On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Le 30 mai 1832, un coup de feu retentit à travers le 13ème arrondissement de Paris. (coup de feu) Un paysan qui se rendait au marché ce matin-là courut dans la direction du bruit et trouva un jeune homme agonisant sur le sol, visiblement abattu au cours d'un duel. Ce jeune homme s'appelait Evariste Galois. C'était un révolutionnaire connu à Paris à cette époque. Galois fut emporté à l'hôpital Cochin où il succomba le lendemain dans les bras de son frère. Ses derniers mots pour son frère furent : "Ne pleure pas, Alfred, j'ai besoin de tout le courage possible pour mourir à l'âge de 20 ans."
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
En fait, Galois n'était pas connu pour ses opinions révolutionnaires. Quelques années auparavant, encore à l'école, il avait résolu l'un des plus grands problèmes mathématiques de son temps. Il avait écrit à l'Académie des Sciences pour essayer d'expliquer sa théorie. Les Académiciens ne purent comprendre ce qu'il avait écrit. (Rires) Voila comment il écrivait la plupart de ses mathématiques.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Alors, la nuit avant son duel, il réalisa que ce serait sûrement sa dernière chance pour tenter d'expliquer sa grande avancée. Il est resté éveillé toute la nuit à écrire pour expliquer ses idées. L'aube approcha et il alla affronter son destin en laissant une pile de documents sur la table pour la génération suivante. Le fait qu'il resta debout toute la nuit à faire des mathématiques fut peut-être la raison pour laquelle il fut touché au petit matin et tué.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Dans ces documents, il y avait un nouveau langage permettant de comprendre l'un des concepts les plus fondamentaux de la science - à savoir : la symétrie. De fait, la symétrie est pratiquement le langage de la nature. Il nous aide à comprendre tant de choses différentes du monde scientifique. Par exemple, la structure des molécules où des cristaux sont possibles peut être comprise par les mathématiques de la symétrie.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
En microbiologie, on ne veut généralement pas obtenir d'objets symétriques parce qu'ils sont souvent plutôt méchants. Le virus de la grippe porcine, en ce moment, est un objet symétrique. Il utilise l'efficacité de la symétrie pour se propager si facilement. A une échelle plus large, en biologie, la vraie symétrie est très importante parce qu'elle communique en réalité de l'information génétique.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
J'ai pris 2 photos que j'ai rendues symétriques artificiellement. Si vous vous demandez laquelle vous trouvez la plus belle, vous diriez probablement les 2 du bas. Parce qu'il est difficile de faire symétrique, et si vous pouvez vous rendre symétrique, vous envoyez le message que vous avez de bons gènes, que vous avez une bonne éducation et que vous êtes donc un bon parti. La symétrie est alors un langage qui aide à communiquer de l'information génétique.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
La symétrie peut nous aider à comprendre ce qui se passe dans le Large Hadron Collider au CERN ou ce qui ne s'y passe pas pour faire des prédictions sur les particules fondamentales qu'on peut y découvre. Elles apparaissent comme des facettes d'une étrange forme symétrique issue d'un espace à plusieurs dimensions.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Je pense que Galilée a très bien résumé le pouvoir des mathématiques pour comprendre le monde qui nous entoure. Il a écrit : "L'Univers ne peut être compris si l'on n'a pas appris et si l'on n'est pas devenu familier avec l'alphabet dans lequel il est écrit. Il est écrit en langage mathématique. Son alphabet est constitué par les triangles, les cercles et les autres figures géométriques sans lesquelles il n'est pas humainement possible d'en comprendre le moindre mot."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Il n'y a pas que les scientifiques qui s'intéressent à la symétrie. Les artistes adorent jouer avec la symétrie aussi. Ils ont aussi une relation un petit peu plus ambigüe avec elle. Thomas Mann parle de symétrie dans "La Montagne Magique". L'un des personnages décrit un flocon de neige. Il dit qu'il "frémit devant sa perfection, ressemble à la mort, l'essence même de la mort."
