Στις 30 Μαΐου, το 1832, ένας πυροβολισμός ακούστηκε να ηχεί σε ολόκληρο το 13ο διαμέρισμα του Παρισιού. (Πυροβολισμός) Ένας αγρότης, που πήγαινε στην αγορά εκείνο το πρωινό, έτρεξε προς τη μεριά του πυροβολισμού και βρήκε έναν νεαρό άντρα να σφαδάζει στο πάτωμα, τραυματισμένος από πυροβολισμό μονομαχίας. Το όνομα του νεαρού ήταν Εβαρίστ Γκαλουά. Εκείνο τον καιρό, ήταν γνωστός επαναστάτης στο Παρίσι. Πήγαν τον Γκαλουά στο τοπικό νοσοκομείο όπου πέθανε την επόμενη μέρα στα χέρια του αδελφού του. Οι τελευταίες λέξεις του ήταν, «Μην κλάψεις για μένα, Αλφρέντ. Χρειάζομαι όλο το κουράγιο που μπορώ να επιστρατεύσω για να πεθάνω στην ηλικία των 20».
On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Όμως δεν ήταν η επαναστατική πολιτική που έκανε διάσημο τον Γκαλουά. Αλλά μερικά χρόνια νωρίτερα, ενώ ήταν ακόμη στο σχολείο, είχε λύσει ένα από τα μεγάλα μαθηματικά προβλήματα της εποχής. Και έγραψε στους ακαδημαϊκούς στο Παρίσι, προσπαθώντας να εξηγήσει τη θεωρία του. Αλλά οι ακαδημαϊκοί δεν μπορούσαν να καταλάβουν τίποτα. (Γέλια) Έτσι έγραφε κυρίως τα μαθηματικά του.
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
Τη νύχτα πριν από τη μονομαχία, συνειδητοποίησε ότι μάλλον αυτή είναι η τελευταία του ευκαιρία για να εξηγήσει το μεγάλο του επίτευγμα. Έτσι ξενύχτησε γράφοντας, προσπαθώντας να εξηγήσει τις ιδέες του. Και καθώς ξημέρωσε και πήγε να συναντήσει το πεπρωμένο του, άφησε τη στοίβα με τα χαρτιά στο τραπέζι για την επόμενη γενιά. Ίσως επειδή ξενύχτησε με τα μαθηματικά, είχε τόσο κακό σημάδι εκείνο το πρωί και σκοτώθηκε.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Αλλά μέσα σε αυτά τα έγγραφα ήταν μια νέα γλώσσα, μια γλώσσα για την κατανόηση μίας από τις πιο θεμελιώδεις έννοιες της επιστήμης -- δηλαδή της συμμετρίας. Η συμμετρία είναι σχεδόν η γλώσσα της φύσης. Μας βοηθά να κατανοήσουμε πολλά διαφορετικά κομμάτια του επιστημονικού κόσμου. Για παράδειγμα, τη μοριακή δομή. Τις δυνατότητες των κρυστάλλων, μπορούμε να τις καταλάβουμε με τα μαθηματικά της συμμετρίας.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
Στη μικροβιολογία δεν θέλεις να βρεις ένα συμμετρικό αντικείμενο, γιατί γενικά είναι δυσάρεστο. Ο ιός της γρίπης των χοίρων, είναι ένα συμμετρικό αντικείμενο. Χρησιμοποιεί την αποτελεσματικότητα της συμμετρίας για να μπορεί να διαδίδεται τόσο καλά. Σε μεγαλύτερη βιολογική κλίμακα, όμως, η συμμετρία είναι πολύ σημαντική, επειδή όντως μεταφέρει γενετική πληροφορία.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
Εδώ έβγαλα δύο φωτογραφίες και τις έκανα τεχνητά συμμετρικές. Αν σας ρωτήσω ποιες από αυτές βρίσκετε πιο όμορφες, μάλλον θα κλίνετε προς τις δύο κάτω. Επειδή είναι δύσκολο να κάνεις συμμετρία κι αν μπορείτε να γίνετε συμμετρικοί, στέλνετε σήμα ότι έχετε καλά γονίδια, ότι έχετε καλή ανατροφή και επομένως θα είσαστε καλός σύντροφος. Άρα η συμμετρία είναι μια γλώσσα που βοηθά να επικοινωνήσετε γενετική πληροφορία.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Η συμμετρία επίσης μπορεί να μας βοηθήσει να εξηγήσουμε τι συμβαίνει στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων στο CERN. Ή τι δεν συμβαίνει στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων στο CERN. Η δυνατότητα να κάνεις προβλέψεις για τα στοιχειώδη σωματίδια που μπορεί να δούμε εκεί, φαίνεται πως είναι όλα όψεις από κάποιο παράξενο συμμετρικό σχήμα σε μια υψηλότερη διάσταση.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Ο Γαλιλαίος συνόψισε θαυμάσια τη δύναμη των μαθηματικών για την κατανόηση του επιστημονικού κόσμου γύρω μας. Έγραψε, «Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί μέχρι να μάθουμε τη γλώσσα και να εξοικειωθούμε με του χαρακτήρες με τους οποίους έχει γραφτεί. Είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς αυτά τα μέσα είναι ανθρώπινα αδύνατο να κατανοήσουμε έστω και μία λέξη».
