On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
ב-30 למאי 1832 נשמעה ירייה שהדהדה ברובע ה-13 בפריז (ירייה) איכר שהיה בדרכו לשוק באותו הבוקר רץ לכיוון המקום ממנו נשמעה הירייה ומצא אדם צעיר מתפתל בכאבים על הרצפה היה ברור שהוא נורה במסגרת דו קרב שמו של האדם הצעיר היה אווריסט גלואה הוא היה מהפכן ידוע בפריז של אותה התקופה גלואה נלקח לבית החולים הקרוב שם הוא נפטר למחרת בזרועות אחיו ומילותיו האחרונות לאחיו היו "אל תבכה עלי אלפרד אני צריך את כל האומץ שאני יכול לאזור בשביל למות בגיל 20"
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
למעשה, לא הפוליטיקה המהפכנית היא שפירסמה את גלואה אשר גלואה היה מפורסם בה אלא כמה שנים קודם לכן כשעוד היה בבית הספר כשהצליח לפצח את אחת החידות המתמטיות הגדולות באותה התקופה והוא כתב לאקדמאים בפריז וניסה להסביר את התאוריה שלו אך האקדמאים לא הבינו דבר ממה שכתב (צחוק) כך הוא כתב את רוב המתמטיקה שלו
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
לילה לפני הדו קרב, הוא הבין שיתכן וזו אולי הזדמנותו האחרונה להסביר את פריצת הדרך הגדולה שלו לכן הוא נשאר ער כל אותו הלילה וכתב בנסיון להסביר את רעיונותיו וכשהשחר עלה והוא יצא לפגוש את גורלו הוא השאיר ערימת ניירות על שולחנו למען הדורות הבאים אולי העובדה שהוא נשאר ער כל הלילה ועסק במתמטיקה היתה הסיבה שבגללה היה צלף גרוע באותו הבוקר ונהרג
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
אך במסמכים הללו היתה טמונה שפה חדשה, שפה להבנת אחד מהעקרונות הבסיסיים ביותר של המדע - הסימטריה סימטריה היא כמעט השפה של הטבע היא עוזרת לנו להבין כל כך הרבה חלקים שונים של עולם המדע למשל, המבנה המולקולרי. מהם הגבישים האפשריים אנו יכולים להבין דרך המתמטיקה של הסימטריה
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
במיקרוביולוגיה, לא רוצים למצוא אובייקטים סימטריים משום שהם בדרך כלל די זדוניים הוירוס הנוכחי של שפעת החזירים, הוא אובייקט סימטרי והוא מנצל את יעילותה של הסימטריה כדי להתרבות בצורה כה מוצלחת. אך גם בקנה מידה ביולוגי גדול יותר, הסימטריה מאוד חשובה כי היא מעבירה מידע גנטי
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
לקחתי כאן שתי תמונות, והפכתי אותן לסימטריות באופן מלאכותי ואם אשאל אתכם איזו יפה יותר בעינכם, בוודאי תמשכו לשתיים התחתונות משום שקשה ליצור סימטריה. ואם תוכלו להפוך את עצמכם לסימטריים, אתם שולחים מסר שיש לכם גנים טובים, שהיה לכם חינוך טוב ולכן אתם מהווים זיווג טוב כך שהסימטריה היא שפה שיכולה לסייע לנו להעביר מידע גנטי.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
הסימטריה גם יכולה לעזור לנו להסביר מה קורה במאיץ החלקיקים האירופי CERN או מה לא קורה שם... כדי לאפשר חיזוי אילו חלקיקי יסוד נוכל לראות שם, נראה שהם כולם פאות של צורה סימטרית משונה שקיימת במימד גבוה יותר
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
ואני חושב שגלילאו סיכם יפה מאוד את יכולתה של המתמטיקה, להבין את העולם המדעי סביבנו הוא כתב: "לא נוכל לקרוא את היקום אם לא נלמד את השפה ונכיר את האותיות בהן הוא כתוב. הוא כתוב בשפת המתמטיקה. והאותיות הן משולשים, עיגולים וצורות גיאומטריות אחרות שבלעדיהן לא יוכל האדם להבין ולו מילה בודדת."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
אבל לא רק המדענים מתעניינים בסימטריה גם האמנים אוהבים להשתעשע עם הסימטריה יש להם גם יחסים יותר שנויים במחלוקת איתה. הנה תומס מאן מדבר על סימטריה ב"הר הקסם" יש לו תו המתאר פתית שלג שהוא "נחרד לנוכח דיוקו המושלם ראה בו את המוות, את עצם מהות המוות."
