On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Op 30 mei 1832 klonk er een schot in het 13e arrondissement in Parijs. (Schot) Een boer, onderweg naar de markt, rende ernaartoe en vond een jonge man in stervensnood op de grond, duidelijk neergeschoten bij een duel. Zijn naam was Evariste Galois. Hij stond in Parijs bekend als revolutionair. Galois werd meegenomen naar het lokale ziekenhuis waar hij de volgende dag stierf in de armen van zijn broer. Zijn laatste woorden aan zijn broer waren: "Ween niet om mij, Alfred. Ik heb alle moed nodig om als 20-jarige te sterven."
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
Niet om zijn revolutionaire politiek was Galois beroemd. Een paar jaar eerder, nog op school, had hij een van de grote wiskundige problemen van die tijd opgelost. Hij probeerde zijn theorie aan de academici in Parijs uit te leggen. Ze begrepen niets van wat hij schreef. (Gelach) Zo schreef hij zijn wiskunde meestal op.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
De nacht voor het duel besefte hij dat het misschien wel zijn laatste kans was om zijn grote doorbraak proberen uit te leggen. Hij bleef de hele nacht op en schreef al zijn ideeën op. Bij dageraad ging hij zijn lotsbestemming tegemoet. Hij liet een stapel papieren achter voor de volgende generatie. Die hele nacht opblijven, was misschien wel de oorzaak van zijn dood.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Maar in die documenten stond een nieuwe taal, een taal om een van de meest fundamentele concepten van de wetenschap te begrijpen -- namelijk symmetrie. Symmetrie is zowat de taal van de natuur. Ze helpt ons zoveel verschillende stukjes van de wetenschappelijke wereld te begrijpen. Moleculaire structuur bijvoorbeeld. Welke kristallen er mogelijk zijn, kunnen we begrijpen door middel van de wiskunde van symmetrie.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
In de microbiologie wil je echt geen symmetrisch ding binnenkrijgen, omdat ze over het algemeen nogal gemeen zijn. Het varkensgriepvirus is zo'n symmetrisch ding. Het maakt gebruik van de efficiëntie van symmetrie om zichzelf zo goed te verspreiden. Maar op een grotere schaal is symmetrie ook erg belangrijk in de biologie omdat ze genetische informatie communiceert.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Ik heb hier twee foto's genomen en ik heb ze kunstmatig symmetrisch gemaakt. Waarschijnlijk vind je de twee onderaan meest aantrekkelijk. Want het is moeilijk om iets symmetrisch te maken. Als je jezelf symmetrisch kunt maken, vertel je daarmee dat je goede genen hebt, goed bent opgegroeid en daarom een goede partner zal zijn. Symmetrie kan helpen om genetische informatie te communiceren.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Symmetrie kan ook helpen om ons uit te leggen wat er gebeurt in de Large Hadron Collider in CERN. Of wat er niet gebeurt in de Large Hadron Collider in CERN. Om voorspellingen te doen over de fundamentele deeltjes die we daar kunnen zien. Om voorspellingen te doen over de fundamentele deeltjes die we daar kunnen zien. Het lijkt erop dat ze alle facetten zijn van een bepaalde vreemde symmetrische vorm in een hogerdimensionale ruimte.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Galileo vatte de kracht van de wiskunde om de wereld om ons heen te begrijpen, zeer mooi samen. Hij schreef: "Het universum kan niet worden gelezen voordat we de taal ervan hebben geleerd en vertrouwd zijn geraakt met de tekens waarin ze is geschreven. Het is geschreven in wiskundige taal, en de letters zijn driehoeken, cirkels en andere geometrische figuren. Zonder dat is het menselijk onmogelijk er een enkel woord van te begrijpen."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Maar niet alleen wetenschappers zijn geïnteresseerd in symmetrie. Kunstenaars houden ook van spelen met symmetrie. Ze hebben er ook een iets dubbelzinniger relatie mee. Hier heeft Thomas Mann het over symmetrie in 'De Toverberg.' Een personage beschrijft een sneeuwkristal en zegt dat hij "huiverde door zijn perfecte precisie. Hij vond ze doods, het merg van de dood."
