On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
No dia 30 de maio de 1832, ouviu-se um tiro ressoando no 13º "arrondissement" de Paris. (Tiro) Um camponês, que caminhava para o mercado naquela manhã, correu para o sítio de onde o tiro tinha vindo, e encontrou um jovem contorcendo-se em agonia no chão, claramente atingido por um ferimento em duelo. O nome do jovem era Evariste Galois. Era um revolucionário bem conhecido em Paris, na época. Galois foi levado para o hospital local onde morreu no dia seguinte nos braços do irmão. As últimas palavras que ele disse ao irmão foram: "Não chores por mim, Alfred. "Preciso de toda a coragem possível para morrer aos 20 anos". Na verdade, não foi pela política revolucionária
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
que Galois ficou famoso. Mas uns anos antes, enquanto ainda andava na escola, ele tinha solucionado um dos grandes problemas de matemática do momento. Escreveu aos académicos de Paris, tentando explicar a sua teoria. Mas os académicos não conseguiram perceber nada do que ele escrevera. Era assim que ele escrevia a maior parte da sua matemática. (Risos)
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Então, na noite anterior àquele duelo, ele percebeu que talvez fosse a última hipótese de tentar explicar a sua descoberta. Ficou acordado toda a noite, a escrever, a tentar explicar as suas ideias. Quando amanheceu, ele foi ao encontro do seu destino, e deixou uma pilha de papéis na mesa para a geração seguinte. Talvez por ter ficado acordado a trabalhar na matemática tenha levado um tiro tão grave naquela manhã e foi morto.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Contido dentro daqueles documentos havia uma nova linguagem, uma linguagem para entender um dos conceitos mais fundamentais da ciência — ou seja, a simetria. A simetria é quase a linguagem da natureza. Ajuda-nos a entender tantas diferentes partes do mundo científico. Por exemplo, a estrutura molecular. Podemos entender como são possíveis os cristais, através da matemática da simetria.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
Na microbiologia, não queremos obter um objeto simétrico, porque geralmente são bastante desagradáveis. O vírus da gripe suína, no momento, é um objeto simétrico. E usa a eficácia da simetria para poder propagar-se tão bem. Mas numa escala maior de biologia, a simetria é muito importante, porque comunica informações genéticas.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Eu tirei duas fotos e fi-las artificialmente simétricas. Se eu vos perguntar qual delas acham mais bonita, provavelmente vocês sentem-se atraídos pelas duas de baixo, porque é difícil fazer simetria. Se vocês se tornarem simétricos, estão a enviar um sinal de que têm bons genes, têm uma boa educação e, portanto, serão um bom companheiro. A simetria é uma linguagem que pode ajudar a comunicar a informação genética.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
A simetria também nos ajuda a explicar o que está a acontecer no Grande Colisor de Hadrõens no CERN. Ou o que não está a acontecer no Grande Colisor de Hadrõens no CERN. Para fazer previsões sobre as partículas fundamentais podemos ver ali, parece que todas elas são facetas de qualquer forma simétrica estranha num espaço dimensional maior.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Acho que Galileo resumiu, muito bem, o poder da matemática para entender o mundo científico que nos rodeia. Ele escreveu: "Não podemos ler o universo "sem aprendermos a sua linguagem "e nos familiarizarmos com as personagens em que está escrito. "Está escrito em linguagem matemática, "e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, "sem a qual é humanamente impossível "compreender uma única palavra".
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Não são só os cientistas que se interessam pela simetria. Os artistas também adoram brincar com simetria. Eles também têm uma relação um pouco mais ambígua com ela. Thomas Mann fala assim sobre simetria em "The Magic Mountain". Há uma personagem que descreve o floco de neve, e diz que estremeceu "com a sua precisão perfeita", achou-a "mortal, a própria medula da morte".
