On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
1832년 5월 30일 총소리가 들렸는데 그것은 파리의 13 아롱디스망에서 울려나온 것이었죠. (총소리) 그날 아침 시장으로 걸어가던 농민 한명이 총소리가 난 곳으로 뛰어가 보니 젊은 청년이 땅에 쓰러친 채, 고통속에 몸을 뒤틀고 있었지요. 총으로 결투를 하다가 총에 맞은 것이죠. 그 청년의 이름은 에바리스트 갈루아였습니다. 그는 당시 파리에서 잘 알려진 혁명 당원이었지요. 갈루아는 지역 병원으로 후송되었는데 다음날 그 병원에서 그는 남동생의 품에 안겨 숨을 거두었습니다. "알프레야, 나땜에 울지마. 20살이라는 젊은 나이에 죽어야 하는 나는 모든 용기가 필요해"라는 말을 하고 숨을 거두었다고 합니다.
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
갈루아가 유명한 것은 혁명을 위한 그의 정치 활동 때문은 아니었지요. 갈루아가 죽기 몇 년전 그러니까 아직 학교에 다닐 때, 그는 그 당시 가장 큰 수학적 난제 하나를 풀었지요. 그래서 갈루아는 그의 이론을 설명하는 편지를 써서 파리에 있는 수학 학술원 회원들에게 보냈지요. 그런데 그들은 갈루아가 쓴 편지를 이해할 수 없었지요. (웃음) 갈루아는 그의 수학을 대부분 이런식으로 썼어요.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
그래서 그는 결투를 하기 전날에 어쩌면 그날이 자기의 귀중한 수학적 발견을 세상에 설명할 수 있는 마지막 기회일지도 모른다고 생각했지요. 그래서 그는 밤을 새고 그의 대칭에 대한 아이디어를 글로 담았지요. 동틀녘에 그는 자신의 운명을 맞으러 나갔고 그는 책상위에 후손을 위해 대칭에 대한 종이 더미를 남겼지요. 어쩌면 그가 밤을 새며 수학적 설명을 썼기 때문에 그 다음날 아침에 총을 제대로 쏘지 못했을지 모르죠.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
그러나 그가 남긴 문서에는 과학의 가장 근본적인 개념의 하나, 즉 대칭을 설명해 주는 새로운 언어가 담겨있었죠. 대칭은 자연의 언어라고도 말할 수 있지요. 대칭은 과학 세계의 여러 분야를 이해할 수 있게 도와 줍니다. 예를 들면, 분자의 구조라든지 어떤 결정체의 모양이 가능하다든지 하는 것을 대칭의 수학을 통해 이해할 수 있죠.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
그런데 대칭적인 모양의 미생물들은 좋지 않아요. 왜냐하면 그런 미생물은 대부분 악종이니까요. 요즘 유행되는 돼지독감 바이러스도 대칭적인 모양이지요. 이 바이러스의 번식율이 그렇게 왕성한 것도 그 바이러스의 대칭성 때문입니다. 생물학의 많은 다른 분야에서도 대칭성이 매우 중요한데 그 이유는 유전 정보가 대칭적으로 교환되기 때문입니다.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
여기의 사진들은 제가 일부러 대칭이 되도록 조작한 것입니다. 제가 여러분께 어떤 사진이 더 아름다운지 물어보면 아마도 아래 쪽 사진 두개를 고르시겠죠. 그 이유는 대칭을 만들기가 어렵기 때문입니다. 그래서 대칭적으로 잘 생긴 사람들은 자기는 씨가 좋고 잘 양육받았기 때문에 대칭적으로 생겼고 따라서 좋은 배우자감이라고 선전하지요. 그래서, 대칭성은 유전자에 대한 정보를 알려줄 수 있는 좋은 언어입니다.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
대칭성은 또한 CERN에 있는 거대 하드론 충돌기에서 일어나는 현상을 이해하는데도 도움을 주지요. 또는 왜 작동하지 않았는지를 이해하는데도 도움이 되지요 (비꼬는 농담) LHC를 통해 볼 수 있을지도 모르는 기본입자들에 대해서 예측을 하자면 그것들은 고차원의 공간에 존재하는 괴상한 대칭적 모양의 측면일지도 모릅니다.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
갈릴레오는 우리를 둘러싼 세계를 과학적으로 이해할 수 있게 해주는 수학의 힘을 함축성있고 멋있게 표현했지요. 그는, "우주가 씌여진 언어를 우리가 배우고 우리가 그 언어에 익숙해 질 때 까지 우리는 우주를 읽을 수 없다" 라고 말했지요. 우주는 수학 언어로 씌여져 있습니다. 그 언어의 알파벳은 삼각형, 원 및 기타 기하학적 모양들 이기때문에 이런 것들을 사용하지 않으면 인간의 힘으로는 한마디도 이해할 수 없지요.
