симетрії цих речей фактично ті ж самі. Наприклад, візьмімо цю красиву стіну з трикутниками з невеликими спотвореннями. Ви можете повернути їх на одну шосту оберту, якщо не враховувати кольорів. Ми не співставляємо кольори. Але фігури сходяться, якщо я поверну на одну шосту оберту навколо точки, де всі трикутники стикаються. А як щодо центру трикутника? Я можу повернути на третину оберту навколо центру трикутника, і все сходиться. І тут є цікаве місце посередині сторони, де можна обернути на 180 градусів. І всі плитки сходяться знов. Тож поверніть посередині ребра, і всі вони співпадуть.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Тепер, перейдімо до дуже по-іншому виглядаючої стіни Альгамбри. І ми знайдемо ту ж симетрію тут, і ту ж взаємодію. Отже, це була одна шоста оберту. Третина оберту, де Z-подібні шматки стикаються. І половина оберту, на півдорозі між шестикутними зірками. І хоча ці стіни виглядають зовсім по-різному, Галуа розробив мову, щоб стверджувати, що фактично суть симетрій, що лежать в їх основі, точно та сама. І це симетрія, яку ми називаємо 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Ось ще один приклад в Альгамбрі. Це стіна, стеля та підлога. Всі вони виглядають зовсім по-різному. Але ця мова дозволяє нам стверджувати, що вони являють собою представлення того ж самого симетричного абстрактного об'єкту, який ми називаємо 4-4-2. Нічого спільного з футболом, але через те, що є два місця, де можна обертати на чверть оберту, і одне - на півоберту.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Але потужність цієї мови ще більша, тому що Галуа може сказати, "Чи мавританські художники виявили всі можливі симетрії на стінах Альгамбри?" І виявляється, що вони майже це зробили. Ви можете довести, використовуючи мову Галуа, що насправді існують лише 17 різних симетрій, які ви можете втілити на стінах Альгамбри. І вони, якщо ви спробуєте зробити інакщою 18-ту стіну, то вона змушена буде мати ті ж симетрії, що й одна з цих 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Але це речі, які ми можемо бачити. А сила математичної мови Галуа, в тому, що вона також дозволяє створювати симетричні об'єкти в невидимому світі, поза двовимірним, тривимірним простором, далі у чотирьох-, чи п'яти-, чи нескінченновимірному просторі. І ось, де я працюю. Я створюю математичні об'єкти, симетричні об'єкти, використовуючи мову Галуа, в просторах дуже великої розмірності. Тому, гадаю, це чудовий приклад невидимих речей, які дозволяє створювати сила математичної мови.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Так що, як і Галуа, я не спав минулої ночі, створюючи новий математичний симетричний об'єкт для вас. І я маю його зображення тут. Ну, на жаль, це не зовсім зображення. Подайте мені сюди мою дошку. Чудово. Дякую. Ну ось. На жаль, я не можу показати вам зображення цього симетричного об'єкта. Але ось тут мова, яка описує як симетрії взаємодіють.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Цей новий симетричний об'єкт ще не має назви. Та люди люблять давати речам імена, кратерам на місяці, або новим видам тварин. Тому я збираюся дати вам шанс поставити ваше ім'я на новий симетричний об'єкт, який ще не був названий раніше. І тільки поміркуйте - види вимирають, в луни влучають метеорити і вони вибухають - але цей математичний об'єкт житиме вічно. Він зробить вас безсмертними. Для того щоб виграти цей симетричний об'єкт, що вам треба зробити, так це відповісти на запитання, яке я ставив перед вами на самому початку. Скільки симетрій має кубик Рубика?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Гаразд, я збираюся упорядкувати вас. Замість того, щоб ви всі кричали, я хочу, щоб ви порахували, скільки цифр має ваше число. Домовилися? Якщо ви отримали його в якості факторіалу, то маєте розкрити факторіал. Гаразд, тепер, якщо ви хочете грати, то встаньте, добре? Якщо ви вважаєте, що маєте оцінку кількості цифр, чудово - в нас вже є один учасник тут - якщо ви всі сидітимете, то він виграє автоматично. Гаразд. Дуже добре. Тож он там у нас чотири, п'ять, шість. Чудово. Дуже добре. Цього вистачить для початку. Гаразд.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Учасники з числом, що має не більше, ніж п'ять цифр, сідайте. Тому що ви недооцінили. П'ять чи менше цифр. Тобто, якщо ви в межах десятків тисяч, вам слід сісти. Якщо у вас 60 або більше цифр, ви повинні сісти. Ви переоцінили. 20 цифр або менше, сідайте. Скільки цифр у вашому числі? Дві? Вам слід було сісти раніше. (Сміх) Давайте розглянемо інших, які сіли на 20, підніміться знову. Гаразд? Якщо я сказав вам 20 або менше, встаньте. Тому що. Я думаю, що тут було кілька. Люди, які щойно сіли.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Гаразд, скільки цифр у вашому числі? (Сміється) 21. Що ж, чудово. Скільки цифр у вашому? 18. Отже приз переходить до цієї пані тут. 21 найближче. Воно насправді - число симетрій в кубика Рубика має 25 цифр. Так що тепер я повинен назвати цей об'єкт. Отже, як вас звати? Мені потрібне ваше прізвище. Симетричні об'єкти в цілому - Прочитайте по буквах для мене. G-H-E-Z Ні SO2 вже було використане, власне, у математичній мові. Тому не можна так назвати. Отож, Ґез, вітаю. Це ваш новий симетричний об'єкт. Тепер ви безсмертні. (Оплески)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
І якщо ви хочете свій власний симетричний об'єкт, то у мене є проект, збір коштів на благодійність у Ґватемалі, в якому я не сплю всю ніч і розробляю для вас об'єкт за пожертву на цю благодійність, щоб допомогти дітям отримати освіту, в Ґватемалі. І я думаю, що заводить мене, як математика, це ті речі, які не видно, те, що ми не виявили. Це все питання, ще без відповіді, які роблять математику живим предметом. І я завжди буду повертатися до цієї цитати з японських "Нарисів з бездіяльності": "У всьому одноманітність небажана. Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим, і дає відчуття, що є можливості для зростання." Дякую. (Оплески)