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Kunstenaars willen je symmetrie laten verwachten en ze dan breken. Een mooi voorbeeld hiervan kwam ik tegen op bezoek bij een collega in Japan, Professor Kurokawa. Hij nam me mee naar de tempels in Nikko. Net nadat deze foto werd genomen, liepen we de trap op. De poort achteraan heeft acht kolommen met prachtige symmetrische tekeningen. Zeven van hen zijn precies hetzelfde, en de achtste staat ondersteboven.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Ik zei tegen Professor Kurokawa: "De architecten moeten zich echt de haren uit het hoofd hebben getrokken toen ze beseften dat ze een fout hadden gemaakt." Hij zei: "Nee, nee. Het is opzettelijk gedaan." Hij verwees naar dit mooie citaat van het Japanse 'Essays in Nietsdoen' uit de 14e eeuw. De essayist schreef: "In alles is uniformiteit ongewenst. Iets onvolledig laten, maakt het interessant en geeft je het gevoel dat er ruimte is voor groei." Zelfs bij de bouw van het Keizerlijk Paleis laten ze altijd één plaats onaf.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Maar als ik een gebouw ter wereld moest kiezen om voor de rest van mijn leven op een onbewoond eiland in te wonen, zou ik als verslaafde aan symmetrie waarschijnlijk kiezen voor het Alhambra in Granada. Dit paleis verheerlijkt de symmetrie. Onlangs nam ik mijn familie -- wij houden nogal van nerdy wiskundige reizen, Dit is mijn zoon Tamer. Je kan zien dat hij echt geniet van onze wiskundige reis naar het Alhambra. Ik probeerde hem iets te leren. Een van de problemen van schoolwiskunde is dat ze niet kijken hoe wiskunde verstrengeld is met de wereld waarin we leven. Ik wilde hem tonen hoezeer symmetrie verweven is met het Alhambra.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Je ziet bij het binnenkomen de spiegelsymmetrie in het water al. De spannende dingen gebeuren echter op de muren . De Moorse kunstenaars mochten geen levende figuren tekenen . Dus verkenden zij een meer geometrische kunst. Wat is symmetrie? Het Alhambra stelt ons die vraag. Wat is symmetrie? Hebben deze twee muren dezelfde symmetrieën? Weten we of ze alle symmetrieën in het Alhambra al hebben ontdekt?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Galois ontwierp een taal om op een aantal van deze vragen te kunnen antwoorden. Voor Galois is symmetrie -- in tegenstelling tot voor Thomas Mann, voor wie het stil en doods was -- voor Galois had symmetrie alles te maken met beweging. Een symmetrisch object kan je zo laten bewegen dat het er hetzelfde uitziet als voorheen. Ik zie het als een goocheltruc. Wat kun je met iets doen? Je sluit je ogen. Ik doe iets en zet het terug neer. Het lijkt onveranderd.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Bijvoorbeeld de muren in de Alhambra -- Ik kan deze tegels vastpinnen op het gele punt, ze 90 graden draaien en er lijkt niets veranderd. Als je je ogen weer opent, merk je niet dat ze bewogen waren. Maar beweging kenmerkt de symmetrie in het Alhambra. Maar het gaat ook over een taal om dit te beschrijven. De kracht van de wiskunde ligt vaak in een ding veranderen in een ander. Meetkunde veranderen in een taal.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Ik ga jullie wiskundig een beetje aanporren -- zet je schrap -- om een beetje te begrijpen hoe deze taal werkt, waardoor we kunnen vatten wat symmetrie is. Hier twee symmetrische objecten. Laten we eerst de gedraaide zespuntige zeester bekijken. Wat kan ik met de zeester doen waardoor ze er hetzelfde uitziet? Als ik ze 1/6 toer draai, lijkt ze onveranderd. Ik kon ze ook 1/3 toer of 1/2 toer draaien of 2/3 toer. Ze blijft er onveranderd uitzien. Nog een vijfde symmetrie: ik kon ze ook 5/6 toer draaien. Al die dingen laten het symmetrische object onveranderd achter.