On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Il 30 Maggio 1832 si udi' uno sparo risuonare per 13esimo arrondissement di Parigi. (Sparo) Un contandino, che quel giorno stava andando al mercato, corse nella direzione da cui era provenuto lo sparo e trovo' un ragazzo che si contorceva in agonia, disteso, che era stato chiaramente ferito in un duello. Il ragazzo si chiamava Evariste Galois. Era un noto rivoluzionario nella Parigi di allora. Galois venne portato all'ospedale locale dove morì il giorno dopo fra le braccia di suo fratello. Le ultime parole che disse a suo fratello furono: "Non piangere per me Alfred ho bisogno di raccogliere tutto il coraggio possibile per poter morire a 20 anni."
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
In realtà, non era la politica rivoluzionaria ciò per cui Galois era famoso. Qualche anno prima, mentre ancora a scuola, era riuscito a risolvere uno dei più grandi problemi matematici del tempo. Scrisse agli accademici di Parigi, cercando di spiegare la sua teoria. Ma gli accademici non poterono capire nulla di ciò che aveva scritto. (Risate) Ecco come scrisse il più della sua matematica.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Perciò, la notte prima del duello, capì che quella era forse la sua ultima possibilità per cercare di spiegare la sua grande scoperta. Così rimase sveglio tutta la notte, scrivendo, cercando di spiegare le sue idee. Come giunse l'alba andò incontro al suo destino, lasciò ai posteri una pila di fogli sul tavolo. Forse è proprio perchè rimase sveglio tutta la notte a fare matematica che quel giorno fu un pessimo tiratore e rimase ucciso.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Ma contenuto in quei documenti c'era un nuovo linguaggio, un linguaggio per capire uno dei concetti piu' fondamentali della scienza - la simmeteria. La simmetria è quasi il linguaggio della natura. Essa ci aiuta a capire tanti diversi frammenti del mondo scientifico. Per esempio, la struttura molecolare. Quali cristalli possano esistere lo comprendiamo tramite la matematica della simmetria.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
In microbiologia non si vorrebbe avere a che fare con oggetti simmetrici visto che sono piuttosto cattivi. Il virus dell'influenza suina, al momento, è un oggetto simmetrico che usa l'efficenza della simmetria per potersi propagare così bene. Ma su una scala biologica più vasta, la simmetria è molto importante in quanto comunica l'informazione genetica.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Ho preso due fotografie e le ho rese artificialmente simmetriche. Se vi chiedessi quali di queste troviate più belle, probabilmente vi sentireste più attratti dalle due più in basso. Dato che la simmetria è difficile da creare se riuscite a rendervi simmetrici, segnalerete all'esterno di avere buoni geni, una buona costituzione e quindi di poter essere buoni partner sessuali. Quindi la simmetria è un linguaggio che aiuta a comunicare l'informazione genetica.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
La simmetria può anche essere d'aiuto per spiegare cosa sta succedendo nel Grande Collisore di Adroni del CERN. o cosa non sta succedendo nel Grande Collisore di Adroni del CERN, per poter formulare previsioni sulle particelle fondamentali che vi ci potremmo vedere, sembra che siano tutte sfacettature di qualche strana forma simmetrica in uno spazio sovra-dimensionale.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Penso che Galileo abbia definito, elegantemente, il potere della matematica per comprendere il mondo scientifico attorno a noi. Egli scrisse: "L'universo non può essere letto finchè non abbiamo imparato il linguaggio e abbiamo assunto dimestichezza con i caratteri con cui è scritto. Esso è scritto in un linguaggio matematico. E i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza le quali sarebbe umanamente impossibile comprenderne una sola parola."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Ma non sono solo gli scienziati a essere interessati alla simmetria. Anche gli artisti amano giocare con la simmetria. Intrattengono con essa una relazione leggermente più ambigua. Thomas Mann parla della simmetria in un passaggio della "Montagna Incantata." Un personaggio descrive un fiocco di neve. E dice che "rabbrividì per la sua precisione, la trovò mortale, la quintessenza della morte."