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Ce que les artistes aiment faire, c'est susciter une attente de cette symétrie et la briser. En voci un bel exemple, que j'ai trouvé en rendant visite à un collègue au Japon, le professeur Kurokawa. Il m'a emmené aux temples de Nikko. Juste après avoir pris cette photo, nous avons monté les marches. Le porche que vous voyez derrière comporte 8 colonnes avec des beaux motifs symétriques. 7 sont exactement pareil et la 8ème est tournée à l'envers.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
J'ai dit au prof. Kurokawa : "Les architectes ont dû se mordre les doigts en constatant leur erreur lorsqu'ils ont posé celle-ci à l'envers." Il m'a dit : "Non, non, non. Ils ont fait exprès." Il m'a rappelé cette merveilleuse citation japonaise issue des "Heures Oisives" au 14ème siècle. L'écrivain y disait : "Dans toute chose, l'uniformité est indésirable. Laisser une chose incomplète la rend intéressante et procure le sentiment qu'il reste de la place pour son développement. Même en construisant le Palais Impérial, ils ont toujours laissé un endroit inachevé."
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Cela dit, si je devait choisir un édifice dans le monde, pour y être projeté comme sur une île déserte et y passer le reste de ma vie, étant accro à la symétrie, je choisirais sûrement l'Alhambra à Grenade. C'est un palais qui célèbre la symétrie. J'y ai récemment emmené ma famille. On fait ce genre de voyages pour fanas de maths que ma famille adore. Voici mon fils Tomer. Vous voyez qu'il adore notre balade pour matheux à l'Alhambra. J'ai voulu essayer de le cultiver. Je pense que l'un des problèmes des maths à l'école, c'est qu'elles ne montrent pas en quoi elles sont intégrées dans le monde dans lequel on vit. J'ai donc voulu lui ouvrir les yeux sur toutes ces symétries présentes à l'Alhambra.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Vous voyez déjà, dès que vous entrez, la symétrie qui apparaît dans l'eau. Mais c'est sur les murs que c'est excitant. Les artistes Maures ne pouvaient rien dessiner qui ait une âme. Alors, ils ont exploré un art plus géométrique. C'est quoi la symétrie ? L'Alhambra pose ce genre de questions. C'est quoi la symétrie ? Ces 2 murs ont-ils les mêmes symétries ? Peut-on dire s'ils ont découvert toutes les symétries possibles à l'Alhambra ?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
C'est Galois qui a créé un langage nous permettant de répondre à certaines de ces questions. Pour Galois, la symétrie, contrairement à Thomas Mann pour qui elle était calme et mortelle, pour Galois, il s'agissait de mouvement. Que peut-on faire d'un objet symétrique ? Le bouger d'une certaine façon pour qu'il soit identique à ce qu'il était avant d'avoir été bougé ? J'aime dire qu'il s'agit d'un tour de magie. Que peut-on faire aux choses ? Fermez vos yeux. Je fais quelque chose et je le repose. Il ressemble à ce qu'il était avant que je ne commence.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Par exemple, les murs à l'Alhambra. Je prends toutes ces mosaïques et je les fixe par le point jaune, je les tourne de 90°, elles se retrouvent parfaitement en place. Si vous ouvrez vos yeux, vous ne verrez pas qu'elles ont bougé. Pourtant, c'est le mouvement qui caractérise la symétrie au sein de l'Alhambra. Il s'agit aussi de produire un langage pour la décrire. Le pouvoir des mathématiques réside souvent dans la capacité de changer une chose en une autre, de faire de la géométrie un langage.