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
그러나, 과학자들만 대칭에 관심이 있는것은 아니지요. 예술가들도 대칭에 많은 관심을 보였어요. 그들은 또한 대칭과 약간 애매모호한 관계를 가졌지요. 토마스 만의 소설 "마의 산"에는 대칭에 대한 다음과 같은 문구가 있습니다. 그 소설의 한 캐릭터는 "(나는) 눈송이의 완벽한 정밀성에 무서워 떨고, 그것이 마치 죽음의 본질 같이 느껴진다"고 말했지요.
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
그러나 예술가들은 대칭에 대한 우리의 기대를 일단 높여 놓고 그 기대를 다시 깨트리는 것을 좋아하지요. 제가 일본에 있는 동료인 쿠로카와 교수를 찾아갔을 때 바로 그런 일이 있었어요. 그는 니코시(市)에 있는 절로 저를 데리고 갔지요. 이 사진을 찍고 난 직후에 우리들은 계단을 올라갔습니다 그런데 사진의 뒤에 보이는 관문에 기둥이 8개 있었는데 이들은 아름다운 대칭이 되는 디자인이었지요. 그런데 그중 7개는 똑같았지만 한개는 꺼꾸로 박혀 있었지요.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
그래서 제가 쿠로카와 교수에게 "에이구, 이 기둥이 꺼꾸로 박혔다는 것을 건축가가 알면 까무러 치겠네요" 라고 말했더니 "아니, 아니, 그건 일부러 그렇게 한거예요" 라고 말하며 다음과 같은 멋진 이야기를 해주더군요. 14세기의 일본 작가가 쓴 "한가한 수필"이라는 책에 "모든 것에 있어 균일성은 바람직하지 않다. 무엇인가 남겨두는 것이 더 흥미를 돋구며, 발전의 가능성을 느낄 수 있게 한다" 라는 문구가 있다고 말해 주더군요. 그래서, 심지어는 제국의 궁전을 지을 때도 한 부분을 미완성 상태로 둔답니다.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
만약에 제가 무인도 섬에 살면서 제 나머지 평생을 살 집을 골라야 한다면, 저는 대칭 중독자이니까 아마 그라나다에 있는 알함브라 궁전을 택할지 모릅니다. 이 궁전은 대칭을 찬미합니다. 저는 최근에 제 가족과 같이 여기를 갔었는데 우리 가족은 이런 수학 매니아적인 휴가를 즐기죠. 이건 제 아들 타머인데 보시는 바와같이 그는 알함브라의 수학적 테마에 대한 휴가를 정말로 즐기고 있죠. 저는 제 아들에게 좋은 교육의 기회를 주려고 했어요. 학교에서 가르치는 수학의 문제점 중의 하나는 수학이 우리가 살고있는 실제 세계에 내포되어 있다는 것을 보여주지 않는다는 것이죠. 그래서 저는 제 아들이 알함브라 궁전에 얼마나 대칭이 많은지 깨닫게 되기를 바랬죠.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
그 궁전 안으로 들어가자 마자 수면에 반사대칭이 보이지요. 그러나 정말로 흥미있는 부분은 벽입니다. 무어의 예술가들은 영혼이 있는 사물들을 그림으로 그리는 것이 금지돼 있었지요. 그래서 그들은 기하학적인 예술을 추구했지요. 과연 대칭이란것은 무엇일까요? 알함브라 궁전을 보면 다음과 같은 질문을 하게 되죠. 대칭이란 무엇인가요? 이런 벽이 두개가 있으면 그들의 대칭은 같은 종류인가? 알함브라 궁전은 가능한 모든 대칭을 다 보여 주나요?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
이러한 질문을 답해 줄 수 있는 언어를 만든 사람이 바로 갈루아였지요. 대칭에서 정적과 죽음만 느낀 작가 토마스 만과는 달리 갈루아에게 있어 대칭은 움직임에 관련된 것이었지요. 대칭하는 개체를 가지고 무엇을 할 수 있을까? 어떻게 하면 이들을 움직인 후 움직이기 전과 똑같이 보이게 할 수 있을까? 전 이런것들을 속임수같은 마술의 움직임이라고 말하죠. 뭘 어떻게 한다는 말일까요? 지금 눈을 감아 보세요. 그럼 제가 뭘 움직이고 난 후 손을 뗍니다. 그런데 움직이기 전과 똑 같이 보이지요.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