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Αλλά δεν ενδιαφέρονται μόνο οι επιστήμονες για τη συμμετρία. Και οι καλλιτέχνες αρέσκονται να παίζουν με τη συμμετρία. Έχουν μια κάπως πιο διφορούμενη σχέση μαζί της. Εδώ, ο Τόμας Μαν μιλάει για τη συμμετρία στο «Μαγικό Βουνό». Έχει έναν χαρακτήρα που περιγράφει τη χιονονιφάδα και λέει πως «ανατρίχιασε με την τέλεια ακρίβειά της, την βρήκε θανατηφόρα, το ίδιο το μεδούλι του θανάτου». Στους καλλιτέχνες αρέσει να δημιουργούν προσδοκίες συμμετρίας
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death." But what artists like to do is to set up expectations
και μετά να τις καταστρέφουν. Βρήκα ένα υπέροχο παράδειγμα όταν επισκέφθηκα έναν συνάδελφό μου στην Ιαπωνία, τον καθηγητή Κουροκάουα. Με ανέβασε στους ναούς στο Νίκκο. Μόλις τραβήχτηκε αυτή η φωτογραφία ανεβήκαμε τις σκάλες. Και η πύλη που βλέπετε από πίσω έχει οχτώ κολώνες, με υπέροχα συμμετρικά σχέδια πάνω τους. Τα επτά από αυτά είναι ακριβώς τα ίδια και το όγδοο είναι αναποδογυρισμένο.
of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Είπα στον Καθηγητή Κουροκάουα, «Ουάου, οι αρχιτέκτονες πρέπει να χτύπαγαν τα κεφάλια τους όταν κατάλαβαν ότι είχαν κάνει λάθος και μπήκε ανάποδα». Και είπε, «Όχι, όχι, όχι. Έγινε επίτηδες». Και μου ανέφερε αυτό το υπέροχο Ιαπωνικό απόσπασμα «Δοκίμια στην Απραξία» από τον 14ο αιώνα, όπου ο δοκιμιογράφος έγραψε, «Στα πάντα, η ομοιομορφία είναι ανεπιθύμητη. Αφήνοντας κάτι ατελές το κάνει ενδιαφέρον και αφήνει το αίσθημα ότι υπάρχει χώρος για ανάπτυξη». Ακόμη κι όταν έχτιζαν το Αυτοκρατορικό Παλάτι πάντα άφηναν ένα κομμάτι ατελές.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Αλλά αν έπρεπε να επιλέξω ένα κτίριο στον κόσμο να ναυαγήσω σ' ένα ερημονήσι για να ζήσω την υπόλοιπη ζωή μου, ως εθισμένος στη συμμετρία, μάλλον θα επέλεγα την Αλάμπρα στη Γρενάδα. Είναι ένα παλάτι που τιμά τη συμμετρία. Πρόσφατα πήγα την οικογένεια μου -- κάνουμε τέτοια μαθηματικά ταξίδια, που η οικογένειά μου αγαπά. Αυτός είναι ο γιος μου, ο Τάμερ. Βλέπετε πως διασκεδάζει στο μαθηματικό μας ταξίδι στην Αλάμπρα. Αλλά ήθελα να προσπαθήσω και να τον μορφώσω. Ένα από τα προβλήματα των μαθηματικών στο σχολείο είναι που δεν βλέπει πώς τα μαθηματικά είναι ενσωματωμένα στον κόσμο που ζούμε. Ήθελα να του ανοίξω τα μάτια στη συμμετρία που ρέει μέσα στην Αλάμπρα.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Τη βλέπετε ήδη. Αμέσως μόλις μπείτε μέσα η αντανακλαστική συμμετρία στο νερό. Αλλά τα συναρπαστικά πράγματα συμβαίνουν στους τοίχους. Οι Μαυριτανοί καλλιτέχνες στερήθηκαν της δυνατότητας να σχεδιάσουν πράγματα με ψυχή. Έτσι εξερεύνησαν μια πιο γεωμετρική τέχνη. Και τι είναι η συμμετρία; Η Αλάμπρα, κατά κάποιον τρόπο, κάνει όλες αυτές τις ερωτήσεις. Τι είναι η συμμετρία; Πότε δύο από τους τοίχους έχουν την ίδια συμμετρία; Μπορούμε να πούμε αν έχουν ανακαλύψει όλες τις συμμετρίες στην Αλάμπρα;