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
אך מה שהאמנים אוהבים לעשות הוא ליצור ציפיות לסימטריה ואז לסכל אותן ודוגמא יפה לכך מצאתי, למעשה, כשביקרתי עמית שלי ביפן, פרופסור קורוקווה הוא לקח אותי למקדשים בניקו. ומיד לאחר שהתמונה הזו צולמה, עלינו במדרגות. ולשער שאתם רואים מאחור יש שמונה עמודים, עם דוגמאות סימטריות יפיפיות שבע מתוכן זהות לחלוטין, והשמינית הפוכה
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
ואז אמרתי לפרופסור קורוקווה "וואו, בטח האדריכלים בעטו בעצמם כשהם ראו שהם שמו את זה הפוך" ואז הוא אמר "לא, לא, לא זה היה מעשה מכוון" והוא הפנה אותי לציטוט הנחמד הזה מ"חיבורים על אי עשייה" היפני מהמאה ה-14 שם המחבר כתב "בכל דבר ודבר אין האחידות רצויה. השארת דבר לא גמור הופכת אותו למעניין, ונותנת את ההרגשה שיש מקום לצמיחה. אפילו כשבונים את ארמון הקיסר תמיד משאירים מקום אחד לא גמור"
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
אך אם הייתי צריך לבחור בניין אחד בעולם להינטש איתו על אי בודד, ולחיות איתו את שארית חיי כמי שמכור לסימטריה, הייתי ודאי בוחר באלהמברה שבגרנדה. ארמון זה הוא חגיגה לסימטריה לאחרונה לקחתי את משפחתי-- אנחנו עורכים טיולים מתימטיים חנוניים, שמשפחתי אוהבת. זה בני תומר, כפי שאתם רואים הוא מאוד נהנה מהטיול המתמטי שלנו לאלהמברה. אבל אני רציתי לנסות ולהרחיב את השכלתו. אני חושב שזו אחת מהבעיות במתמטיקה של בית הספר שלא רואים שם עד כמה המתמטיקה היא חלק מן העולם בעולם בו אנו חיים. ולכן, רציתי לפקוח את עיניו ולראות כמה הסימטריה מצויה בכל פרט באלהמברה.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
רואים זאת מיד כשנכנסים, הסימטריה של ההשתקפות במים. אך הקירות הם היכן שכל הדברים המרגשים מתרחשים מהאמנים המורים נמנעה האפשרות לצייר דברים בעלי נשמה לכן הם חקרו אמנות יותר גיאומטרית ועל כן מהי סימטריה? האלאמברה איכשהו שואל את השאלות הללו מהי סימטריה? כשיש שני קירות כאלו האם יש להם סימטריה זהה? האם אנו יכולים לומר כי הם גילו את כל הסימטריה באלהמברה
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
והיה זה גלואה שיצר שפה שתוכל לענות על חלק מהשאלות הללו עבור גלואה, הסימטריה -- בניגוד לתומס מאן שעבורו זה היה דבר דומם ומת עבור גלואה סימטריה עסקה בתנועה. מה אפשר לעשות עם עצם סימטרי, איך להזיז אותו באיזושהי צורה כך שייראה זהה כפי שהיה לפני שהוזז? אני אוהב לתאר את זה כתעלול קסמים מה ניתן לעשות למשהו? אתם עוצמים עיניים אני עושה משהו, מניח אותו חזרה במקומו הוא נראה בדיוק כמו בתחילה.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