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Ma ciò' che agli artisti piace fare è allestire aspettative di simmetria, per poi frantumarle. Ne ho trovato un esempio meraviglioso visitando un mio collega in Giappone, il Professor Kurokawa. Mi portò ai templi di Nikko. Subito dopo aver scattato questa foto cominciammo a salire le scale. Il passaggio che vedete dietro ha otto colonne dai bellissimi disegni simmetrici sette sono esattamente gli stessi mentre l'ottavo è capovolto
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Dissi al prof. Kurokawa "Wow, gli architetti devono essersela presa un sacco con loro stessi quando hanno capito di aver sbagliato e aver messo questo sottosopra". Lui disse: "No no no. E' stato un atto molto deliberato." Mi citò questo bellissimo passo dal libro Giapponese "Saggi sull'Ozio" del 14esimo secolo Nel quale, scrive il saggista, "In ogni cosa l'uniformità non è desiderabile. Lasciare qualcosa incompleto lo rende interessante, e dà l'impressione che ci sia spazio per la crescita." Anche nella costruzione del Palazzo Imperiale, hanno sempre lasciato qualcosa di incompleto.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Eppure, se dovessi scegliere un palazzo al mondo da trasportare su un'isola deserta, e viverci il resto della mia vita, essendo dipendente dalla simmetria, probabilmente sceglierei l'Alhambra in Granada. Quello è un palazzo che celebra la simmetria. Recentemente ho portato la mia famiglia - facciamo queste strane gite matematiche, che la mia famiglia adora. Questo e' mio figlio Tamer. Vedete quanto gli piace la nostra gita matematica all'Alhambra. Ma io volevo provare a arricchirlo. Credo che uno dei problemi della matematica fatta a scuola è che non considera il modo in cui la matematica è contenuta nel mondo in cui viviamo. Così, volevo aprirgli gli occhi davanti a tutta la simmetria che pervade l' Alhambra.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Già la vedete. Subito appena entri c'è la simmetria riflessiva nell'acqua. Ma il bello è sulle pareti. Agli artisti Moreschi era negata la possibilità di dipingere entità' animate. Così esplorarono un tipo di arte più geometrico. E quindi, cos'è la simmetria? L' Alhambra in un certo qual modo pone queste domande. Cos'è la simmetria? Si puo' dire che due di questi muri possiedono le stesse simmetrie? Possiamo dire che sono stati scoperti tutti i tipi di simmetria nell' Alhambra?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
E' stato Galois a produrre il linguaggio per rispondere a alcune di queste domande. A differenza di Thomas Mann, per il quale era qualcosa di immobile e mortale, per Galois la simmetria riguardava il movimento. Cosa puoi fare ad un oggetto simmetrico, in che modo muoverlo affinchè appaia esattamente come era prima di averlo mosso? Mi piace descriverlo come mosse magiche. Cosa si può operare su qualcosa? Chiudete gli occhi Io faccio qualcosa, poi rimetto di nuovo tutto a posto. Apparirà esattamente come prima.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Così, per esempio, i muri dell' Alhambra, potrei prendere tutte quelle piastrelle e fissarle sul punto giallo, ruotarle di 90 gradi, rimetterle di nuovo a posto e ci starebbero a pennello. Quando aprirete gli occhi non capirete che le ho spostate. Ma è il movimento che realmente caratterizza la simmetria dentro l' Alhambra. E' importante produrre un linguaggio per descrivere tutto ciò. Spesso il potere della matematica consiste nel cambiare una cosa in un'altra, nel cambiare la geometria in linguaggio.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Quindi vi condurrò, e forse vi spingerò un pò matematicamente - tenetevi forte - vi spingerò un pochino verso la comprensione di come questo linguaggio funziona, il linguaggio che ci permette di catturare la simmetria. Prendiamo due oggetti simmetrici Prendiamo la stella marina a sei punte. Cosa posso fare alla stella marina in modo che essa continui ad apparire la stessa? Allora, là la ruoto di un sesto di giro, e continua a sembrare tale e quale a prima. Avrei potuto ruotarla di un terzo, o di un mezzo giro, o risistemarla sulla sua figura, o muoverla di due terzi di giro. E, quinta simmetria, posso ruotarla di cinque sesti di giro. Queste sono cose che posso fare agli oggetti simmetrici. per farli apparire uguali a com'erano prima.