On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
El 30 de mayo de 1832, se oyó un disparo resonando por todo el distrito 13 en París. (Disparo) Un campesino, que estaba caminando hacia el mercado esa mañana corrió hacia el sitio de donde había provenido el disparo, y encontró a un hombre joven retorciéndose de dolor en el suelo, claramente herido por un disparo del duelo. El nombre de este hombre joven era Evariste Galois. Era un famoso revolucionario en París en ese momento. Galois fue llevado al hospital local donde murió al día siguiente en los brazos de su hermano. Y las últimas palabras que le dijo a su hermano fueron: "No llores por mí, Alfred. Necesito todo el coraje que pueda reunir para morir a los 20 años".
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
No fue, de hecho, la política revolucionaria por lo que Galois fue famoso. Pero unos años antes, mientras aún estaba en la escuela, él de hecho había descifrado uno de los grandes problemas matemáticos del momento. Y le escribió a los académicos en París, tratando de explicar su teoría. Pero los académicos no pudieron entender nada de lo que había escrito. (Risas) Así es como escribió la mayoría de su matemática.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Entonces, la noche anterior a ese duelo, se percató de que posiblemente esta fuera su última oportunidad para tratar de explicar su gran avance. Entonces se quedó toda la noche despierto, escribiendo y escribiendo, tratando de explicar sus ideas. Y cuando amaneció y Galois fue a encontrarse con su destino, dejó esta pila de papeles en la mesa para la próxima generación. Tal vez haberse quedado despierto toda la noche haciendo cálculos matemáticos fuera la razón de haber tenido tan mala puntería esa mañana y de haber terminado muerto.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Pero esos documentos contenían un nuevo lenguaje, un lenguaje para entender uno de los conceptos fundamentales de la ciencia -- la simetría. Ahora, la simetría es casi el lenguaje de la naturaleza. Nos ayuda a entender tantos pedazos distintos del mundo científico. Por ejemplo, la estructura molecular. Por qué son posibles los cristales lo podemos entender a través de la matemática de la simetría.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
En microbiología realmente no se quiere obtener un objeto simétrico porque por lo general son bastante malos. El virus de la gripe porcina es, por el momento, un objeto simétrico, y utiliza la eficiencia de la simetría para poder propagarse a sí mismo tan eficazmente. Pero en una escala biológica mayor, la simetría es muy importante, porque comunica información genética.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
He tomado estas dos fotografías y las he hecho artificialmente simétricas. Y si les preguntara cuál de estos personajes les parece más bello, probablemente se sentirían atraídos por los dos de abajo. Porque es difícil hacer simetría. Y si puedes hacerte simétrico a tí mismo, estás enviando una señal diciendo que tienes buenos genes, que tienes una buena crianza y por ello serás una buena pareja. Entonces, la simetría es un lenguaje que puede ayudar a comunicar información genética.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
La simetría también puede ayudarnos a explicar qué está sucediendo en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en el CERN. O qué no está sucediendo en el Gran Colisionador de Hadrones en el CERN. Para poder hacer predicciones sobre las párticulas fundamentales que podamos ver allí, pareciera que todas son facetas de alguna extraña forma simétrica en un espacio dimensional superior.
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Y creo que Galileo resumió muy bien el poder de las matemáticas, para entender el mundo científico que nos rodea. Escribió: "El universo no puede ser leído hasta que hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas, sin cuyos medios es humanamente imposible comprender una sola palabra".
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Pero no son sólo los científicos quienes están interesados en la simetría. A los artistas también les encanta jugar con la simetría. También tienen una relación un poco más ambigua con ella. Este es Thomas Mann hablando de simetría en “La montaña mágica". Tiene un personaje que describe el copo de nieve. y dice que "...se estremecía ante su perfecta precisión, le parecía mortal, la misma médula de la muerte".
