On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
30 Мая 1832 года в 13-м округе Парижа раздался выстрел. (Выстрел) Крестьянин, который шел на рынок тем утром побежал в ту сторону, откуда послышался выстрел и обнаружил молодого человека, корчившегося на земле, в агонии от дуэльной раны. Молодого человека звали Эварист Галуа. Он был известным в то время в Париже революционером Галуа был доставлен в местную больницу, где он умер на следующий день на руках у своего брата. И последние слова, которые он сказал своему брату были: "Не плачь по мне Альфред. Мне нужно собрать всё мужество, чтобы умереть в 20 лет."
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
На самом деле, революционная деятельность, это не то, чем в первую очередь прославился Галуа. За несколько лет до этого, еще будучи в школе, он решил одну из крупных математических задач того времени. И он написал в Парижскую академию, пытаясь объяснить свою теорию. Но академики не cмогли понять ничего из того, что он написал. (Смех) Tак он писал большинство своих трудов по математике.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
В ночь перед поединком, он понял, что, возможно, это его последний шанс чтобы попытаться объяснить всю важность своего открытия. Он не спал всю ночь, судорожно писал, пытаясь объяснить свои идеи. А когда наступил рассвет, и он пошел навстречу своей судьбе, он оставил на столе стопку бумаг для будущего поколения. Может быть, именно тот факт, что он не спал всю ночь, занимаясь математикой, и послужил причиной почему он так плохо стрелял в то утро и был убит.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
В тех документах содержался новый язык, язык позволяющий постичь одно из самых фундаментальных понятий науки, а именно - симметрию. В наше время, симметрия - почти язык природы. Она помогает нам понять многие аспекты науки. Например, молекулярную структуру. Благодаря математике симметрии мы можем определить какие кристаллы возможны.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
В микробиологии, например, симметричные объекты нежелательны. Потому что, как правило, они довольно скверные. Так например, в данный момент, вирус свиного гриппа является симметричным объектом. И он использует симметрию как возможность так быстро распространяться. Но, cимметрия очень важна, если говорить о биологии в более широком смысле слова, так как cимметрия передаёт генетическую информацию.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Я взял две фотографии и сделал их симметричными. И, если я спрошу вас какие из них вы находите более привлекательными, вам, скорее всего, больше понравятся две нижние. Потому, что симметрию трудно создать. И если вы сможете добиться симметрии в своей внешности, то будете посылать сигнал, о том, что у вас хорошие гены, и хорошее воспитание, и, следовательно, вы составите хорошую пару. Таким образом, симметрия - это язык, который способствует передаче генетической информации.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Также симметрия может помочь объяснить, что происходит в Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе. Или то, что не происходит в Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе. Для того, чтобы делать прогнозы об элементарных частицах, которые можно там увидеть, они кажутся гранями некой странной геометрической фигуры в многомерном пространстве.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
На мой взгляд Галилео очень удачно обобщил силу математики – oнa помогает понять окружаюший нас научный мир . Он писал: "Вселенная не может быть прочитанa пока мы не выучим язык и не познакомимся с символами, с помощью которых она создана. Вселенная написана на языке математики. Где буквы - это треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых невозможно понять ни одного слова".
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Но не только ученые интересуются симметрией. Художники тоже любят экспериментировать с симметрией. Их отношение к симметрии более неоднозначное. Вот как Томас Манн говорит о симметрии в "Волшебной горе". У него есть персонаж, который описывает снежинку. И он говорит, что "вздрогнул от её безупречности, которая пробирает до смерти, до мозга костей".