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Per Galois, in realtà esiste una sesta simmetria. Qualcuno sà dirmi cos'altro potrei fare a questo oggetto in modo da da lasciarlo come prima? Non posso capovolgerlo, perchè ho messo un piccola vite, giusto? Non ha nessuna simmetria riflessiva. Ciò che posso fare è lasciarlo esatammente dove sta, prenderlo e rimetterlo giù di nuovo. Per Galois, questa era una specie di zero-simmetria. A dire il vero, l'invenzione del numero zero è molto moderna, intorno al settimo secolo D.C., a opera degli Indiani. Sembra una follia parlare del nulla. Questa è la stessa idea. Un'idea sulla simmetria - Ogni cosa ha simmetria se lasciata dove stà.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Quindi, questo oggetto ha sei simmetrie. E il triangolo? Allora, posso ruotarlo di in un sesto di giro orario o di un terzo di giro antiorario. Ma adesso c'è qualche simmetria riflessiva. Posso proiettarlo sulla linea che passa da X, o sulla linea che passa da Y, o sulla linea che passa da Z. Cinque simmetrie più, ovviamente, la zero-simmetria quando lo prendo e lo lascio là dove si trova. Ognuno di questi oggetti ha sei simmetrie. Sono convinto che la matematica non sia uno sport da spettatore, e anche voi dovete fare un pò di matematica in modo da capire davvero.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Ecco una domandina per voi. Darò un premio alla fine del mio discorso alla persona che si avvicina alla risposta giusta. Il Cubo di Rubik. Quante simmetrie ha un Cubo di Rubik? Quante cose posso fare a questo oggetto tale che continui a sembrare un cubo? OK? Voglio che pensiate a questo problema mentre proseguiamo. e che contiate quante simmetrie ha. Alla fine darò un premio alla persona che si avvicina di più.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Ma torniamo alle simmetrie di questi due oggetti. Galois realizzò che non sono solo le singole simmetrie ma anche il modo in cui esse interagiscono a caratterizzare realmente la simmetria di un oggetto. Se faccio una mossa magica, seguita da un'altra, la combinazione risulta in una terza mossa magica. Qui vediamo che Galois comincia a sviluppare un linguaggio per vedere la sostanza delle cose invisibili, il tipo di idea astratta della simmetria che soggiace a questo oggetto fisico. Per esempio, che succede se ruoto la stella marina di un sesto di giro e poi di un terzo di giro?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Mettiamo dei nomi. Le lettere A, B, C, D, E, F sono i nomi delle rotazioni. Per esempio, B è la rotazione del puntino giallo sulla B della stessa marina. E così via. Che succede se faccio B, che è un sesto di giro, seguito da C, che è un terzo di giro? Facciamolo. Un sesto di giro, seguito da un terzo di giro, l'effetto combinato risulta come se lo avessi solo ruotato di mezzo giro in un solo colpo. La tabella registra come funziona l'algebra di queste simmetrie. Faccio una cosa seguita dall'altra e ottengo D, mezzo giro. Cosa succede se seguo l'ordine inverso? C'è differenza? Vediamo. Facciamo prima un terzo e poi un sesto di giro. Ovviamente, non c'è nessuna differenza. Va a finire sempre come un mezzo giro.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
C'è una certa simmetria sul modo in cui le simmetrie interagiscono. Ma questo è completamente diverso dalle simmetrie del triangolo. Vediamo che succede se facciamo due simmetrie col triangolo, una dopo l'altra. Facciamo una rotazione di un terzo di giro antiorario e proiettiamo sulla linea X. L'effetto combinato è come se avessi appena fatto una proiezione sulla linea Z tanto per cominciare. Adesso, seguiamo un ordine diverso. Facciamo prima una proiezione in X, seguita da una rotazione di un terzo di giro antiorario. Come effetto, ottengo che il triangolo finisce in un posto completamente diverso. E' come se venisse proiettato lungo la linea Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