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Pero lo que los artistas gustan de hacer es crear expectativas de simetría y luego quebrarlas. Y un hermoso ejemplo de esto lo encontré, de hecho, cuando visité a un colega mío en Japón, el profesor Kurokawa. Y me llevó a los templos en Nikko. Y justo luego de que esta foto fuera tomada subimos las escaleras. Y el portal que ven detrás tiene ocho columnas, con bellos diseños simétricos en ellas. Siete de ellas son exactamente iguales, y la octava está puesta al revés.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Y le dije al Profesor Kurokawa, "¡Ah!, los arquitectos deben haber querido patearse reprochándose al darse cuenta de que habían cometido un error y habían puesto esta columna al revés." Y él dijo: "No, no, no. Fue una acción deliberada." Y me remitió a esta encantadora cita de los "Ensayos en ociosidad", japoneses, del siglo catorce. En los cuales, el ensayista escribió: "En todo, la uniformidad es indeseable. Dejar algo incompleto lo hace interesante, y le da a uno la impresión de que hay espacio para el crecimiento". Incluso construyendo el Palacio Imperial, siempre dejan un lugar inacabado.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Pero si tuviera que elegir un edificio en el mundo para que lo pusieran en una isla desierta, donde pasar el resto de mi vida, siendo un adicto a la simetría, probablemente elegiría la Alhambra en Granada. Este lugar es un palacio que celebra la simetría. Recientemente llevé a mi familia -- hacemos esta especie de viajes matemáticos de “cerebritos”, que mi familia adora. Este es mi hijo Tamer. Como pueden ver, está realmente disfrutando de nuestro viaje matemático a la Alhambra. Pero quería tratar de enriquecerlo. Creo que uno de los problemas de la matemática en las escuelas es que no considera cómo la matemática está integrada en el mundo en el que vivimos. Así que, quería abrirle los ojos con respecto a cuánta simetría fluye a través de la Alhambra.
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Ya lo ves. Inmediatamente, cuando entras, la simetría reflectiva en el agua. Pero es en las paredes donde suceden todas las cosas excitantes. A los artistas moros se les negó la posibilidad de dibujar cosas con almas. Entonces exploraron un arte más geométrico. Y entonces ¿qué es la simetría? La Alhambra de algún modo hace todas estas preguntas. ¿Qué es la simetría? Cuando hay dos de estas paredes, ¿siempre tienen las mismas simetrías? ¿Podemos decir si descubrieron todas las simetrías en la Alhambra?
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Y fue Galois quien produjo un lenguaje para poder responder algunas de estas preguntas. Para Galois, la simetría -- a diferencia de Thomas Mann, para quien era algo quieto y sepulcral -- para Galois, la simetría era todo sobre el movimiento. ¿Qué puedes hacerle a un objecto simétrico, moverlo de algún modo, de modo que se ve de la misma manera como se veía antes de que lo movieras? Me gusta describirlo como pases mágicos. ¿Qué puedes hacerle a algo? Cierras los ojos. Hago algo, vuelvo a bajarlo. Se ve igual que antes de que comenzara.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Entonces, por ejemplo, las paredes en la Alhambra, puedo tomar todos estos azulejos, y fijarlos en el lugar amarillo, rotarlos noventa grados, volver a bajarlos y encajan perfectamente. Y si abrieran sus ojos nuevamente, no sabrían que se habían movido. Pero es el movimiento lo que realmente caracteriza la simetría dentro de la Alhambra. Pero es también sobre producir un lenguaje para describir esto. Y el poder de las matemáticas a menudo es convertir una cosa en otra, convertir la geometría en lenguaje.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Por eso voy a llevarlos, tal vez exigirles un poquito matemáticamente -- entonces prepárense -- exigirles un poco para que entiendan cómo funciona este lenguaje, que nos permite captar qué es la simetría. Así que, tomemos estos dos objetos simétricos. Tomemos la estrella de mar de seis puntas retorcidas. ¿Qué puedo hacerle a la estrella de mar que haga que se vea igual? Bueno, ahí la giré un sexto de vuelta, y aún se ve como se veía antes de que comenzara. Podría rotarla un tercio de vuelta, o media vuelta, o bajarla nuevamente sobre su imagen, o dos tercios de vuelta. Y una quinta simetría, puedo rotarla cinco sextos de vuelta. Y esas son cosas que le puedo hacer al objeto simétrico que hacen que se vea como se veía antes de que comenzara.