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Alors je vais vous faire voyager - vous pousser un peu mathématiquement - alors accrochez-vous. Je vais vous faire comprendre comment ce langage fonctionne afin de comprendre ce qu'est la symétrie. Prenons ces 2 objets symétriques là. Prenons cette étoile de mer tordue. Que puis-je lui faire subir pour qu'elle ait l'air pareil qu'avant ? Je peux lui faire faire 1/6 tour et elle n'a pas changé. Je peux lui faire faire 1/3 tour ou 1/2 tour ou la remettre en place ou 2/3 tour. D'une 5ème symétrie, je peux la faire tourner de 5/6 tour. Tout ce que j'ai fait subir à cet objet symétrique n'ont pas changé son aspect.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Pour Galois, il y avait même une 6ème symétrie. Quelqu'un peut-il penser à une autre chose à lui faire subir qui la laisse dans le même état ? Je ne peux pas le retourner car le tordrait. Non ? Il n'a pas d'axe de symétrie. Je pourrais le laisser tel qu'il est, le soulever et le reposer. Pour Galois, c'est une sorte de symétrie numéro zéro. En fait, l'invention du nombre zéro date du 7ème siècle avant notre ère par les Indiens - c'est très moderne... Ca paraît fou de parler de rien. C'est la même idée. Tout a une symétrie si vous n'y touchez pas.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Cet objet a donc 6 symétries. Et ce triangle alors ? Je peux le tourner d'1/3 tour dans le sens des aiguilles d'une montre ou d'1/3 de tour dans l'autre sens. Mais maintenant, il y a des symétries axiales. Je peux le retourner le long de l'axe passant par X, ou le long de l'axe passant par Y, ou le long de l'axe passant par Z. 5 symétries plus évidemment la symétrie nulle où je le soulève et le repose comme il était. Ces deux objets ont donc 6 symétries. Je suis convaincu que les mathématiques ne sont pas un sport à regarder et que vous devez en faire un peu pour vraiment les comprendre.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Alors, voici une petite question pour vous. A la fin de ma conférence, je donnerai une récompense à la personne qui aura donné la réponse la plus proche. Le Rubik's Cube. Combien a-t-il de symétries ? Combien d'opérations puis-je faire sur cet objet avant de le reposer pour qu'il ressemble toujours à un cube. OK ? Je voudrais que vous pensiez à ce problème pendant qu'on avance et que vous comptiez le nombre de symétries qu'il possède. J'offrirai un prix à la personne la plus proche à la fin.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Retournons aux symétries que j'ai trouvées pour ces 2 objets. Galois a compris que ce n'était pas juste les symétries individuelles mais la façon dont elles interagissent les unes avec les autres qui caractérise réellement les symétries d'un objet. Si j'effectue un tour de magie suivi par un second, cela donne un troisième tour de magie. On voit alors Galois développer un langage permettant de saisir la substance des choses non vues : le genre d'idée abstraite de la symétrie sous-jacente à cet objet physique. Par exemple, que se passe-t-il si je tourne l'étoile de mer d'1/6 tour puis d'1/3 tour.