In questo caso è importante in che ordine si compiono le operazioni. Questo ci consente di distinguere le simmetrie di questi oggetti -- tutti e due hanno sei simmetrie. Allora perché non diciamo che hanno le stesse simmetrie? Per il modo in cui le simmetrie interagiscono - ora abbiamo un linguaggio per distinguere queste simmetrie come fondamentalmente diverse. Potete provarci anche voi quando andrete al pub, più tardi. Prendete un boccale di birra, ruotatelo di un quarto di giro, poi rigiratelo. Rifate la stessa cosa in ordine inverso, e il disegno sarà rivolto verso la direzione opposta.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois formulò alcune leggi sulle tabelle che descrivono l'interazione delle simmetrie. Una specie di piccole tabelle di Sudoku. Non c'è nessuna simmetria ripetuta due volte in ogni riga o colonna. Utilizzando queste regole, fu in grado di dire che ci sono solo due oggetti con sei simmetrie Esse sono uguali alle simmetrie del triangolo o alle simmetrie della stella a sei punte. Ritengo che questo rappresenti un incredibile sviluppo. E' quasi come il concetto di numero sviluppato per la simmetria. Quì di fronte ho una, due, tre persone sedute su una, due, tre sedie. Le persone sulle sedie sono molto diverse. ma il numero, l'idea astratta del numero, è il medesimo.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Ora possiamo rendercene conto: torniamo ai muri dell' Alhambra. Quì ci sono due muri molto diversi. Pitture geometriche molto diverse. Ma, usando il linguaggio di Galois, possiamo capire che le soggiacenti simmetrie astratte di queste cose sono in realtà le stesse. Per esempio, prendiamo questo splendido muro con i triangoli un pò curvati. Potete ruotarli di un sesto di giro se ignorate i colori. Lasciamo perdere l'abbinamento dei colori. Le forme corrispondono se ruoto di un sesto di giro attorno al punto in cui tutti questi triangoli si incontrano. Che dire del centro di un triangolo? Posso ruotare di un terzo di giro attorno al centro di un triangolo, e tutto corrisponde. C'è un interessante punto intermedio lungo un margine, nel quale posso ruotare di 180 gradi. E tutte le piastrelle di nuovo combaceranno. Dunque ruotiamo lungo l'intermedio del margine, e di nuovo combaciano.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Andiamo ora a un muro molto diverso dell' Alhambra. Troviamo le stesse simmetrie con le stesse interazioni. Dunque, un sesto di giro. Un terzo di giro dove le 'zeta' si incontrano. E il mezzo giro è a metà strada fra le stelle a sei punte. E nonostante questi muri sembrino molto diversi, Galois ha prodotto un linguaggio per dire che le soggiacenti simmetrie sono in realtà esattamente le stesse. Questa simmetria la chiamiamo 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Ecco un altro esempio dell' Alhambra. Questi sono un muro, un soffitto e un pavimento. Sembrano molto diversi. Ma il nostro linguaggio ci permette di dire che sono rappresentazioni dello stesso oggetto simmetrico astratto, chiamato 4-4-2. Nulla a che vedere col calcio, solo che ci sono due luoghi in cui puoi ruotare di un quarto di giro, e uno di mezzo giro.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Il potere di questo linguaggio è ancora superiore, perché Galois può chiedere: "Gli artisti Moreschi hanno scoperto tutte le simmetrie possibili sui muri dell' Alhambra?" Quasi. Puoi dimostrare, con il linguaggio di Galois, che in realtà ci sono solo 17 diverse simmetrie possibili sui muri dell' Alhambra. Se provi a produrre un muro diverso con questo diciottesimo avrà le stesse simmetrie di uno degli altri diciassette.