כך, לדוגמא הקירות באלהמברה, אני יכול לקחת את האריחים הללו, ולקבוע ציר בנקודה הצהובה לסובב אותן ב-90 מעלות, להחזירן למקומן, והן תתאמנה בדיוק. וכשתפקחו את עיניכם לא תדעו שהן זזו התנועה היא אשר באמת מאפיינת את הסימטריה בתוך האלהמברה. אך מדובר גם על יצירת שפה שתתאר את זה. ובכוחה של המתמטיקה לעתים תכופות לשנות דבר אחד לדבר אחר, ללהפוך את הגיאומטריה לשפה
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
אז אעשה לכם סיור מודרך, אולי אפילו אדחוף קצת מתמטיקה-- --אז תחזיקו חזק אדרבן אתכם מעט על מנת להבין איך השפה הזאת פועלת, ומאפשרת לנו לתפוס מהי הסימטריה. אז בואו ניקח את שני העצמים הסימטריים כאן. בואו ניקח את כוכב הים המעוות עם ששת הקודקודים. מה אוכל לעשות לכוכב הים שיגרום לו להיראות אותו הדבר? ובכן, הנה סובבתי אותו שישית הסיבוב, וזה עדיין נראה כפי שזה נראה לפני שהתחלתי. יכולתי לסובב אותו שליש הסיבוב, או חצי סיבוב, להחזירו למקומו, או שני שליש סיבוב. וסימטריה חמישית: אני יכול לסובב אותו חמש שישיות סיבוב. ואלו דברים שאני יכול לעשות בעצם הסימטרי שיגרמו לו להיראות בדיוק כמו לפני שהתחלתי.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
לגלואה הייתה סימטריה שישית. משהו יכול לחשוב מה עוד אוכל לעשות בו שישאיר אותו בדיוק כמו שהיה לפני שהתחלתי? איני יכול להפוך אותו כי זה יעוות אותו מעט, נכון? אין לו סימטריית השתקפות. אך מה שאוכל לעשות הוא להשאיר אותו כפי שהוא, להרים אותו, ולהניח אותו חזרה. ועבור גלואה, זה היה כמו סימטריית האפס. למעשה המצאת המספר אפס היתה מושג מודרני מהמאה השביעית שהמציאו ההודים זה נראה טירוף לדבר על כלום. וזה אותו הרעיון. זה סימטרי-- כך שהכל יהיה סימטרי, אם תשאירו אותו במקומו.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
אם כן, לעצם זה יש שש סימטריות. ומה לגבי המשולש? ובכן, אני יכול לסובב אותו שליש סיבוב עם כיוון השעון ושליש סיבוב נגד כיוון השעון. אך עכשיו יש לו קצת סימטרית השתקפות. אני יכול לשקף אותו בקו ישר דרך X או דרך Y או דרך Z חמש סימטריות וכמובן סימטרית האפס שבה אני פשוט מרים אותו ומשאיר אותו במקומו אם כן, לשני העצמים הללו יש שש סימטריות. כעת, אני מאמין גדול שהמתמטיקה איננה צפיה בספורט, וצריך לעסוק מעט במתמטיקה על מנת להבין אותה באמת.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
אז הנה שאלה קטנה עבורכם ואני אתן פרס בסוף ההרצאה שלי למי שיתן את התשובה הקרובה ביותר הקוביה ההונגרית. כמה סימטריות יש לקוביה ההונגרית? כמה דברים אני יכול לעשות עם אובייקט זה ולהחזירו למקומו והוא עדיין יראה כמו קוביה? טוב? אז אני רוצה שתחשבו על הבעיה הזו בזמן שנמשיך הלאה, ותספרו כמה סימטריות ישנן. יהיה אפילו פרס לאדם שיגיע הכי קרוב בסוף.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