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Mas os artistas gostam de configurar expetativas de simetria e depois quebrá-las. Encontrei um belo exemplo disso quando visitei um colega meu no Japão, o professor Kurokawa. Ele levou-me aos templos em Nikko. Logo após tirarmos esta foto, subimos as escadas e aquela entrada que veem lá atrás tem oito colunas, com belos desenhos simétricos. Sete deles são exatamente iguais, e o oitavo está virado ao contrário.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Eu disse ao professor Kurokawa: "Os arquitetos devem ter sido corridos "quando perceberam que haviam cometido um erro "e colocaram este ao contrário". E ele disse: "Não, não, não. Foi um ato deliberado". Referiu-me essa adorável citação dos japoneses: "Ensaios na ociosidade" do século XIV, em que o ensaísta escreveu: "Em tudo... a uniformidade é indesejável. "Deixar algo incompleto torna-a interessante "e dá a impressão de que há espaço para o crescimento. "Mesmo ao construir o Palácio Imperial, deixam sempre um local inacabado". Se eu tivesse que escolher um edifício no mundo
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
para ser colocado numa ilha deserta, para viver o resto da minha vida, como sou um viciado em simetria, provavelmente eu escolheria o Alhambra em Granada. É um palácio que comemora simetria. Recentemente, levei a minha família — nós fazemos essas viagens bastante matemáticas, que a minha família adora. Este é o meu filho Tamer. Como veem, ele está a gostar muito da nossa viagem matemática ao Alhambra. Mas eu queria tentar enriquecê-lo. Eu acho que um dos problemas com a matemática escolar é não é ver como a matemática está embutida no mundo em que vivemos. Por isso, eu queria abrir os olhos dele para a simetria que existe em todo o Alhambra.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Vemo-la logo. Entramos nela mediatamente, a simetria reflexiva na água. Está nas paredes onde acontecem todas as coisas emocionantes. Não permitiam aos artistas mouros que desenhassem coisas com alma. Então eles exploravam uma arte mais geométrica. Então, o que é a simetria? O Alhambra, de certa maneira, faz todas essas perguntas. O que é a simetria? Quando há duas dessas paredes, elas têm as mesmas simetrias? Podemos dizer se descobriram todas as simetrias no Alhambra? Foi Galois que produziu uma linguagem
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
para responder a algumas destas perguntas. Para Galois, a simetria — ao contrário do que para Thomas Mann, que era algo parado e mortal — para Galois, a simetria era tudo sobre o movimento. O que poderemos fazer a um objeto simétrico, movê-lo de certa forma, para que pareça o mesmo que antes de o movermos? Costumo descrever isso como um truque mágico. Como podemos fazer isso? Fechem os olhos. Eu faço uma coisa, ponho-a de novo. Parece a mesma que antes de começar.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Por exemplo, as paredes do Alhambra posso tirar todos os azulejos, e colocá-los no local amarelo, rodá-los 90 graus, colocá-los todos de novo e eles encaixam-se perfeitamente. Quando vocês abrirem os olhos, não saberão que eles mudaram. Mas é o movimento que caracteriza a simetria dentro do Alhambra. Também se trata de produzir uma linguagem para descrever isso. O poder da matemática é muitas vezes mudar uma coisa para outra, mudar a geometria para uma linguagem.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Vou levar-vos, talvez empurrar-vos um pouco, pela matemática — por isso, preparem-se — empurrar-vos um pouco para entenderem como funciona esta linguagem, o que nos permite captar o que é a simetria. Então, vejamos estes dois objetos simétricos. Vamos pegar na estrela-do-mar de seis pontas torcidas. O que posso fazer à estrela-do-mar para ela parecer igual? Rodei-a com 1/6 de volta, continua com o mesmo aspeto que tinha antes. Eu podia rodá-la com 1/3 de volta, ou meia volta, ou colocá-la de novo na sua imagem, ou 2/3 de volta. E numa quinta simetria, posso rodá-la 5/6 de volta. Estas são coisas que posso fazer a um objeto simétrico isso faz com que pareça igual ao que era antes.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Para Galois, havia uma sexta simetria. Alguém acha que eu posso fazer mais alguma coisa e ela ficar como dantes? Não posso virá-la porque tem a ponta retorcida. Não tem simetria reflexiva. Mas posso deixá-la ficar onde está, esticá-la, e abaixá-la novamente. Para Galois, isso era como a simetria zero. Na verdade, a invenção do número zero foi um conceito muito moderno, VII século A.D., pelos indianos. Parece uma loucura falar sobre nada. Esta é a mesma ideia. Todas as coisas têm simetria,
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
quando as deixamos ficar onde estão. Então, este objeto tem seis simetrias. E um triângulo? Posso rodá-lo 1/3 de volta no sentido horário ou 1/3 de volta, no sentido contrário. Mas agora isto tem uma simetria reflexiva. Posso refleti-lo no eixo que passa por X, ou no eixo que passa por Y, ou no eixo que passa por Z. Cinco simetrias e, claro, a simetria zero em que eu simplesmente estico-o e volto a pô-lo onde estava. Então, estes dois objetos têm seis simetrias. Eu penso que a matemática não é um desporto de espetadores. Temos que fazer alguma matemática para perceber isso. Vou fazer-vos uma pergunta.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
E vou dar um prémio, no final da minha palestra, à pessoa que se aproximar da resposta. O cubo de Rubik. Quantas simetrias tem um cubo de Rubik? Quantas coisas posso fazer neste objeto e voltar ao princípio sem ele deixar de parecer um cubo? Pensem neste problema enquanto prosseguimos. e contem quantas simetrias existem. No final, haverá um prémio para a pessoa que ficar mais próxima.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Mas voltemos às simetrias que obtive para estes dois objetos. Galois percebeu: Não são só as simetrias individuais, mas como elas interagem umas com as outras o que caracteriza a simetria de um objeto. Se eu fizer um movimento de truque mágico seguido de outro, a combinação é uma terceira jogada de magia. Vemos aqui Galois começar a desenvolver uma linguagem para ver a substância das coisas invisíveis, o tipo de ideia abstrata da simetria subjacente a este objeto físico. Por exemplo, se eu rodar a estrela-do-mar 1/6 de volta, e depois 1/3 de volta?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Eu dei-lhes nomes. As letras maiúsculas, A, B, C, D, E, F, são os nomes das rotações. B, por exemplo, roda o pequeno ponto amarelo para o b na estrela-do-mar, etc. Então, e se eu fizer B, que é 1/6 de volta, seguido por C, que é 1/3 de volta? Vamos fazer isso. Um sexto de volta, seguido por 1/3 de volta. O efeito combinado é como se eu tivesse girado meia volta de uma só vez. Este quadro aqui regista como funciona a álgebra dessas simetrias. Eu faço um encontro entre os dois, a resposta é a rotação D, meia volta. E se eu fizer por outra ordem? Isso faria alguma diferença? Vamos ver. Vamos fazer primeiro 1/3 de volta, e depois 1/6 de volta. Claro, não faz diferença.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.