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Ahora, para Galois, de hecho había una sexta simetría. ¿Puede alguien pensar qué más podría hacerle a esto que lo dejaría tal y como estaba antes de comenzar? No puedo darle la vuelta porque le he puesto un pequeño retorcimiento, ¿o no? No posee simetría reflectiva. Pero lo que podría hacer es simplemente dejarla donde está, levantarla, y volver a bajarla. Y para Galois esto era como la simetría cero. De hecho la invención del número cero era un concepto muy moderno, siglo siete d.C., por los Indios. Parece disparatado hablar sobre nada. Y esta es la misma idea. Esto es un -- Así que todo tiene simetría, cuando simplemente lo dejas donde está.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Entonces, este objeto tiene seis simetrías. ¿Y qué tal el triángulo? Bueno, puedo rotarlo un tercio de vuelta en el sentido de las agujas del reloj o un tercio de vuelta en el sentido contrario. Pero ahora esto tiene algo de simetría reflectiva. Puedo reflejarlo en la línea que pasa a través de la X, o la línea a través de la Y, o la línea a través de la Z. Cinco simetrías y luego, claro, la simetría cero donde sólo lo levanto y vuelvo a dejarlo donde estaba. Entonces, ambos objetos tiene seis simetrías. Ahora bien, yo soy un gran creyente de que la matemática no es un deporte para espectadores, y tienes que hacer algo de matemáticas para realmente entenderlas.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Por lo que tengo una pequeña pregunta para ustedes. Y voy a dar un premio al final de mi charla a la persona que se acerque más a la respuesta. El cubo de Rubik. ¿Cuántas simetrías tiene un cubo de Rubik? ¿Cuántas cosas puedo hacerle a este objeto y bajarlo de modo que siga viéndose como un cubo? ¿De acuerdo? Quiero que piensen sobre ese problema mientras seguimos, y cuenten cuántas simetrías hay. Y al final habrá un premio para la persona que se acerque más.
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Pero volvamos a las simetrías que tengo para estos dos objetos. De lo que Galois se dio cuenta: no son sólo las simetrías individuales, sino cómo interactúan entre ellas lo que realmente caracteriza la simetría de un objeto. Si hago un pase mágico, seguido por otro, la combinación es un tercer pase mágico. Y aquí vemos a Galois comenzando a desarrollar un lenguaje para ver la sustancia de las cosas que no pueden verse, el tipo de idea abstracta de la simetría que subyace bajo este objeto físico. Por ejemplo, ¿qué sucedería si giro la estrella un sexto de vuelta, y luego un tercio de vuelta?
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
He puesto nombres. Las letras mayúsculas, A, B, C, D, E, F, son los nombres para las rotaciones. B, por ejemplo, rota el pequeño punto amarillo a la B en la estrella de mar. Y así sucesivamente. Entonces, ¿Qué sucede si hago la rotación B, que es un sexto de vuelta, seguida de la C, que es un tercio de vuelta? Bueno, hagamos eso. Un sexto de vuelta, seguido por un tercio de vuelta, el efecto combinado es igual a si sólo la hubiera rotado media vuelta de una sola vez. Así, esta pequeña tabla registra cómo funciona el álgebra de estas simetrías. Hago una seguida de la otra, la respuesta es la rotación D, media vuelta. ¿Qué sucedería si lo hiciera en el orden inverso? ¿Haría alguna diferencia? Veamos. Hagamos primero el tercio de vuelta, y luego el sexto de vuelta. Claro, no hace ninguna diferencia. Aun así termina siendo media vuelta.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Y hay aquí cierta simetría en el modo en que las simetrías interactúan entre ellas. Pero esto es completamente diferente a las simetrías del triángulo. Veamos qué sucede si hacemos dos simetrías con el triángulo, una después de la otra. Hagamos una rotación de un tercio de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj, y reflejemos en la línea a través de X. Bueno, el efecto combinado es como si hubiera hecho la reflexión en la línea a través de Z al comenzar. Ahora, hagámoslo en un orden diferente. Hagamos primero la reflexión en X, seguida de una rotación de un tercio de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj. El efecto combinado, el triángulo termina en un lugar completamente diferente. Es como si hubiera sido reflejado en la línea a través de Y.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Ahora sí importa en qué orden haces las operaciones. Y esto nos permite distinguir el por qué las simetrías de estos objetos -- ambos tienen seis simetrías. Entonces, ¿Por qué no deberíamos decir que tienen las mismas simetrías? Pero el modo en que las simetrías interactúan nos permite -- ahora tenemos un lenguaje para distinguir por qué estas simetrías son fundamentalmente diferentes. Y puedes intentar esto cuando vayas al bar más tarde. Toma un posavasos, y rótalo un cuarto de vuelta, luego dale la vuelta. Y luego hazlo en el otro orden, y la imagen estará apuntando en la dirección contraria.