אך בואו נחזור לסימטריות שקיבלתי בשני העצמים הללו. מה שגלואה הבין: לא הסימטריות הנפרדות, אלא יחסי הגומלין ביניהן הוא הדבר שבאמת מגדיר את הסימטריה של עצם. אם אעשה קסם ואחריו עוד אחד השילוב ביניהם יהיה קסם שלישי וכאן אנו רואים את גלואה מתחיל לפתח שפה להבנת המהות הדברים הלא-נראים, מעין רעיון מופשט של הסימטריה שביסוד העצם הפיסיקלי למשל, מה אם אני אסובב את כוכב הים שישית סיבוב, ואז שליש סיבוב נוסף?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
אז השתמשתי באותיות ABCDEF כשמות לסיבובים B למשל, מסובבת את הנקודה הצהובה הקטנה ל-B שעל כוכב הים וכן הלאה אם כן, מה אם אבצע B, אשר הינה שישית סיבוב ואחריה C אשר הינה שליש סיבוב אז בואו נעשה זאת. שישית סיבוב, ואחריה שליש סיבוב, האפקט המשולב הוא כאילו סובבתי בחצי במהלך יחיד. כך שהטבלה הקטנה כאן מתעדת כיצד האלגברה של הסימטריות עובדת. אעשה את האחד אחרי השני, והתשובה היא זה סיבוב D, חצי סיבוב מה אם אעשה זאת בסדר אחר? האם זה ישנה? הבה נראה. בואו נעשה שליש סיבוב קודם, ואח"כ שישית סיבוב. כמובן, זה לא משנה. זה עדיין בסה"כ חצי סיבוב.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
ויש גם סימטריה בדרך בה הסימטריות מגיבות זו עם זו. אך זה שונה לחלוטין מהסימטריה של משולש. בואו נראה מה יקרה אם נעשה שתי סימטריות עם המשולש, בזו אחר זו. בואו נעשה שליש סיבוב נגד כיוון השעון, ונשקף בקו העובר דרך X ובכן, האפקט הוא כאילו שיקפתי על הקו של Z מלכתחילה כעת נעשה זאת בסדר שונה. בואו נשקף קודם ב-X ואח"כ נסובב שליש סיבוב נגד כיוון השעון האפקט המשולב, המשולש הגיע למקום אחר לחלוטין כאילו שיקפנו אותו על הקו שעובר דרך ה-Y
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
זה משנה באיזה סדר תעשו את הפעולות וזה מאפשר לנו לזהות למה הסימטריות של העצמים הללו-- לשניהם יש שש סימטריות. מדוע איננו יכולים לומר שיש להם את אותן הסימטריות? יחסי הגומלין בין הסימטריות מאפשרים לנו -- יש לנו כעת שפה שמאפשרת לזהות מדוע הסימטריות הללו שונות. ותוכלו לנסות את זה כשתלכו לפאב, יותר מאוחר. תקחו תחתית בירה, ותסובבו אותה רבע סיבוב, לאחר מכן תהפכו אותה. אחר כך תעשו את זה בסדר אחר, והתמונה תפנה לכיוון ההפוך.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
גלואה יצר חוקים לטבלאות הללו, כיצד הסימטריות מגיבות. זה כמעט כמו תשבצי סודוקו קטנים. לא רואים אף סימטריה פעמיים באף שורה או טור. ובעזרת החוקים הללו, הוא יכול היה לומר שיש למעשה רק שני עצמים בעלי שש סימטריות. והם יהיו זהות לסימטריות של משולש, או סימוטריות של כוכב ים בעל שישה קודקודים. אני חושב שזו התפתחות מדהימה. זה כמעט כמו המושג של פיתוח מספר תיאור הסימטריה יש כאן אחד, שניים, שלושה אנשים יושבים על אחד, שניים, שלושה כסאות האנשים על הכסאות מאוד שונים, אך המספר, הרעיון המופשט של המספר, זהה
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