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Художникам нравится создавать впечатление симметрии, а затем его разрушать. И прекрасный пример этому я нашел, когда встретился со своим коллегой из Японии, профессором Курокавой. И он повел меня в храм в Никко. Сразу же после этого снимка мы подялисъ вверх по лестнице. Ворота, которые видны позади нас украшены восемью колоннами, с красивым симметричным дизайном. Семь из них идентичны, a восьмая пepeвернута вверх ногами.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
И тогда я сказал профессору Курокаве: "Ого, архитекторы, должно быть, кусали себе локти когда поняли, что они совершили ошибку, и установили колонну вверх ногами". На что он ответил: "Нет, нет. Так задумано". И привел в пример прекрасную цитату из японского произведения 14-го века "Заметки в праздности". Автор, которого пишет: "Во всём однородность нежелательна". Оставляя что-то незаконченным, мы делает это более интересным, и создаётся ощущение, что еще есть возможность для роста". Даже при строительстве императорского дворца, обязательно что-то остается незаконченным.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Если бы мне пришлось выбрать только одно здания в мире, в котором пришлось бы провести остаток своей жизни на необитаемом острове, то, будучи помешанным на симметрии, я бы, скорее всего, выбрал замок Альгамбры в Гранаде. Это дворец, воспевающий симметрию. Недавно я свозил туда свою семью, мы любим ездить в такого рода поездки для "заучек" на математические темы. Это мой сын Тамер. На фотографии видно, что ему действительно нравится наша математическая поездка в замок Альгамбры. Но я хотел, чтобы он еще и вынес что-нибудь полезное из этого. По-моему, что одна из проблем, школьной математики состоит в том, что дисциплина преподносится без упоминания на то, что в мире, где мы живем, математика окружает нас повсюду. Я хотел обратить его внимание на то, что симметрия переполняет здание Альгамбры.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Это видно сразу. Как только вы заходите, вы видите симметричное отражение в воде. Но все самое интересное - на стенах. Мавританскиe художники были лишены возможности изображать одушевленные предметы. Поэтому они использовали геометрию в своем искусствe . И так, что же такое симметрия? Альгамбра задаёт все эти вопросы. Что такое симметрия? Если [есть] двe стены, значит ли это что у них одинаковые симметрии? Можно ли сказать, что раскрыты все виды симметрии в Альгамбре?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Именно Галуа создал язык, позволяющий ответить на некоторые из этих вопросов. Для Галуа, симметрия, в отличие от Томаса Манна, который понимает симметрию как нечто неподвижное и мeртвое, - для Галуа, симметрия это прежде всего движениe. Что можно сделать с симметричным объектом, каким образом можно его повернуть, чтобы он выглядeл так же, как до того, как его повернули? Мне нравится называть это волшебным вращением. Что можно сделать с предметом? Вы закрываете глаза. Я выполняю какое-то действие и возвращаю предмет на место. Все выглядит также как и прежде.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Так, например, стены Альгамбры, я могу взять все эти плитки, и зафиксировать в желтой точке, повeрнуть их на 90 градусов, опустить и они точно встают на место. Когда вы откроете глаза, вы даже не поймете, что они повернулись. Движение - вот, что действительно характеризует симметрию внутри Альгамбры. И это также наводит на мысль о создании языка, для описания симметрии. Cила математики зачастую состоит в том, чтобы трансформировать одно в другое, перевести геометрию в язык.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Я буду вашим гидом и помощником, но, возможно, придется поднапрячься и вспомнить математику - так что приготовьтесь - придется постараться, чтобы узнать, как работает язык, позволяющий понять сущностъ симметрии. Итак, давайте рассмотрим эти два симметричных объекта. Давайте возьмем шестилучевую морскую звезду, концы у которой загнуты. Что можно сделать с этой морской звездой, чтобы она выглядела так же и прежде? Я повернул её на шестую часть оборота, и звезда выглядит как и раньше. Можно повернуть её на треть оборота, на пол-оборота, положить её обратно на место, или повернуть на две трети оборота. Пятая симметрия - повернуть её на пять шестых оборота. Вот что можно сделать, с симметричным объектом, и при этом он будет выглядеть как и прежде.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Но, Галуа, выделяет еще и шестую симметрию. Кто-нибудь может подсказать, что еще можно сделать со звездой, чтобы она выглядела так же как и вначале? Перевернуть её нельзя, потому имеются изгибы. Наша звезда не имеет зеркальной симметрии. Но что можно сделать, это оставить её там где она есть, поднять и снова положить на место. Галуа назвал это нулевой симметрией. Открытие понятия "нуля" произошло в седьмом веке нашей эры в Индии и было довольно передовой концепцией. Кажется абсурдным говорить ни о чем. Эти представления схожи. Cимметричный - Любой предмет обладает симметрией, если его просто оставить на месте.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Таким образом, у данного предмета есть шесть симметрий. А как насчет треугольникa? Можно повернуть на треть оборота по часовой стрелке или на треть оборота против часовой стрелки. Но теперь ещё есть зеркальная симметрия. Треугольник можно отразить относительно линии проходящей через X, линии, проходящей через Y, или линии, проходящей через Z. Это пять симметрий и, конечно, нулевая симметрия, если его просто поднять, а затем вернуть на место. Так оба предмета имеют шесть симметрий. я не сторонник, той идеи, что за математикой можно наблюдать со стороны, чтобы действительно её понять нужно заниматься.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