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Voor Galois was er nog een zesde symmetrie. Kan iemand nog wat bedenken waardoor de ster er onveranderd blijft uitzien? Niet omdraaien want er zit een kleine bocht in de armen, niet? Ze heeft geen spiegelsymmetrie. Maar ik kan ze gewoon laten waar ze is: opnemen en weer neerleggen, zonder te draaien. Voor Galois was dit de nulde symmetrie. Het cijfer nul is een zeer modern concept, in zevende eeuw A.D. door de Indiërs uitgevonden. Het lijkt gek om over 'niets' te praten. Dit is het zelfde idee. Dit is een symmetrische -- Zo heeft alles symmetrie, je laat het gewoon waar het is.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Dus heeft dit object zes symmetrieën. En hoe zit het met de driehoek? Ik kan hem 1/3 toer met de klok mee draaien of 1/3 toer tegen de klok in. Maar hij heeft ook spiegelsymmetrie. Ik kan hem in de lijn door X, in de lijn door Y of in de lijn door Z spiegelen. Dat zijn al vijf symmetrieën en dan natuurlijk de nulde symmetrie, waar ik hem opneem en terugleg. Beide objecten hebben zes symmetrieën. Voor mij is wiskunde geen kijksport, je moet wat wiskunde doen om het echt te begrijpen.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Daarom een vraagje voor jullie. Wie er het dichtstbij zit, krijgt op het einde een prijs. Hoeveel symmetrieën heeft een Rubikkubus? Hoe veel dingen kan ik doen met dit object zodat het er nog steeds uitziet als een kubus? Denk eens na over dat probleem terwijl we verder gaan en tel het aantal symmetrieën eens. De persoon die er aan het einde het dichtstbij zit, krijgt een prijs.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Maar laten we teruggaan naar de symmetrieën voor deze twee objecten. Wat Galois zich realiseerde, is dat niet alleen individuele symmetrieën, maar hoe ze interageren, echt de symmetrie van een object kenmerkt. Als ik twee goocheltrucs na elkaar doe, is de combinatie een derde goocheltruc. Hier zien we dat Galois een taal begint te ontwikkelen om de eigenschappen te kunnen zien van onzichtbare dingen. Het abstracte idee van symmetrie dat ten grondslag ligt aan een fysiek object. Bijvoorbeeld: wat gebeurt er als ik de zeester eerst 1/6 toer draai en dan 1/3 toer?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Ik gaf er namen aan. De hoofdletters, A, B, C, D, E en F zijn de namen voor de rotaties. B, bijvoorbeeld, draait de kleine gele stip naar B op de zeester. Enzovoort. Wat gebeurt er als ik eerst B doe -- dat is 1/6 toer -- gevolgd door C -- dat is 1/3 toer? Laten we dat doen. 1/6 toer, gevolgd door 1/3 toer. Het gecombineerde effect is hetzelfde als 1/2 toer. Deze tabel toont de algebra van deze symmetrieën. B (1/6 toer) gevolgd door C (1/3 toer) geeft D (1/2 toer). Wat als ik het omgekeerd deed? Zou het een verschil maken? Laten we eens kijken. Eerst 1/3 toer, daarna 1/6 toer. Natuurlijk maakt het geen verschil. Het eindigt nog steeds op 1/2 toer.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Er zit symmetrie in de manier waarop die symmetrieën met elkaar interageren. Maar bij de symmetrieën van de driehoek gaat het anders. Laten we eens kijken wat er gebeurt als wij twee symmetrieën van de driehoek na elkaar uitvoeren. Eerst 1/3 toer linksom en dan spiegelen in de lijn door X. Het gecombineerde effect komt overeen met de spiegeling in de lijn door Z. Nu doen we het in de omgekeerde volgorde. Eerst spiegelen in de lijn door X gevolgd door 1/3 toer linksom. Het resultaat is nu anders. Het is alsof hij werd gespiegeld in de lijn door Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Nu is het wel van belang in welke volgorde je de bewerkingen uitvoert. Dit laat ons toe om een onderscheid te maken in de symmetrieën van deze objecten. Beiden hebben zes symmetrieën. Maar waarom mogen we niet zeggen dat ze de dezelfde symmetrieën hebben? De manier waarop de symmetrieën interageren, laat ons toe -- we hebben nu een taal -- in te zien dat deze symmetrieën fundamenteel verschillend zijn. Je kunt het straks in de kroeg proberen. Neem een bierviltje en draai het 1/4 toer, spiegel het daarna. Doe het dan in de andere volgorde. De afbeelding zal andersom wijzen.