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Possiamo ben vederlo. Il potere del linguaggio matematico di Galois ci permette di creare oggetti simmetrici nel mondo invisibile, oltre il bi-dimensionale, il tri-dimensionale, e così via, fino allo spazio a quattro, cinque o infinite dimensioni. Ed è quì che si svolge il mio lavoro. Io creo oggetti matematici, oggetti simmetrici, utilizzando il linguaggio di Galois, in spazi dimensionali di altissimo livello. Credo sia un esempio grandioso di cose invisibili che il potere del linguaggio matematico ci permette di creare.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Proprio come Galois, ieri sono stato sveglio tutta la notte creando un nuovo oggetto matematico simmetrico per voi. Ne ho una fotografia quì. Sfortunatamente, non è una vera foto. Se potessi avere la mia lavagna quì di lato, grande, eccellente. Eccoci quà. Sfortunatamente non posso mostrarvi una foto di questo oggetto simmetrico. Ma quì c'è il linguaggio che descrive il modo in cui le simmetrie interagiscono.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Questo oggetto simmetrico non ha ancora un nome. Alla gente piace dare i loro nomi alle cose, ai crateri sulla luna, o a nuove specie animali. Perciò vi darò la possibilità di dare il vostro nome al nuovo oggetto simmetrico che non è mai stato chiamato prima. Le specie si estinguono, e le lune vengono colpite da meteoriti e esplodono - ma questo oggetto matematico vivrà per sempre. Vi renderà immortali. Per vincere questo oggetto simmetrico, ciò che dovete fare è rispondere alla domanda che vi ho posto all'inizio. Quante simmetrie ha un Cubo di Rubik?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Ok, dovrò darvi una sistemata. Invece di urlare tutti quanti, voglio che contiate quante cifre ci sono in quel numero. OK? Se lo avete come fattoriale, dovete espandere i fattoriali. Ok, ora voglio che giochiate, voglio che vi alziate in piedi, ok? Se pensate di avere una stima delle cifre, bene - abbiamo già' un competitore quì - se state tutti seduti lui vince automaticamente! OK. Benissimo. Abbiamo quattro quì, cinque, sei, Grande. Benissimo. Dovrebbe andare. Bene.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Tutti quelli con cinque o meno cifre, seduti. Avete sottostimato. Cinque o meno cifre. Dunque, se siete attorno alle decine di migliaia, seduti. 60 cifre e passa, seduti. Avete sovrastimato. 20 cifre o meno, seduti. Quante cifre hai nel tuo numero? Due? Avresti dovuto sederti gia' prima. (Risate) Vediamo gli altri, chiunque si sia seduto durante i 20, di nuovo in piedi. OK? Se vi ho detto 20 o meno, in piedi. Perchè questo quì. Credo ce ne fossero alcuni quì. Quelli che si sono appena seduti.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
OK, quante cifre hai nel tuo numero? (Risate) 21. Ok, bene. Quanti ne hai nel tuo? 18. Vince la signora. 21 è il più vicino. Il numero delle simmetrie nel cubo di Rubik ha 25 cifre. Adesso ho bisogno di dare un nome a questo oggetto. Come ti chiami? Ho bisogno del cognome. Generalmente, gli oggetti simmetrici - mi faccia lo spelling. G-H-E-Z No, a dire il vero, SO2 e' gia' stato usato nel linguaggio matematico. Non puoi usare quello. Quindi Ghez, eccoci quà. Questo è il tuo nuovo oggetto simmetrico. Adesso sei immortale. (Applausi)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
E se volete il vostro oggetto simmetrico, ho un progetto, raccogliere fondi per un'organizzazione in Guatemala, per il quale starò in piedi tutta la notte a progettare un oggetto per voi, in cambio di una donazione a questa fondazione che aiuta i bambini a accedere a un'educazione nel Gatemala. E credo che ciò che mi spinge, come matematico, sono quelle cose che non si vedono, le cose che non abbiamo scoperto. Sono le domande che non hanno ancora risposta che rendono la matematica una disciplina viva. E farò sempre riferimento a quella citazione dal libro Giapponese "Saggi sull'Ozio": "In ogni cosa, l'uniformità non è desiderabile. Lasciare qualcosa incompleto lo rende interessante, e da' l'impressione che ci sia spazio per la crescita." Grazie. (Applausi)