У меня есть к вам один вопрос. И в конце моего выступления приз получит тот, чей ответ окажется наиболее близким к правильному. Это кубик-рубик. Сколько симметрий у кубика-рубика? Сколько действий можно выполнить, с данным предметом в результате, которых он оставался бы кубом? Хорошо? Подумайте над этим вопросом и посчитайте сколько у него eсть симметрий, а мы пока пойдем дальше. В конце выступления приз достанется тому, кто будет наиболее близок к правильному ответу.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Но давайте вернемся к симметриям, которые мы получили для этих двух предметов. Что понял Галуа: не отдельные симметрии, а то, как они взаимодействуют друг с другом, вот, что характеризует симметрию объекта. Если сделать одно магическое вращение, а затем другое, то получим третье магическое вращение. И, тогда Галуа начинает разрабатывать язык, который может показать суть невидимого, своего рода абстрактную идею симметрии, лежащую в основе данного физического объекта. Например, что если повернуть морскую звезду на одну шестую оборота, а затем на одну третью?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Я дал им названия. Заглавными буквами A, B, C, D, E, F, обозначил названия вращений. B, например, поворачивает маленькую желтую точку на морской звезде к точке B. И так далее. А что если сделать B-поворот, поворот на одну шестую, и затем С-поворот - на одну третью? Давайте попробуем. Одна шестая поворота, затем одна третья поворота, в совокупности получается эффект, как будто я повернул звезду на пол-оборота за один раз. Итак, вот эта небольшая таблица показывает как работает алгебра этих симметрий. Я делаю один поворот, затем другой и ответом является D-вращениe - на пол-оборота. Что если выполнить это в обратном порядке? Разве не все равно? Давайте посмотрим. Давайте повернем на одну третью, а затем на одну шестую. Конечно, нет никакой разницы. По прежнему получается пол-оборота.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Есть некая симметрия в том, как симметрии взаимодействуют друг с другом. Но, для симметрии треугольника это правило работает по-другому. Давайте посмотрим что произойдет, если мы сделаем два преобразования симметрии с треугольником, одно за другим. Давайте повернем на одну треть против часовой стрелки, и отразим относительно линии X. общий эффект таков, как будто я только сделал отражение относительно линии Z. А теперь, выполним это в обратном порядке. Давайте, сначала сделаем отражение относительно X, а затем поворот на одну треть против часовой стрелки. Совокупный эффект - треугольник оказывается где-то в совсем другом месте. Как будто отражение было сделано относительно лини Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Итак в данном случае важен порядок выполнения действий. И это позволяет нам провести различия между понятиями симметрии этих объектов, хотя они оба имеют по шесть симметрий. Почему мы не можем сказать, что их симметрии идентичны? То, как симметрии взаимодейстуют позволяет нам - особенно теперь, когда у есть язык, Определить почему эти симметрии принципиально различны. Можете сами это попробовать, когда пойдете в бар. Возьмите подставку для пива и поверните её на одну четверть, а затем переверните. Потом сделайте тоже самое только в обратном порядке. И картинка на подставке окажется направленной в противоположную сторону.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Галуа также вывел некоторые законы о том, как эти таблицы, как симметрии взаимодействуют. Это почти как кроссворды Судоку. Cимметрия не повторяется дважды ни в рядах, ни в столбиках. И, применяя эти правила, он смог утверждать, что на самом деле есть только два предмета обладающих шестью симметриями. И, их симметрии будут такими же, как у треугольника или как у шестилучевой морской звезды. По-моему, это удивительное открытие. Как будто мы разработали понятие числа для симметрии. Здесь, в переднем ряду, есть один, два, три человека которые сидят на одном, двух, трех стульях. Люди на стульях очень разные, но число, или его абстрактное представление, то же самое.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
И теперь, владея таким знанием, вернемся к стенам Альгамбры. Вот - две абсолютно разные стены, с абсолютно разными геометрическими изображениями. Но, используя язык Галуа, можно понять, что их абстрактные симметрии идентичны. Например, давайте возьмем вот эту красивую стену, на которой изображены треугольники с загнутыми вершинами. Их можно повернуть на одну шестую оборота, если не обращать внимание цвета. Не будем стараться, чтобы цвета соответствовали. Совпадут формы, если повернуть на одну шестую оборота вокруг точки, где треугольники соприкасаются вершнинами. Что о можно сказать о центре треугольника? Можно повернуть на треть оборота относительно центра треугольника, и всё совпадёт . Есть интересное место на равном расстоянии между двумя вершинами, если повернуть вокруг него на 180 градусов, то все плитки снова встанут на свои места. Итак, повернем вокруг этой точки, и все встанет на свои места они.