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Galois produjo algunas leyes para cómo estas tablas – para cómo interactúan las simetrías. Son casi como las tablas de Sudoku. No ves ninguna simetría dos veces en ninguna fila o columna. Y, usando esas reglas, fue capaz de afirmar que de hecho hay sólo dos objetos con seis simetrías. Y éstas serán las mismas que las simetrías del triángulo, o las simetrías de la estrella de mar de seis puntas. Pienso que esto es un desarrollo extraordinario. Es casi como un desarrollo del concepto de número para la simetría. Aquí, en la parte del frente, tengo una, dos, tres personas sentadas en una, dos, tres sillas. Las personas en las sillas son muy diferentes, pero el número, la idea abstracta de número, es la misma.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Y podemos ver esto ahora: volvemos a las paredes en la Alhambra. Aquí hay dos paredes muy diferentes, imágenes geométricas muy distintas. Pero, usando el lenguaje de Galois, podemos entender que las simetrías abstractas subyacentes a estas cosas son de hecho las mismas. Por ejemplo, tomemos esta hermosa pared con los triángulos con un pequeño retorcimiento. Puedes rotarlos un sexto de vuelta si ignoras los colores. No estamos haciendo coincidir los colores. Pero las formas coinciden si roto la imagen un sexto de vuelta alrededor del punto donde todos los triángulos se encuentran. ¿Qué hay del centro del triángulo? Puedo rotar un tercio de vuelta alrededor del centro del triángulo, y todo coincide. Y luego hay un lugar interesante a medio camino sobre un borde, donde puedo rotarlo 180 grados. Y todos los azulejos coinciden nuevamente. Entonces rotemos en el punto a medio camino sobre el borde, y todos coinciden.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Ahora, sigamos con la pared de aspecto muy distinto en la Alhambra. Y encontramos aquí las mismas simetrías, y la misma interacción. Hubo un sexto de vuelta. Un tercio de vuelta donde las piezas Z se encuentran. Y la media vuelta está a medio camino entre las estrellas de seis puntas. Y aunque estas paredes se ven muy distintas, Galois ha producido un lenguaje para decir que de hecho las simetrías subyacentes aquí son exactamente las mismas. Y es una simetría que llamamos 6-3-2.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Aquí hay otro ejemplo en la Alhambra. Estos son una pared, un techo y un piso. Todos se ven muy distintos. Pero este lenguaje nos permite decir que son representaciones del mismo objeto simétrico abstracto, que llamamos 4-4-2. Nada que ver con fútbol, sino con el hecho de que hay dos lugares donde puedes rotar con un cuarto de vuelta, y un lugar con una media vuelta.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Ahora, este poder del lenguaje es aún más, porque Galois puede decir, "¿Los artistas moros descubrieron todas las simetrías posibles en las paredes de la Alhambra?" Y resulta ser que casi lo hicieron. Puedes demostrar, utilizando el lenguaje de Galois, que de hecho sólo hay 17 simetrías diferentes que puedes aplicar en las paredes en la Alhambra. Y si intentas producir una pared diferente, una dieciochoava, tendrá que tener las mismas simetrías que una de estas 17.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Pero estas son cosas que podemos ver. Y el poder del lenguaje matemático de Galois es que también nos permite crear objetos simétricos en el mundo que no se ve, más allá de lo bidimensional, de lo tridimensional, pasando por todos los espacios de cuatro, cinco, o infinitas dimensiones. Y en esto es en lo que yo trabajo. Yo creo objetos matemáticos, objetos simétricos, usando el lenguaje de Galois, en espacios dimensionales muy superiores. Así, creo que es un gran ejemplo de cosas ocultas, que el poder del lenguaje matemático te permite crear.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Entonces, como Galois, me quedé despierto ayer toda la noche creando un nuevo objeto matemático simétrico para ustedes. Y tengo su imagen aquí. Bueno, desafortunadamente, no es en verdad una imagen. Si pudiera tener mi pizarra aquí a un lado, genial, excelente. Aquí estamos. Desafortunadamente no puedo mostrarles una imagen de este objeto simétrico. Pero aquí está el lenguaje que describe como las simetrías interactúan.