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois vond enkele wetten over hoe deze tabellen -- hoe symmetrieën interageren. Bijna als sudokutafels. Geen enkele symmetrie komt tweemaal voor in enige rij of kolom. Met behulp van deze regels vond hij dat er in feite slechts twee objecten bestaan met zes symmetrieën. Ze zullen hetzelfde zijn als de symmetrieën van de driehoek, of de symmetrieën van de zespuntige zeester. Het is een geweldige ontwikkeling. Het is bijna alsof het concept 'getal' wordt ontwikkeld voor symmetrie. Hier vooraan zitten een, twee, drie mensen op een, twee, drie stoelen. Hier vooraan zitten een, twee, drie mensen op een, twee, drie stoelen. De mensen en de stoelen zijn zeer verschillend, maar het getal, het abstracte idee getal, blijft hetzelfde.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Terug naar de muren in het Alhambra. Hier zijn twee zeer verschillende muren met zeer verschillende geometrische beelden. Met behulp van de taal van Galois kunnen we begrijpen dat de onderliggende abstracte symmetrieën van deze dingen eigenlijk dezelfde zijn. Bijvoorbeeld deze prachtige muur met de driehoeken met een kleine draai erin. Je kunt ze 1/6 toer draaien als je niet op de kleuren let. De kleuren hoeven niet overeen te komen. Maar de vormen vallen samen als ik 1/6 toer draai rond het punt waar alle driehoekjes elkaar ontmoeten. Hoe zit het met het centrum van een driehoek? Ik kan 1/3 toer draaien rond het centrum van de driehoek, en alles valt samen. Dan is er nog een interessante plek halverwege langs een rand, waar ik 180 graden kan draaien. Alle tegels komen opnieuw overeen. Draai halverwege langs de rand en ze vallen allemaal samen.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Nu een zeer verschillend uitziende muur in het Alhambra. Toch vinden we hier dezelfde symmetrieën en dezelfde interactie. Eerst 1/6 toer. Dan 1/3 toer waar de Z-stukken bij elkaar komen. De 1/2 toer is halverwege tussen de zes-puntige sterren. Hoewel deze muren er heel anders uitzien, heeft Galois een taal ontworpen om te zeggen dat de symmetrieën erin precies dezelfde zijn. Deze symmetrie noemen we 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Nog een ander voorbeeld in het Alhambra. Dit is een muur, een vloer en een plafond. Ze zien er allemaal zeer verschillend uit. Maar door deze taal kunnen we zeggen dat ze representaties van hetzelfde symmetrische abstracte object zijn, dat wij 4-4-2 noemen. Heeft niets te maken met voetbal, maar komt door het feit dat er twee plaatsen zijn waar je 1/4 toer en één waar je 1/2 toer kunt roteren.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
De mogelijkheden van deze taal gaan zelfs nog verder, omdat Galois kan zeggen: "Hebben de Moorse kunstenaars alle mogelijke symmetrieën weergegeven op de muren in het Alhambra?" Bijna, blijkt het. Met behulp van Galois' taal kan je bewijzen dat er eigenlijk slechts 17 verschillende symmetrieën mogelijk zijn op de muren van het Alhambra. Als je er een 18e zou willen maken, dan zou die de dezelfde symmetrieën hebben als een van deze 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Maar dit zijn dingen die we kunnen zien. De kracht van Galois' wiskundige taal laat ons ook toe symmetrische objecten in de onzichtbare wereld te maken. Verder dan de tweedimensionale, driedimensionale wereld naar de vier-, vijf- of oneindig-dimensionale ruimte. Daar ben ik mee bezig. Ik maak wiskundige, symmetrische objecten met behulp van Galois' taal in zeer-hoog-dimensionale ruimten. Ik denk dat het een geweldig voorbeeld is van de onzichtbare dingen die je door de mogelijkheden van wiskundige taal kunt maken.