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Je leur donne des noms : les lettres majuscules A, B, C, D, E et F sont les noms de ces rotations. B tourne le petit point jaune vers le sommet B de l'étoile de mer. Ainsi de suite... Si je fais B, soit 1/6 tour, suivi par C, soit 1/3 tour ? Faisons-le. 1/6 tour, puis 1/3 tour : l'effet combiné est le même que si j'avais juste tourné 1/2 tour en une seule fois. Cette petite table enregistre le fonctionnement de cette algèbre. J'en fais une puis l'autre, la réponse : c'est la rotation D, 1/2 tour. Si je le fais dans l'ordre inverse ? Y aura-t-il une différence ? Voyons. 1/3 tour en premier puis 1/6 tour. Evidemment, cela ne change rien. Cela fait toujours 1/2 tour.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Il y a une certaine symétrie dans la façon dont les symétries interagissent entre elles... Mais elles sont complètement différentes des symétries du triangle. Voyons ce qui passe si on fait 2 symétries avec le triangle, l'une après l'autre. Une rotation d'1/3 tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et une réflexion selon l'axe passant par X. L'effet combiné est celui que j'aurais obtenu en faisant une réflexion selon l'axe passant par Z au début. Maintenant, changeons l'ordre. Je commence par la réflexion selon X et poursuis par la rotation d'1/3 tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'effet combiné est un triangle qui finit de façon différente, comme s'il avait subi une réflexion selon l'axe passant par Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Dans ce cas, l'ordre dans lequel vous faites les opérations compte. Cela permet de distinguer les symétries de ces objets qui ont tous les deux 6 symétries. Pourquoi ne devrions-nous pas dire qu'ils ont les mêmes symétries ? La façon dont elles interagissent nous permettent - puisqu'on a un langage - de dire en quoi ces symétries sont fondamentalement différentes. Vous pouvez essayer quand vous descendrez au pub - plus tard. Prenez un sous-bock et tournez le d'1/4 tour puis retournez-le. Puis faites-le en changeant l'ordre. L'image se retrouvera dans la direction opposée.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois a produit des règles sur la façon dont ces tables fonctionnent. Ca ressemble presque à des grilles de Sudoku. Vous ne voyez pas de symétrie 2 fois dans la même ligne ou la même colonne. En utilisant ces règles, il a été capable de dire qu'il n'y a en fait que 2 objets avec 6 symétries. Soit ils ont les mêmes symétries que le triangle, soit ils ont les mêmes symétries que l'étoile de mer. Je pense que c'est un progrès incroyable. C'est presque comme le concept du nombre réinventé pour la symétrie. Là devant, il y a 1, 2, 3 personnes assises sur 1, 2, 3 chaises. Les personnes sur les chaises sont très différentes mais le nombre, l'abstraction derrière le nombre, est la même.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Maintenant, on peut retourner aux murs de l'Alhambra. Voici 2 murs très différents, des dessins géométriques très différents. En utilisant le langage de Galois, on peut comprendre que les symétries sous-jacentes de ces choses sont en fait les mêmes. Par exemple, prenons ce superbe mur avec des triangles légèrement tordus. Vous pouvez les tourner d'1/6 tour si vous ignorez les couleurs. On ne s'en occupe pas. Par contre, les formes correspondent si je les tourne d'1/6 tour autour du point où les triangles se touchent. Que dire du centre du triangle ? Je peut faire tourner d'1/3 de tour autour du centre d'un triangle et tout correspond. Ensuite, il y a un endroit intéressant un milieu d'un coté où je peux tourner de 180°. Tous les carreaux correspondent à nouveau. Une rotation autour du milieu d'un coté et ils correspondent.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Allons voir maintenant un mur qui a l'air différent. Nous y trouvons les même symétries et les mêmes interactions. Alors, on avait 1/6 tour, 1/3 tour où les pièces en Z se rencontrent, 1/2 tour à mi-chemin entre les étoiles à six branches. Même si ces murs ont l'air très différents, le langage produit par Galois prétend que les symétries sous-jacentes sont exactement les mêmes. C'est une symétrie que l'on appelle 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Voici un autre exemple dans l'Alhambra. Voici un mur, un plafond, un sol. Ils ont l'air très différents. Ce langage nous autorise à dire qu'ils sont la représentation du même objet symétrique abstrait qu'on appelle 4-4-2. Rien à voir avec le football. C'est parce qu'il y a 2 endroits où vous pouvez les tourner d'1/4 tour et 1 endroit par 1/2 tour.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