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Και ο Γκαλουά ήταν αυτός που παρήγαγε μια γλώσσα για να μπορέσει να απαντήσει μερικά από αυτά τα ερωτήματα. Για τον Γκαλουά, η συμμετρία -- σε αντίθεση με τον Τόμας Μαν, για τον οποίο ήταν κάτι ακίνητο και νεκρικό -- για τον Γκαλουά, η συμμετρία είχε να κάνει με την κίνηση. Τι μπορείτε να κάνετε σ' ένα συμμετρικό αντικείμενο, να το μετακινήσετε ώστε να φαίνεται το ίδιο όπως πριν το μετακινήσετε; Μου αρέσει να το περιγράφω ως κινήσεις του μαγικού κόλπου. Τι μπορείτε να κάνετε; Κλείνετε τα μάτια σας. Κάνω κάτι, το αφήνω. Μοιάζει όπως όταν ξεκίνησε.
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Έτσι, π.χ, οι τοίχοι στην Αλάμπρα -- μπορώ να πάρω όλα αυτά τα πλακάκια και να τα κολλήσω στο κίτρινο μέρος, να τα περιστρέψω κατά 90 μοίρες, να τα βάλω όλα πάλι κάτω και θα ταιριάζουν τέλεια εκεί κάτω. Κι όταν ξανανοίξετε τα μάτια, δεν θα ξέρετε ότι μετακινήθηκαν. Αλλά είναι η κίνηση που πραγματικά χαρακτηρίζει τη συμμετρία μέσα στην Αλάμπρα. Σχετίζεται και με τη δημιουργία μιας γλώσσας για την περιγραφή του. Συχνά η δύναμη των μαθηματικών είναι το ν' αλλάζει ένα πράγμα σε κάτι άλλο, ν' αλλάζει τη γεωμετρία σε γλώσσα.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Θα σας μεταφέρω, ίσως να σας πιέσω λιγάκι μαθηματικά -- γι' αυτό κρατηθείτε -- να σας πιέσω για να καταλάβετε πώς λειτουργεί αυτή η γλώσσα που μας επιτρέπει να συλλάβουμε τι είναι συμμετρία. Ας πάρουμε αυτά τα δύο συμμετρικά αντικείμενα εδώ. Ας πάρουμε τον συνεστραμμένο εξάκτινο αστερία. Τι μπορώ να κάνω ώστε ο αστερίας να φαίνεται ίδιος; Λοιπόν, εδώ τον περιέστρεψα κατά ένα έκτο της περιστροφής και ακόμη φαίνεται όπως πριν ξεκινήσω. Θα μπορούσα να τον περιστρέψω κατά ένα τρίτο της περιστροφής, ή κατά μισή περιστροφή, ή να τον γυρίσω ανάποδα, ή κατά δύο τρίτα της περιστροφής. Και μια πέμπτη συμμετρία, μπορώ να τον περιστρέψω κατά πέντε έκτα. Είναι πράγματα που μπορώ να κάνω στο συμμετρικό αντικείμενο που το κάνουν να φαίνεται όπως ήταν πριν ξεκινήσω.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started. Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.
Τώρα, για τον Γκαλουά, υπήρχε και μια έκτη συμμετρία. Σκέφτεται κανείς τι άλλο θα μπορούσα να κάνω που θα το άφηνε όπως πριν ξεκινήσω; Δεν μπορώ να το αναποδογυρίσω επειδή έχει ένα στρίψιμο, σωστά; Δεν έχει ανακλαστική συμμετρία. Αλλά αυτό που μπορώ να κάνω είναι να το αφήσω εκεί που είναι, να το σηκώσω και να το βάλω πάλι κάτω. Για τον Γκαλουά αυτή ήταν σαν τη μηδενική συμμετρία. Στην πραγματικότητα, η εφεύρεση του αριθμού μηδέν είναι μια πολύ σύγχρονη έννοια, έβδομος αιώνας μ.Χ. από τους Ινδούς. Φαίνεται τρελό να μιλάς για το τίποτα. Αυτή είναι η ίδια ιδέα. Αυτό είναι ένα συμμετρικό -- άρα όλα έχουν συμμετρία, απλώς τα αφήνετε όπου είναι.
Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is. So, this object has six symmetries.
Άρα αυτό το αντικείμενο έχει έξι συμμετρίες. Και τι γίνεται με το τρίγωνο; Λοιπόν, μπορώ να το περιστρέψω κατά ένα τρίτο δεξιόστροφα ή ένα τρίτο αριστερόστροφα. Αλλά τώρα έχει μερική ανακλαστική συμμετρία. Μπορώ να την αντικατοπτρίσω στη γραμμή που διαπερνά το Χ ή στη γραμμή που διαπερνά το Υ, ή στη γραμμή που διαπερνά το Ζ. Πέντε συμμετρίες και μετά φυσικά η μηδενική συμμετρία όπου απλά το σηκώνω και το αφήνω εκεί που είναι. Έτσι και τα δύο αντικείμενα έχουν έξι συμμετρίες. Πιστεύω ακράδαντα ότι τα μαθηματικά δεν είναι άθλημα για θεατές και πρέπει να κάνεις μερικά μαθηματικά για να τα καταλάβεις πραγματικά.
And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it. So here is a little question for you.
Ιδού μια ερωτησούλα για σας. Θα δώσω και βραβείο στο τέλος της ομιλίας στο άτομο που θα προσεγγίσει την απάντηση. Ο κύβος του Ρούμπικ. Πόσες συμμετρίες έχει ο κύβος του Ρούμπικ; Πόσα πράγματα μπορώ να κάνω σε αυτό το αντικείμενο και να το επιστρέψω έτσι ώστε να συνεχίζει να μοιάζει με κύβο; Εντάξει; Λοιπόν, σκεφτείτε αυτό το πρόβλημα καθώς προχωράμε και μετρήστε πόσες συμμετρίες υπάρχουν. Όποιος είναι πιο κοντά θα πάρει βραβείο στο τέλος. Αλλά ας επιστρέψουμε στις συμμετρίες που έχω γι' αυτά τα δύο αντικείμενα.
And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end. But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.
Αυτό που συνειδητοποίησε ο Γκαλουά: δεν είναι μόνο οι επιμέρους συμμετρίες, αλλά και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους που πραγματικά χαρακτηρίζει τη συμμετρία ενός αντικειμένου. Αν κάνω μια μαγική κίνηση, ακολουθούμενη από μια άλλη, ο συνδυασμός είναι μια τρίτη μαγική κίνηση. Κι εδώ βλέπουμε τον Γκαλουά να ξεκινά να αναπτύσσει μια γλώσσα για να δει την ουσία των πραγμάτων που δεν είναι ορατά, το είδος της αφηρημένης ιδέας της συμμετρίας που διέπει αυτό το φυσικό αντικείμενο. Για παράδειγμα, αν γυρίσω τον αστερία κατά ένα έκτο της περιστροφής και μετά κατά ένα τρίτο;
What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn? So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,
Έχω δώσει ονόματα. Τα κεφαλαία γράμματα, A, B, C, D, E, F, είναι τα γράμματα για τις περιστροφές. Το Β, για παράδειγμα, περιστρέφει την κίτρινη κουκκίδα. στο Β στον αστερία. Και ούτω καθεξής. Τι θα γίνει αν κάνω το Β, που είναι ένα έκτο της περιστροφής, ακολουθούμενο από το C, που είναι ένα τρίτο της περιστροφής; Ας το κάνουμε. Ένα έκτο και μετά ένα τρίτο, το συνδυασμένο αποτέλεσμα είναι σαν να το είχα κάνει μόνο μισή περιστροφή μονομιάς. Αυτό εδώ το πινακάκι καταγράφει το πώς λειτουργεί η άλγεβρα αυτών των συμμετριών. Κάνω μία, μετά άλλη, η απάντηση είναι η περιστροφή D, μισή στροφή. Και αν το έκανα με άλλη σειρά; Θα είχε διαφορά; Ας δούμε. Ας κάνουμε πρώτα το τρίτο της περιστροφής, και μετά το έκτο της περιστροφής. Φυσικά, δεν υπάρχει καμία διαφορά. Καταλήγει και πάλι στην μισή στροφή.
are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn. And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.