예를 들어 알함브라 궁전의 벽에 있는 벽에 있는 타일들을 들어내서 여기에 보이는 노랑 점을 중심으로 90도 회전시킨 후 벽에다 다시 붙이면 그 자리에 꼭 끼게 되지요. 그리고 눈을 뜨면 그 타일들을 움직였다는 것을 전혀 알 수 없지요. 알함브라 궁전에 있는 대칭의 특징은 사실 움직임 이지요. 대칭을 묘사하는 언어도 역시 중요하지요. 수학의 힘은 종종 어떤 것을 다른 것으로 바꾸는데 있지요 -- 그 일례는 기하학을 언어로 바꾸는것이지요.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
그래서 전 이제 여러분을 수학의 세계로 잠시 모시겠습니다. -- 잠시만 참아 주세요 -- 저는 대칭을 이해할 수 있게 도와주는 언어라는 것이 어떤 것인지 몇마디 드리겠습니다. 여기에 지금 대칭되는 개체가 2개 있지요. 약간 휘어진 다리가 6개 달린 불가사리를 보죠. 이 불가사리를 어떻게 움직이면 전과 똑같이 보일까요? 그렇죠. 1/6 회전 시키면 되죠. 그렇게 돌려도 전과 똑같이 보여요. 이걸 1/3 회전시켜도 되고, 반 회전도 좋고, 그냥 들었다가 그자리에 다시 놔도 되고, 2/3 회전 시켜도 되고 5번째 대칭으로 5/6회전 시켜도 되지요. 대칭되는 개체가 움직인 후에도 똑같이 보게 만드는 방법은 이런 것들이죠.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
그런데 갈루아는 6번째 대칭을 생각해 냈지요. 여러분께서 이것을 움직여서 처음과 똑 같이 되게 하는 다른 방법을 생각하실 수 있나요? 그런데 다리가 휘었기 때문에 뒤집을 수는 없지요. 반사대칭이 없다는 이야기죠. 그러나, 제가 이것을 그냥 놔뒀다가, 위로 들어올렸다가 다시 그대로 내려 놓을 수는 있지요. 갈루아에게는 이것이 제로 대칭 같은 것이었지요. 사실 제로라는 숫자는 인도인들이 7세기에 발견한 매우 현대적인 개념이지요. 없는 것에 대해 말하는 것은 미친 행동 같이 보일 수 있습니다. 제로대칭도 마찬가지죠. 그것도 대칭이니까요 -- 가만히 내버려둬도 대칭이 되니까 어디든지 대칭이 있는 거죠.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
자, 이 개체에는 6개의 대칭이 있지요. 그러면 삼각형은 어떨까요? 이것을 시계방향으로 1/3 회전 시키거나 또는 반시계방향으로 1/3 회전 시킬 수 있죠. 이 모양은 반사대칭이 몇개 있지요. X점을 통과하는 선, Y점을 통과하는 선, Z점을 통과하는 기준선을 중심으로 반사할 수 있죠. 그러면 5개의 대칭과 그냥 들었다가 다시 그자리에 놓는 제로 대칭이 있지요. 그래서 이들은 모두 6개의 대칭이 있어요. 그런데 저는 수학을 구경하는 스포츠가 아니라고 믿습니다. 여러분이 진실로 이해를 하시려면 실지로 수학을 하셔야 합니다.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
그래서 제가 작은 질문을 하나 드리죠. 그리고 제 강연이 끝날때 가장 정확한 답을 생각해 내신 분께 제가 상을 하나 드리지요. 루빅 큐브입니다. 루빅큐브에 대칭이 몇개 있을까요? 이 큐브에 어떤 행동을 취하고 다시 내려 놓았을 때 전처럼 큐브로 보이게 할 수 있는 방법이 몇가지가 있을까요? 아셨죠? 그럼 제 강연을 들으시며 이 문제를 생각하고 대칭이 몇개 있는지 세어 보세요. 가장 가까운 답을 하시는 분이 상을 타게 됩니다.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
이 두 개체에 대한 대칭이야기로 다시 돌아가지요. 갈루아는 어떤 개체의 대칭에 진정한 특징을 주는 것은 각각 대칭이라기 보다는 그 대칭들이 어떻게 상호작용을 하는가에 달려 있다는 것을 깨달았지요. 만약에 제가 속임수 마술 움직임을 한번하고, 또 한번 더 마술 움직임을 하면 그 결과는 세번째 마술 움직임이 되지요. 우리는 여기서 갈루아가 물리적인 실체의 대칭에 대한 일종의 추상적인 생각과 같은 우리의 눈으로는 볼 수 없는 것을 묘사해 주는 언어를 개발하기 시작했다는 것을 볼 수 있습니다. 예를 들면 제가 위의 불가사리를 1/6 회전 돌리고, 잇달아서 1/3 회전 돌리면 어떻게 될까요?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