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Este nuevo objeto simétrico todavía no tiene nombre. Ahora bien, a la gente le gusta ponerle su nombre a las cosas, a los cráteres en la Luna, o a nuevas especies de animales. De modo que voy a darles una oportunidad de poner sus nombres en un nuevo objeto simétrico que no ha sido nombrado antes. Y esta cosa -- las especies desaparecen, y las lunas, medio que son golpeadas por meteoritos y explotan -- pero este objeto matemático vivirá por siempre. Te hará inmortal. Para ganar este objeto simétrico, lo que deben hacer es contestar a la pregunta que les hice al comienzo. ¿Cuántas simetrías tiene un cubo de Rubik?
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Bueno, voy a ordenarlos. En vez de que estén todos gritando, quiero que cuenten cuántos dígitos hay en ese número, ¿de acuerdo? Si lo han obtenido como un factorial, tienen que expandir los factoriales. Bueno, ahora si quieren jugar, quiero que se pongan de pie, ¿de acuerdo? Si creen que tienen una estimación por cuántos dígitos, bueno -- ya tenemos un competidor aquí -- Si todos se quedan sentados él lo gana automáticamente. Bueno, Excelente. Tenemos entonces cuatro, cinco, seis. Genial. Excelente. Eso nos debería permitir comenzar. Bueno.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Cualquiera que tenga cinco o menos dígitos, debe sentarse. Porque ha subestimado. Cinco o menos dígitos. Si están en las decenas de miles tienen que sentarse. 60 dígitos o más, deben sentarse. Han sobre estimado. 20 dígitos o menos, siéntense. ¿Cuántos dígitos hay en tu número? ¿Dos? Entonces deberías haberte sentado antes. (Risas) Veamos los otros, los que se sentaron durante la ronda de los 20, vuelvan a levantarse, ¿de acuerdo? Si te he dicho 20 o menos, ponte de pie. Porque éste -- . Creo que había unos cuantos por aquí. Las personas que acaban de sentarse de últimos.
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Bueno. ¿Cuántos dígitos tienes en tu número? (Risas) 21. Bueno, bien. ¿Cuántos tienes tú en el tuyo? 18. Entonces es para esta dama aquí. 21 es el más cercano. De hecho tiene -- el número de simetrías en el cubo de Rubik tiene 25 dígitos. Entonces ahora necesito nombrar este objeto. ¿Cuál es tu nombre? Necesito tu apellido. Los objetos simétricos por lo general -- Deletréamelo. G-H-E-Z No, SO2 ya ha sido usado, de hecho, en el lenguaje matemático. Así que no puedes tener ese. Bueno Ghez, ahí tienes. Este es tu nuevo objeto simétrico. Ahora eres inmortal. (Aplausos)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)
Y si quisieran sus propios objetos simétricos, tengo un proyecto, para recaudar dinero para una organización benéfica en Guatemala, en el que me quedaré despierto toda la noche y haré un objeto para ustedes, por una donación a esta entidad benéfica para ayudar a los niños a tener una educación, en Guatemala. Y creo que lo que me motiva, como matemático, son esas cosas que no se ven, las cosas que no hemos descubierto. Son todas las preguntas sin respuesta las que hacen a las matemáticas una materia viva. Y siempre retornaré a esta cita de los "Ensayos en ociosidad". "En todo, la uniformidad es indeseable. Dejar algo incompleto lo hace interesante, y le da a uno la impresión de que hay espacio para el crecimiento". Gracias. (Aplausos)