Acaba em meia volta na mesma.
But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Há aqui uma certa simetria na forma como as simetrias interagem umas com as outras. Mas isto é completamente diferente das simetrias do triângulo. Vamos ver o que acontece se fizermos duas simetrias com o triângulo, uma após a outra. Vamos fazer uma rotação de 1/3 de volta no sentido anti-horário, e refletir no eixo que passa por X. Para começar, o efeito combinado é como se eu tivesse feito o reflexo no eixo que passa por Z. Agora, vamos fazê-lo por uma ordem diferente. Primeiro, vamos fazer a reflexão passando por X, seguida pela rotação de 1/3 de volta, no sentido anti-horário. Pelo efeito combinado, o triângulo vai parar a um lugar totalmente diferente. É como se se tivesse refletido no eixo que passa por Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Portanto, é importante a ordem por que fazemos as operações. Isso permite-nos distinguir as simetrias destes objetos — ambos têm seis simetrias, porque é que não devemos dizer que eles têm as mesmas simetrias? A forma como as simetrias interagem permite-nos — agora temos uma linguagem — distinguir porque é que essas simetrias são totalmente diferentes. Podem tentar isso quando logo forem ao bar. Peguem numa proteção do copo e girem-na 1/4 de volta, e depois virem-na ao contrário. Depois façam o mesmo por outra ordem, a imagem estará na direção oposta.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois produziu algumas leis sobre como interagem as simetrias. As tabelas quase parecem quadros de Sudoku. Não encontramos simetria duas vezes na mesma linha ou coluna. Usando estas regras, ele pôde dizer que só existem dois objetos com seis simetrias. E serão os mesmos que as simetrias do triângulo, ou as simetrias da estrela-do-mar de seis pontas. Isto é uma conclusão incrível. É quase como o conceito de número que está a ser desenvolvido para a simetria. Aqui na frente, tenho uma, duas, três pessoas sentadas em uma, duas, três cadeiras. As pessoas e as cadeiras são muito diferentes,
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
mas o número, a ideia abstrata do número, é o mesmo. E podemos ver isso agora: voltamos às paredes do Alhambra. Estas duas paredes são muito diferentes, as imagens geométricas são diferentes. Mas, usando o idioma de Galois, podemos perceber que as simetrias abstratas subjacentes a essas coisas, são as mesmas. Por exemplo, olhemos para esta bela parede com os triângulos com a ponta levemente retorcida. Podemos rodá-los 1/6 de volta se ignorarmos as cores. Não estamos a combinar as cores. Mas as formas combinam-se se eu rodar 1/6 de volta em torno do ponto onde todos os triângulos se encontram. E o centro do triângulo? Posso rodar 1/3 de volta em torno do centro do triângulo, e tudo corresponde. Há um local interessante a meio caminho ao longo de uma borda, onde posso rodar a 180 graus e todos os azulejos correspondem novamente. Rodamos a meio caminho ao longo da borda, e todos eles combinam.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Passemos para a parede de aspeto diferente no Alhambra. Encontramos aqui as mesmas simetrias e a mesma interação. Então, tínhamos 1/6 de volta, um terço de volta, onde as peças Z se encontram. E a meia volta está a meio caminho entre as seis estrelas pontiagudas. Embora essas paredes pareçam muito diferentes, Galois produziu uma linguagem para dizer que, de facto, as simetrias subjacentes são exatamente as mesmas. É uma simetria a que chamamos 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Este é outro exemplo no Alhambra. É uma parede, um teto e um chão. Parecem muito diferentes, mas esta linguagem permite-nos dizer que são representações do mesmo objeto abstrato simétrico, a que chamamos 4-4-2. Não tem nada a ver com o futebol, mas com o facto de haver dois locais onde podemos rodar um quarto de volta, e uma meia volta.