אנו יכולים לראות כעת: אנו חוזרים לקירות של אלהמברה הנה שני קירות שונים מאוד, תמונות גאומטריות שונות מאוד. אך באמצעות השפה של גלואה, אנו יכולים להבין שהסימטריות המופשטות שביסוד הדברים הללו הן למעשה אותו הדבר. למשל, בואו ניקח את הקיר היפהפה הזה עם המשולשים עם הסיבוב הקל. אתם יכולים לסובב אותם שישית סיבוב אם תתעלמו מהצבעים. אנחנו לא מתאימים את הצבעים. אך הצורות מתאימות אם אסובב אותן שישית סיבוב סביב הנקודה בה כל המשולשים מתאימים. מה בנוגע למרכז המשולש? אני יכול לסובב שליש סיבוב סביב מרכז המשולש, והכל מתאים. ואז יש מקום מעניין במחצית הדרך לאורך הקצה, היכן שאני יכול לסובב ב-180 מעלות. וכל המרצפות מתאימות שוב. אם כן סובבו לאורך מחצית הדרך על הקצה, וכולם מתאימים שוב.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
עכשיו, בואו נעבור לקיר שונה מאוד באלהמברה ונמצא כאן את אותן הסימטריות, ואותם יחסי גומלין ביניהן. אם כן, היתה שישית סיבוב. שליש סיבוב היכן שחלקי Z נפגשים ומחצית הסיבוב בין הכוכבים בעלי ששת הקודקודים. ולמרות שהקירות הללו נראים מאוד שונים, גלואה ייצר שפה שאומרת שלמעשה הסימטריות שעומדות ביסודם זהות לחלוטין. וזו סימטריה שאנו קוראים לה 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
הנה דוגמא נוספת באלהמברה הנה קיר, תקרה ורצפה. הם נראים מאוד שונים. אך השפה מאפשרת לנו לומר שהם מייצגים את אותו עצם סימטרי מופשט, אשר אנחנו קוראים לו 4-4-2. אין שום קשר לפוטבול, אבל בגלל העובדה שישנם שני מקומות אותם ניתן לסובב ברבע סיבוב, ובחצי סיבוב.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
כעת, הכח הזה של השפה הוא אפילו יותר גדול. משום שגלואה יכול לומר, "האם האומנים המוריים גילו את כל הסימטריות האפשריות על הקירות של אלהמברה"? ומסתבר שהם כמעט גילו. אתם יכולים להוכיח, בעזרת השפה של גלואה שיש למעשה רק 17 סימטריות שונות שאתם יכולים לעשות על קירות אלהמברה והם, אם תנסו ליצור קיר שונה עם הסימטריה ה18 היא תהיה חייבת להכיל את אותן הסימטריות של אחת מה17
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
אך אלו דברים שאנו יכולים לראות. וכוחה של השפה המתמטית של גלואה בכך שהיא גם מאפשרת לנו ליצור עצמים סימטרים בעולם הבלתי נראה, מעבר לדו מימד, ותלת מימד, הדרך עד המימד הרביעי או החמישי- או החלל בעל אינסוף המימדים ושם אני עובד, אני יוצר עצמים מתמטיים, עצמים סימטרים, בעזרת שפתו של גלואה בחללים בעלי מימדים גבוהים. כך שלדעתי זו דוגמא מצויינת לדברים סמויים מן העין, שהכח של השפה המתמטית מאפשר ליצור.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
כמו גלואה, נשארתי ער אתמול בלילה יצרתי עצם מתמטי סימטרי עבורכם. ויש לי כמה תמונות שלו. ובכן, למרבה הצער זו לא באמת תמונה. לו היה לי הלוח שלי פה בצד, מצויין, מעולה. או-קיי, לצערי אני לא יכול להראות לכם תמונה של העצם הסימטרי. אך הנה השפה אשר מתארת כיצד הסימטריות מגיבות.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