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Теперь, давайте посмотрим на другую стену Альгамбры, которая выглядит совершенно по-иному. И мы видим здесь те же симметрии, и то же взаимодействие. Таким образом, все-таки была шестая часть оборота. Одна треть оборота - где встречаются части Z. И половина оборота приходится посередине между шестиконечными звездами. И, хотя стены выглядят совсем по-разному, Галуа изобрел язык, который позволяет утверждать, что, на самом деле, симметрии лежащие в основе этих этих двух узоров - идентичны. Назовем это симметрией 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Вот еще один пример из Альгамбры. Это стенa, потолок, и пол. Все они выглядят очень по-разному. Но данный язык позволяет нам сказать, что они представляют собой один и тот же симметричный абстрактный объект, назовем его 4-4-2. Ничего общего с футболом, он называется так потому, что eсть двe точки, вокруг которых можно повернуть на четверть оборота, и в одна, где можно повернуть - на пол-оборота.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Этот язык даже более мощный, потому что Галуа может сказать: "Удалось ли мавританским художникам изобразитъ все возможные симметрии на стенах Альгамбры"? И оказывается, им почти удалось это сделать. C помощью языка Галуа, можно доказать, что в стенах Альгамбры возможно только 17 различных симметрий. И если возвести еще одну стену и попытаться найти 18-ю симметрию, то она будет повторять симметрии, одной из 17- ти стен.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Все это видно невооруженным глазом. Сила же математического языка Галуа позволяет создавать симметричные объекты в невидимом мире, за пределами двумерных, трехмерных, вплоть до четырех- или пяти- или бесконечно-мерных пространств. Именно, над этим я и работаю. Я создаю математические объекты, симметричные объекты, с помощью языка Галуа в многомерных пространствах. На мой взгляд, это отличный пример чего-то удивительного, что возможно создать с помощью математического языкa.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Так же как и Галуа, я не спал всю ночь, разрабатывая для вас новый математический симметричный объект. И у меня есть его фотография. К сожалению, это не совсем фотография. Можно сюда мое наглядное пособие, пожалуйста? хорошо, отлично. Вот он. К сожалению, я не могу показать вам фотографию этого симметричного объекта. Но здесь представлен язык, описывающий, как взаимодействуют симметрии.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Этот новый симметричный объект еще не имеет названия. Теперь, люди любят присваивать свои имена вещам, кратерам на Луне, или новым видам животных. Я даю вам такую возможность присвоить свое имя новому симметричному объекту, который еще пока не имеет названия. К тому же, животние вымирают, метеориты падают на спутники, от чего те взрываются, а этот математический объект будет существовать вечно. Он увековечит ваше имя. Для того, чтобы выиграть этот симметричный объект, вы должны ответить на вопрос, который я задал в самом начале. Сколько симметрий у кубика-рубика?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Хорошо, поступим следующим образом. Вместо того, чтобы все выкрикивали одновременно, я хочу, чтобы вы посчитали, сколько цифр eсть в этом числe. Хорошо? Если вы хотите представить это как факториал, то найдите его значение. Хорошо, теперь, встаньте, пожалуйста, если вы участвуете, я хочу, чтобы вы встали, хорошо? Если вы считаете, что правильно подсчитали количество цифр, - у нас уже есть один участник - и если никто не встанет, то он выиграет автоматически. Хорошо. Отлично. Итак, у нас есть четыре здесь, пять, шесть участников. Хорошо. Отлично. Можем начать. Итак.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Тот, у кого получилось пять или менее цифр, может сесть. Потому, что вы недооценили. Пять или менее цифр. Итак, если ваш ответ в десятках тысяч, вы должны сесть. 60 цифр или более, вы должны сесть. Вы переоценили. 20 цифр или менее, садитесь. Сколько цифр в вашем числе? Два? Тогда вы должны были давно сесть. (Смех) А теперь, встаньте те, кто сел, когда я сказал 20. Хорошо? Если у вас получилось 20 или менее, встаньте. Кажется, было несколько. Участники, которые сели последними.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Хорошо, сколько цифр в вашем ответе? (Смех) 21. Хорошо, хорошо. Сколько получилось у вас? 18. Итак приз достается вот этой даме. 21 ближе всего к верному ответу. На самом деле - число симметрий в кубике Рубика состоит из 25 цифр. Так, теперь я должен назватъ этот предмет. Как вас зовут? Мне нужна ваша фамилия. Симметричные предметы, как правило - Продиктуйте по буквам. Г-Х-E-З Нет SO2 уже используется в математическом языке. поэтому, придется выбрать другое название. Так, что Гез (Ghez), вот, пожалуйста. Это ваш новый симметричный объект. Теперь ваше имя бессмертно. (Аплодисменты)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
И если вы хотите, чтобы у вас был свой собственный симметричный объект, у меня есть проект, я собираю деньги на благотворительность для Гватемалы, и я не буду спать всю ночь, разрабaтывaя для вас объект, если вы поже́ртвуете на образование детей в Гватемале. И я думаю, что меня, как математика, мотивируют те вещи, которые еще никто не видел, то, что ещо не было открыто. Это нерешенные вопросы, которые делают математику живой. И я всегда буду возвращаться к этой цитате из японских "Заметок в праздности": "Во всём однородность нежелательна. Оставив что-то незаконченным, мы делает его интересным, и это создаёт ощущение того, что существует возможность для роста". Спасибо. (Апплодисменты)