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Este poder da linguagem é ainda maior, porque Galois pode dizer: "Terão os artistas mouros descoberto todas as possíveis simetrias "nas paredes da Alhambra?" Acontece que quase o fizeram. Podemos prová-lo, usando a linguagem de Galois. Só podemos fazer 17 diferentes simetrias nas paredes da Alhambra. Se tentarmos produzir uma parede diferente com estas 18, terá que ter as mesmas simetrias que cada uma dessas 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Estas são coisas que podemos ver. O poder da linguagem matemática de Galois também nos permite criar objetos simétricos no mundo invisível. Para além do espaço a duas ou a três dimensões, até ao espaço a quatro ou cinco ou infinitas dimensões. É aí que eu trabalho. Eu crio objetos matemáticos, objetos simétricos usando a linguagem de Galois, em espaços dimensionais muito elevados. Acho que é um ótimo exemplo de coisas invisíveis, que o poder da linguagem matemática permite que criemos.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Tal como Galois, fiquei acordado toda a noite passada, criando um novo objeto matemático simétrico para vocês, Tenho aqui uma imagem. Infelizmente não é realmente uma imagem. Se eu pudesse ter aqui o meu quadro seria ótimo, excelente. Cá estamos. Infelizmente, não posso mostrar-vos uma imagem desse objeto simétrico. Mas está aqui a linguagem que descreve como as simetrias interagem.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Este novo objeto simétrico ainda não tem um nome. As pessoas gostam de dar o seu nome a coisas, a crateras na lua ou a novas espécies de animais. Eu vou dar-vos a hipótese de darem o vosso nome a um novo objeto simétrico que ainda não tem nome. As espécies desaparecem, as luas são atingidas por meteoros e explodem. Mas este objeto matemático viverá para sempre. Tornar-vos-á imortais. Para ganhar este objeto simétrico, têm que responder à pergunta que eu fiz, no começo. Quantas simetrias tem o cubo de Rubik?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Ok, vou organizar-vos. Em vez de todos começarem a gritar, quero que digam quantos dígitos há nesse número. Ok? Se vocês o têm como um fatorial, têm que expandir os fatoriais. Ok, agora, quem quiser jogar, tem que se levantar, ok? Quem acha que tem uma estimativa de quantos dígitos, certo — já temos aqui um concorrente. Se os outros ficarem abaixo, ele ganha automaticamente. Ok. Excelente. Temos aqui quatro, cinco e seis. Ótimo. Excelente. Isso deve chegar. Ok.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Se houver alguém com cinco ou menos dígitos, tem que se sentar, porque calculou por baixo. Cinco dígitos ou menos. Se vocês estiverem nas dezenas de milhar, têm que se sentar. Sessenta dígitos ou mais, vocês têm que se sentar. Vocês avaliaram por excesso. Vinte dígitos ou menos, sentem-se. Quantos dígitos há no seu número? Dois? Então já devia ter-se sentado. (Risos) Vamos ter de novo os outros, que se sentaram durante os 20. Ok? Se eu disse 20 ou menos, levantem-se. Por causa deste. Acho que havia aqui alguns. As pessoas que acabaram de se sentar.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Ok, quantos dígitos tem no seu número? (Risos) Vinte e um. Ok, bom. Quantos é que tem no seu? Dezoito. Então vai para esta senhora aqui. Vinte e um é o mais próximo. Na verdade, o número de simetrias no cubo de Rubik tem 25 dígitos. Agora é preciso dar um nome a este objeto. Qual é o seu nome? Eu preciso do seu apelido. Os objetos simétricos geralmente... soletre para mim. G-H-E-Z Não, SO2 já foi usado na linguagem matemática. Não pode ser esse. Pronto, Ghez. Esse é o seu novo objeto simétrico. Você é agora imortal. (Aplausos)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
E se quiserem o vosso objeto simétrico, tenho um projeto de angariação de dinheiro para uma instituição de caridade na Guatemala, e vou ficar acordado toda a noite a planear um objeto para vocês, para ajudar as crianças a ir à escola na Guatemala. Acho que o que me impulsiona, como matemático, são as coisas que não se veem, as coisas que não descobrimos. São todas as perguntas sem resposta que tornam a matemática um assunto vivo. E sempre voltarei a esta citação dos "Ensaios na Ociosidade" dos japoneses: "Em tudo... a uniformidade é indesejável. "Deixar algo incompleto torna-a interessante, "e dá a impressão de que há espaço para o crescimento". Obrigado.