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Dus bleef ik, net als Galois, de hele afgelopen nacht op om voor jullie een nieuw wiskundig symmetrisch object te maken. Ik heb er een beeld van. Helaas is het geen echt beeld. Kan ik mijn bord even hier krijgen. Prima. Ziezo. Spijtig genoeg kan ik jullie geen beeld van dit symmetrische object tonen. Maar hier is de taal die beschrijft hoe de symmetrieën interageren.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Dit nieuwe symmetrische object heeft nog geen naam. Mensen vinden het leuk hun namen aan dingen te geven, zoals aan kraters op de maan of nieuwe diersoorten. Dus ga ik jullie de kans geven om je naam aan een nieuw symmetrisch object te geven dat nog geen naam heeft. Soorten sterven uit, manen kunnen getroffen worden door meteoren en ontploffen, maar dit wiskundige object zal altijd blijven bestaan. Het zal je onsterfelijk maken. Om dit symmetrische object te verdienen, moet je de vraag die ik aan het begin stelde, beantwoorden. Hoeveel symmetrieën heeft een Rubikkubus?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Oké, we gaan het even uitzoeken. In plaats van dat jullie het allemaal gaan roepen, wil ik dat je me zegt hoeveel cijfers dat getal heeft. Als je het in de vorm van een faculteit hebt, moet je die eerst uitwerken. Wie wil meespelen, moet nu opstaan. Als je denkt dat je een schatting hebt van het aantal cijfers... Fijn, hier hebben we al één mededinger. Als jullie allemaal blijven zitten, wint hij automatisch. Nu hebben we er al vier, vijf, zes. Nu zijn we vertrokken.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Iemand met vijf of minder cijfers, mag gaan zitten. Te laag geschat. Als je in de tienduizenden zit, moet je gaan zitten. 60 cijfers of meer: ga maar zitten. Te hoog geschat. 20 cijfers of minder: ook gaan zitten. Hoeveel cijfers heeft je getal? Twee? Dan had je al eerder moeten gaan zitten. (Gelach) Die bij 20 waren gaan zitten, mogen weer opstaan. Die met 20 of minder mogen weer opstaan. Ik denk dat er hier enkele waren. Alleen de mensen die als laatsten gingen zitten.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Hoeveel cijfers heeft je getal? (Lacht) 21. Oké, goed. En dat van jou? 18. Dus gaat het naar deze dame hier. 21 is het dichtstbij. Eigenlijk is het aantal symmetrieën van de Rubikkubus een getal met 25 cijfers. Nu moet ik dit object een naam geven. Hoe heet je? Ik moet je achternaam hebben. Spel hem even voor mij. G-H-E-Z Nee, SO2 is al in gebruik in de wiskundige taal. Die gaat dus niet meer. Zo Ghez, daar gaan we. Dat is je nieuwe symmetrische object. Je bent nu onsterfelijk. (Applaus)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
Als jullie je eigen symmetrische object willen, ik heb een project dat geld inzamelt voor een goed doel in Guatemala. Ik blijf weer eens de hele nacht wakker en ontwikkel een object voor je, in ruil voor een donatie aan dit goede doel om kinderen aan onderwijs te helpen in Guatemala. Wat mij als wiskundige drijft, zijn de onzichtbare dingen, de nog niet ontdekte dingen. Al die onbeantwoorde vragen maken dat wiskunde een levend onderwerp blijft. Ik kom altijd terug op dit citaat uit het Japanse 'Essays in Nietsdoen': "In alles is uniformiteit ongewenst. Iets onvolledig laten, maakt het interessant en geeft je het gevoel dat er ruimte is voor groei." Bedankt. (Applaus)