לעצם הסימטרי החדש אין שם עדיין. אנשים אוהבים להנציח את שמותיהם על דברים, על מכתשים על הירח, או על מינים חדשים של בעלי חיים אני עומד לתת לכם הזדמנות לתת את שמכם לעצם סימטרי חדש שטרם ניתן לו שם. והדבר הזה -- מינים מתים להם, וירחים נפגעים על ידי מטאורים ומתפוצצים-- אך הצורה המתמטית תחיה לנצח. היא תהפוך אתכם לבני אלמוות. על מנת לזכות בצורה הסימטרית, מה שתצטרכו לעשות זה לענות על השאלה ששאלתי בהתחלה. כמה סימטריות יש בקוביה ההונגרית?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
טוב, אני אתחיל לסנן אתכם. במקום שכולכם תצעקו, אני רוצה שתספרו כמה ספרות יש במספר הזה, בסדר? אם יש לכם את זה כעצרת, תצטרכו ללפרוש את העצרות אוקיי, מי שרוצה להשתתף במשחק, שיעמוד בבקשה. אני רוצה שתעמדו, טוב? אם אתם חושבים שיש לכם אומדן לגבי כמות הספרות, בסדר -- יש לנו מתחרה אחד כאן-- אם כולכם תשארו לשבת, הוא יזכה אוטומטית. טוב, מעולה. יש לנו כבר ארבעה, חמישה, שישה. מצויין, מעולה. אפשר להתחיל עם זה. בסדר.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
כל מי שיש לו חמש ספרות ומטה נא לשבת. בגלל שהאומדן שלכם נמוך מדי. חמש ספרות או פחות. אם אתם בעשרות אלפים תצטרכו לשבת. שישים ספרות או יותר, אתם תצטרכו לשבת. האומדן שלכם גבוה מדי. עשרים ספרות או פחות, לשבת. כמה ספרות יש במספר שלך? שתיים? היית צריך לשבת קודם. (צחוק) הבה נבקש מאלו שישבו ב-20 ספרות לעמוד שוב, בסדר? אם אמרתי לכם 20 או פחות, עימדו. בגללו, אני חושב שהיו עוד כמה כאן. האנשים שישבו אחרונים.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
טוב, כמה ספרות היו לך במספר? (צחוק) 21. טוב, כמה יש בשלך? 18. הפרס מגיע לגברת כאן. 21 זה הכי קרוב. יש לו למעשה -- למספר הסימטריות בקוביה ההונגרית יש 25 ספרות אז עכשיו צריך לתת שם לאובייקט הזה. מה שמך? אני זקוק לשם המשפחה שלך. עצמים סימטריים בד"כ-- תאייתי לי G-H-E-Z לא נעשה שימוש מעולם ב-SO2 בשפה המתמטית, אז את זכאית לו. אז גץ, הנה הצורה הסימטרית החדשה שלך. את עכשיו בת אלמוות. (מחיאות כפיים)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
ואם אתם רוצים אובייקט סימטרי משלכם, יש לי פרוייקט שמגייס כספים לצדקה בגואטמאלה, ואני אשאר ער כל הלילה ואתכנן עצם בשבילכם, כתרומה לצדקה כדי לסייע לילדים לזכות בחינוך בגואטמאלה. ואני חושב שמה שמניע אותי, כמתמטיקאי, הם הדברים הללו אשר לא נראים, הדברים שלא התגלו. כל השאלות שלא נענו, ואשר עושות את המתמטיקה לנושא חי ואני תמיד חוזר לציטוט היפני מ"חיבורים על אי עשייה" "בכל דבר, אחידות היא לא רצויה להשאיר דבר מה לא גמור עושה אותו מעניין ונותן את ההרגשה שיש מקום לצמיחה" תודה רבה (מחיאות כפיים)