제가 대문자로 A, B, C, D, E, F 라는 회전 이름을 붙였습니다. 예를들면 B는 노란 점을 불가사리의 B로 회전시키는 것이지요. 등등. 그래서 제가 B를 하면 1/6 회전을 하는 것이고, 그 후에 1/3 회전인 C를 하면 어떻게 될까요? 자 이제 해 보죠. 1/6 회전 돌리고, 그 다음에 1/3 회전하죠 그러면 이 두 움직임을 합친 효과는 한꺼번에 1/2회전 하는 것이나 마찬가지지요. 이것은 이와 같은 대칭들의 결과 즉, 대칭의 대수를 표의 형식(대칭행렬)으로 나타낸 것입니다. 제가 대칭적인 움직임들을 두번 연달아 하면 그 답이 D 회전, 즉 1/2 회전으로 나옵니다. 제가 움직이는 순서를 바꾸면 답이 다르게 나올까요? 실지로 한번 해보죠. 1/3 회전을 먼저하고, 다음에 1/6 회전을 합니다. 물론, 아무런 차이가 없죠. 결과는 역시 1/2 회전이지요.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
대칭들이 서로 상호작용을 하는 데에도 대칭이 있습니다. 그러나 이것은 삼각형의 대칭들과는 완전히 다르지요. 이제 이 삼각형을 두번 연달아서 대칭시키면 어떻게 되는지 볼까요. 반시계방향으로 1/3 회전시키고 X를 통과하는 기준선으로 반사해 봅니다. 이 두 움직임의 결과는 Z를 통과하는 기준선에 따라 반사하는 것과 마찬가지 이지요. 이제 대칭하는 순서를 바꿔보죠. X를 통과하는 기준선으로 반사를 하고 반시계방향으로 1/3 회전시킵니다. 이 두 움직임을 합친 결과는 이전과는 전혀 다른 위치가 됩니다. 그 결과는 마치 Y를 통과하는 기준선으로 반사한 것과 같지요.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
이런 경우에는 대칭 이동의 순서가 중요합니다. 이 사실은 이 개체들의 대칭을 구별할 수 있게 해주죠. 그런데, 이 두 개체들이 모두 6개의 대칭을 가지고 있는데 왜 우리들은 이들의 대칭이 같다고 말할 수 없을까요? 그러나 우리는 이제 대칭을 묘사하는 언어를 가지고 있기 때문에 이 대칭들의 상호작용을 통해 이 대칭들의 근본적인 차이를 설명할 수 있습니다. 여러분들이 나중에 술집에 가시면 이걸 시도해 보실 수 있죠. 비어매트를 들고 90도 돌린 다음에 그 잔받침를 뒤집는 거죠. 그리고는 그 반대 순서로 반복하죠. 그러면 그 잔받침의 그림이 원래의 반대 방향을 향합니다.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
갈루아는 이 대칭행렬, 즉 대칭의 상호작용에 대한 법칙을 제의했습니다. 이것은 작은 수도쿠 표와 거의 비슷합니다. 같은 대칭이 한번 이상 나타나는 행이나 열은 하나도 없지요. 이런 규칙을 사용해서 그는 6개의 대칭이 있는 개체는 2개만 있다는 것을 보여줬지요. 그리고 이들은 삼각형의 대칭이나 또는 발이 6개 달린 불가사리와 같지요. 저는 이것은 엄청난 발전이라고 생각합니다. 이것은 마치 대칭에 숫자라는 개념이 개발된 것과 같다고 생각합니다. 지금 여기 제 앞에 하나, 둘, 세명의 사람이 하나, 둘, 세개의 의자에 앉아 있지요. 각 의자에 않은 사람들은 각각 매우 다르지만, 숫자, 즉 추상적인 숫자의 개념은 같지요.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
우리는 이제 이해할 수 있지요: 알함브라 궁전의 벽으로 되돌아 가볼까요. 이들 두 벽에 있는 그림들의 모양은 기하학적으로 완전히 다릅니다. 그러나, 갈루아의 언어를 사용하면 이들의 기본적인 추상적 대칭들은 사실상 똑같다는 것을 이해할 수 있지요. 예를들어, 꼭지점들이 휘어진 삼각형으로 장식된 아름다운 이 벽을 보세요. 색갈은 무시하고 이것을 1/6 회전시켜 보세요. 우리는 색의 대응은 고려하지 않습니다. 삼각형이 만나는 점을 중심으로 해서 1/6 회전 시키면 모든 삼각형들이 겹치죠. 삼각형의 중심은 어떨까요? 삼각형의 중심을 중심으로 해서 1/3 회전 시켜도 모든 것이 겹칩니다. 그리고 삼각형의 가장자리의 중간이 흥미있는 곳인데 이 중간지점을 중심으로 180도 회전시켜도 모든 타일이 겹치게 됩니다. 자 지금 그 중간 지점을 중심으로 회전합니다 -- 맞지요?