La puissance de ce langage est encore supérieure parce que Galois peut dire ceci : "Les artistes Maures ont-ils découvert toutes les symétries possibles sur les murs de l'Alhambra ?" Il s'avère que oui - presque. Vous pouvez démontrer avec le langage de Galois qu'il n'y a que 17 symétries différentes que vous pouvez effectuer sur les murs de l'Alhambra. Si vous vouliez faire un mur avec une 18ème, il aurait les mêmes symétries que l'un de ces 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Il s'agit cependant des choses visibles. La puissance des mathématiques de Galois, c'est qu'elles permettent de créer des objets symétriques du monde invisible au-delà de 2, 3 dimensions, dans des espaces à 4, 5 ou un nombre infini de dimensions. C'est dans ça que je travaille. Je crée des objets mathématiques, symétriques, en utilisant le langage de Galois dans des espaces avec beaucoup de dimensions. Je pense que c'est un bel exemple de choses invisbles que la puissance des mathématiques nous permet de créer.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Comme Galois, je suis resté debout la nuit dernière pour créer un objet mathématique symétrique pour vous. En voici une représentation. Malheureusement, ce n'est qu'une représentation. Puis-je avoir mon tableau ici, super. Voila. Malheureusement, je ne peux vous montrer une image de cet objet symétrique. Voici le langage qui décrit les interactions entre ses symétries.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Ce nouvel objet symétrique n'a pas encore de nom. Les gens aiment bien donner leur nom aux choses, aux cratères de la Lune ou aux nouvelles espèces animales. Je vais vous donner une chance de donner votre nom à un nouvel objet symétrique qui n'a pas encore été baptisé. Les espèces disparaissent et les lunes sont heurtées par des météorites et explosent mais cet objet mathématique vivra éternellement. Il vous rendra immortel. Pour gagner cet objet symétrique, vous devez répondre à la question que je vous ai posée tout à l'heure. Combien le Rubik's Cube a-t-il de symétries ?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Je vais vous départager. Au lieu de tous hurler, je veux que vous comptiez le nombre de chiffres de ce nombre. OK ? Si l'avez en tant que produit, vous devez le développer. Si vous voulez jouer, je vous demande de vous lever. Si vous pensez avoir une bonne estimation du nombre de chiffres... Nous avons un concurrent ici... Si vous restez assis, il gagne automatiquement... OK. Excellent. Vous êtes 4, 5, 6... OK. Excellent. Ca nous suffit. Bon...
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Tous ceux qui ont 5 chiffres ou moins, asseyez-vous parce que c'est trop peu. 5 chiffres ou moins. Si vous en êtes à des dizaines de milliers, rasseyez-vous. 60 chiffres ou plus, asseyez-vous parce que c'est trop. 20 chiffres ou moins, assis. Combien de chiffres dans votre nombre ? 2 ? Vous auriez dû vous asseoir avant ! (Rires) Voyons les autres. Qui s'est assis à la vingtaine ? Relevez-vous. OK ? 20 ou moins, debout. Je crois qu'il y en avait par là... Les gens qui viennent de se rasseoir...
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Combien de chiffres dans votre nombre ? (Rires) 21. OK bien. Combien dans le vôtre ? 18. Alors, il va à la dame ici. 21 est le plus proche. Le nombre de symétries dans le Rubik's Cube est un nombre à 25 chiffres. Je doit baptisé cet objet. Quel est votre nom ? Votre nom de famille ? Epelez-le moi. G-H-E-Z Non, SO2 a déjà été utilisé, en fait, dans les mathématiques mais vous pouvez avoir celui-là. Alors Ghez, nous y voila. Voici votre nouvel objet symétrique. Vous voilà immortelle. (Applaudissements)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
Si vous voulez votre propre objet symétrique, j'ai un projet de fonds de charité pour le Guatemala et je resterai éveillé toute la nuit à créer un objet pour vous et pour un don pour aider ces enfants à recevoir une éducation au Guatemala. Ce qui me guide en tant que Mathématicien, ce sont les choses invisibles, les choses que nous n'avons pas découvertes. Ce sont toutes les questions ouvertes qui font des mathématiques un sujet vivant. J'en reviens toujours à cette citation des "Heures Oisives" japonaises : "Dans toute chose, l'uniformité est indésirable. Laisser une chose incomplète la rend intéressante et procure le sentiment qu'il reste de la place pour son développement." Merci.