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
이제 알함브라에 있는 완전히 다르게 보이는 벽을 볼까요. 그런데 이곳에서도 같은 대칭과 상호작용을 볼 수 있어요. 1/6 회전도 마찬가지고, Z 모양의 타일들이 만나는 곳에서 1/3 회전, 그리고 1/2 회전을 하는 부분은 6개 꼭지 별들의 중간 지점이죠. 비록 이들 벽장식이 매우 다르지만 갈루아는 이들의 기본적인 대칭성은 똑같다는 것을 말해주는 언어를 만들었지요. 우리는 이 대칭을 6-3-2라고 부릅니다.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
알함브라에는 또 다른 대칭의 예가 있습니다. 이것은 벽, 천장, 그리고 마루에요. 이들은 모두 다 다르게 보이지요. 그렇지만 갈루아가 만든 언어는 이들이 다 같은 추상적인 대칭적 개체의 표현이라는 것을 보여줍니다. 우리는 이것을 4-4-2 라고 하는데 축구와는 전혀 관련이 없고 1/4 회전을 할 수 있는 곳이 2군데 있고 1/2 회전을 할 수 있는 곳이 한군데 있다는 말이지요.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
이 대칭 언어의 파워는 갈루아가 "무어 예술가들이 가능한 모든 대칭을 알함브라의 벽에 보여주는가?"라는 대담한 질문을 할 수 있게 했죠. 아닌게 아니라 그들이 거의 다 발견했더군요. 갈루아의 언어를 사용하면 알함브라의 벽에서 가능한 대칭이 총 17개 라는 것을 증명할 수 있어요. 만약에 새로운 벽을 만들어서 18번째 대칭을 사용하려면 그것은 불가능하고 17개 중에서 하나를 다시 골라야 합니다.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
그렇지만 이것은 우리의 눈으로 볼 수 있는 것만 말하는 것이에요. 그러나 갈루아의 수학적 언어를 사용하면 우리는 2차원 또는 3차원의 세계를 벗어나서 4, 5 또는 무한적인 차원의 우리가 눈으로 볼 수 없는 세계의 대칭 개체를 만들 수 있지요. 제 전공분야가 바로 이 분야죠. 저는 갈루아의 언어를 사용해서 매우 고차원의 세계에서 수학적인 개체, 대칭적인 개체를 만들죠. 저는 이런 것들은 수학 언어의 힘을 사용해서 우리가 만들 수 있는 눈으로는 볼 수 없는 개체들의 좋은 예라고 생각합니다.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
그래서, 저도 갈루아처럼 어제 밤늦게 일해서 여러분을 위해 새로운 수학적 대칭 개체를 하나 만들었지요. 그 개체의 그림이 여기 있습니다. 그런데 불행히도 사실 이것이 그 개체의 진짜 그림은 아닙니다. 제 게시판을 이 옆에 --감사합니다. 자 여기 있습니다. 불행히도 제가 이 대칭체의 그림을 보여 드릴 수는 없네요. 그렇지만 이에 관련된 대칭들이 어떠한 상호작용을 갖는지를 설명하는 언어는 여기 적혀 있죠.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
그런데 이 새로운 대칭되는 개체는 아직 이름을 가지고 있지 않지아요. 사람들은 예를 들자면 달의 분화구라던지, 새로운 동물의 종이라던지 하는 것에 자기 이름을 붙이는 것을 좋아하죠. 그래서, 저는 여러분께 새로운 이 대칭 개체를 여러분의 이름으로 처음으로 명명할 기회를 드리겠습니다. 그런데 종은 멸종될 수도 있고 달은 위성과 부딛혀 폭발할지 모르죠-- 그러나 수학적 개체는 영원히 살아 남을 것입니다. 여러분은 이 개채를 통해 영원히 기억될 것입니다. 여러분께서 이 대칭 개체를 상으로 받으시려면 제 강연의 첫 부분에서 제가 드렸던 질문에 답하셔야 합니다. 루빅 큐브에 대칭이 몇개 있느냐는 거죠.
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
자, 그러면 제가 승자를 가려내겠습니다. 여러분 모두가 각각 답을 외칠 필요가 없게 우선 여러분의 답이 몇자리 수인지 지금 세보세요. 아셨죠? 만약에 답이 계승식인 경우 계승값을 구하셔야 합니다. 자, 이제 승자를 뽑아야죠. 해당되는 분들은 일어나세요, 알았죠? 여러분의 답이 대충 몆자리 수가 되는지 아시는 분은 일어나세요. 아- 벌써 한분이 일어 나셨습니다. 일어 나는 사람이 더 없으면 이분이 자동으로 이깁니다. 네, 좋습니다. 일어나신 분이 4, 5, 6 아주 좋습니다. 이 정도면 됩니다. 자 이제 시작하죠.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
답이 5자리 또는 그 이하면 앉으세요. 추측하신 숫자가 너무 작거든요. 5자리 또는 그 이하, 그러니까 몇 만개 이하의 수인 경우 앉으세요. 60자리 또는 그 이상의 숫자도 앉으세요. 추측하신 수가 너무 큽니다. 20자리 또는 그 이하도 앉으세요. 생각하신 답의 숫자가 몇개입니까? 둘이요? 아, 그럼 전에 이미 앉으셔야 했습니다. (웃음) 제가 20자리 숫자 이야기를 했을 때 앉으신 분들 다시 일어나 보세요. 아까 몇 분 계셨는데 -- 마지막으로 앉으신 분들 말입니다.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
답이 몇자리 수죠? (웃음) 21자리. 좋습니다. 몇자리 수죠? 18. 아 그러면 여기 계신 여자분이 승자입니다. 21이 가장 가까운 답이지요. 시실 루빅 큐브에 있는 대칭의 수는 25자리 숫자이지요. 자, 이제 이름을 지을 순간입니다. 성함이 어떻게 되시죠? 성을 말씀해 주세요. 대칭적인 물체는 일반적으로 -- 스펠링을 주시겠어요? G-H-E-Z SO2는 안됩니다. 그건 이미 수학 언어에서 이미 사용되고 있거든요. 그래서 그건 사용할 수 없어요. 자 그럼 GHEZ 이라고 명명합니다. 이게 당신의 대칭 개체입니다. 이제 당신은 불사하십니다. (박수)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
혹시 여러분께서 대칭 개체를 소유하고 싶으시면 제가 과테말라에 있는 자선단체를 위해 기부금을 모으고 있는데 제가 밤잠을 안자고 수학적 개체를 하나 만들죠. 기부금은 과테말라 아이들의 교육을 돌보는 자선단체에 갑니다. 수학자로서 제가 추구하는 것은 우리의 눈에 보이지 않는 것들, 아직 발견되지 않은 것들입니다. 아직 답을 못 찾은 질문들은 수학을 살아있는 과목으로 만듭니다. 그리고 저는 종종 일본 작가의 "한가한 수필"에 나오는 문구를 되새깁니다: "모든것에 있어 균일성은 바람직하지 않다. 무엇인가 남겨두는 것이 더 흥미를 돋구며, 발전의 가능성을 느낄 수 있게 한다". 감사합니다 (박수)