Και υπάρχει εδώ κάποια συμμετρία σχετικά με τον τρόπο της αλληλεπίδρασης. Είναι όμως τελείως διαφορετικό στις συμμετρίες του τριγώνου. Ας δούμε τι συμβαίνει αν κάνουμε δυο διαδοχικές συμμετρίες με το τρίγωνο. Ας κάνουμε μiα περιστροφή κατά ένα τρίτο αριστερόστροφα, και να αντικατοπτρίσουμε την γραμμή στο Χ. Λοιπόν, το συνδυασμένο αποτέλεσμα είναι σαν να είχα κάνει την αντανάκλαση στη γραμμή στο Z. Τώρα, ας το κάνουμε με διαφορετική σειρά. Ας κάνουμε την αντανάκλαση πρώτα στο Χ, και μετά την περιστροφή κατά ένα τρίτο αριστερόστροφα. Το συνδυασμένο αποτέλεσμα, το τρίγωνο καταλήγει κάπου τελείως διαφορετικά. Είναι σαν να αντικατοπτρίστηκε στην γραμμή Υ.
But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Τώρα έχει σημασία με τι σειρά κάνετε τις εργασίες. Και αυτό μας επιτρέπει να διαχωρίσουμε γιατί οι συμμετρίες αυτών των αντικειμένων -- έχουν και τα δύο έξι συμμετρίες. Τότε, γιατί δεν λέμε ότι έχουν τις ίδιες συμμετρίες; Αλλά ο τρόπος που οι συμμετρίες αλληλεπιδρούν μας επιτρέπουν -- τώρα έχουμε μια γλώσσα να διαχωρίσουμε γιατί αυτές οι συμμετρίες είναι ουσιαστικά διαφορετικές. Μπορείτε να το δοκιμάσετε αργότερα στην παμπ. Πάρτε ένα σουβέρ και περιστρέψτε το κατά ένα τέταρτο και μετά αναποδογυρίστε το. Ξανακάντε με την αντίθετη σειρά και η εικόνα θα κοιτάει στην αντίθετη πλευρά. Ο Γκαλουά κατέληξε σε νόμους
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction. Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.
για το πώς αλληλεπιδρούν αυτοί οι πίνακες, οι συμμετρίες Είναι σχεδόν σαν τους πίνακες Σουντόκου. Δεν θα δείτε συμμετρία δύο φορές σε οποιαδήποτε σειρά ή στήλη. Και χρησιμοποιώντας αυτούς τους νόμους, μπόρεσε να πει ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν μόνο δυο αντικείμενα με έξι συμμετρίες. Και θα είναι οι ίδιες συμμετρίες με αυτές του τριγώνου, ή τις συμμετρίες του εξάστερου αστερία. Νομίζω πως είναι μια εκπληκτική ανάπτυξη. Είναι λες και η έννοια του αριθμού να αναπτύχθηκε για τη συμμετρία. Εδώ μπροστά, έχω ένα, δύο, τρία άτομα που κάθονται σε μία, δύο, τρεις καρέκλες. Οι άνθρωποι και οι καρέκλες είναι πολύ διαφορετικά, αλλά ο αριθμός, η αφηρημένη ιδέα του αριθμού, είναι η ίδια. Το βλέπουμε τώρα:
It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same. And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.
επιστρέφουμε στους τοίχους της Αλάμπρα. Εδώ είναι δύο πολύ διαφορετικοί τοίχοι, πολύ διαφορετικές γεωμετρικές εικόνες. Με τη χρήση της γλώσσας του Γκαλουά, μπορούμε να καταλάβουμε ότι οι υποκείμενες αφηρημένες συμμετρίες αυτών των πραγμάτων είναι στην πραγματικότητα ίδιες. Για παράδειγμα, ας πάρουμε αυτόν τον υπέροχο τοίχο με τα τρίγωνα με το μικρό στρίψιμο. Μπορείτε να τα περιστρέψετε κατά ένα έκτο αν αγνοήσετε τα χρώματα. Δεν ταιριάζουμε τα χρώματα. Τα σχέδια όμως ταιριάζουν αν τα περιστρέψω κατά ένα έκτο γύρω από το σημείο όπου συναντιούνται τα τρίγωνα. Τι γίνεται με το κέντρο του τριγώνου; Μπορώ να περιστρέψω κατά ένα τρίτο γύρω από το κέντρο του τριγώνου και όλα ταιριάζουν. Υπάρχει ένα ενδιαφέρον σημείο στο μέσον της άκρης, όπου μπορώ να περιστρέψω κατά 180 μοίρες. Και όλα τα πλακάκια ταιριάζουν και πάλι. Έτσι γυρνώντας στο μισό κατά μήκος της άκρης και πάλι θα ταιριάξουν.
Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up. Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.
Τώρα ας πάμε σε έναν διαφορετικό τοίχο στην Αλάμπρα. Βρίσκουμε τις ίδιες συμμετρίες και την ίδια αλληλεπίδραση. Αυτό ήταν το ένα έκτο. Ένα τρίτο εκεί που συναντιούνται τα κομμάτια Ζ. Και η μισή περιστροφή είναι ανάμεσα στο εξάκτινο αστέρι. Αν και αυτοί οι τοίχοι φαίνονται διαφορετικοί, ο Γκαλουά είχε παράγει μια γλώσσα για να πει ότι στην πραγματικότητα
And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.
οι συμμετρίες που βασίζονται σε αυτήν είναι ακριβώς οι ίδιες. Είναι μια συμμετρία που ονομάζουμε 6-3-2.
And it's a symmetry we call 6-3-2. Here is another example in the Alhambra.
Ορίστε ένα άλλο παράδειγμα της Αλάμπρα. Αυτός είναι ένας τοίχος, ένα ταβάνι κι ένα πάτωμα. Όλα φαίνονται πολύ διαφορετικά. Αλλά αυτή η γλώσσα μας επιτρέπει να πούμε ότι αντιπροσωπεύουν το ίδιο συμμετρικό αφηρημένο αντικείμενο, το οποίο ονομάζουμε 4-4-2. Καμία σχέση με ποδόσφαιρο, αλλά είναι επειδή υπάρχουν δύο σημεία όπου μπορείτε να περιστρέψετε κατά ένα τέταρτο της περιστροφής και ένα από μισή περιστροφή.
This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn. Now, this power of the language is even more,
Τώρα, η δύναμη της γλώσσας αυξάνεται, επειδή ο Γκαλουά μπορεί να πει, «Ανακάλυψαν οι Μαυριτανοί καλλιτέχνες όλες τις δυνατές συμμετρίες στους τοίχους της Αλάμπρα;» Και φαίνεται πως σχεδόν τις βρήκαν. Μπορείτε να αποδείξετε, με τη γλώσσα του Γκαλουά, ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν μόνο 17 διαφορετικές συμμετρίες που μπορείτε να κάνετε στους τοίχους της Αλάμπρα. Και αυτοί, αν προσπαθήσετε να παράγετε έναν διαφορετικό τοίχο με τον 18ο, θα έχει τις ίδιες συμμετρίες όπως ένας από αυτούς τους 17.
because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17. But these are things that we can see.
Αλλά μπορούμε να τα δούμε. Η δύναμη της μαθηματικής γλώσσας του Γκαλουά μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε συμμετρικά αντικείμενα στον μη ορατό κόσμο, πέρα από το διάστημα των δύο και τριών διαστάσεων, μέχρι τις τέσσερις ή πέντε ή άπειρες διαστάσεις. Αυτή είναι η δουλειά μου. Δημιουργώ μαθηματικά αντικείμενα, συμμετρικά αντικείμενα, χρησιμοποιώντας τη γλώσσα του Γκαλουά σε διαστήματα πολλών διαστάσεων. Είναι σπουδαίο παράδειγμα των μη ορατών πραγμάτων, τη δημιουργία των οποίων επιτρέπει η δύναμη της γλώσσας των μαθηματικών.
And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Έτσι, όπως ο Γκαλουα, ξενύχτησα δημιουργώντας ένα νέο μαθηματικό συμμετρικό αντικείμενο για σας κι έχω την εικόνα του εδώ. Δυστυχώς δεν είναι πραγματική φωτογραφία. Αν μπορούσα να έχω τον πίνακά μου στην άκρη εδώ, τέλεια, υπέροχα. Να 'μαστε. Δυστυχώς δεν μπορώ να σας δείξω μια εικόνα αυτού του συμμετρικού αντικειμένου. Αλλά να η γλώσσα που περιγράφει πώς αλληλεπιδρούν οι συμμετρίες.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Τώρα, αυτό το νέο συμμετρικό αντικείμενο δεν έχει ακόμη όνομα. Οι άνθρωποι αγαπούν να δίνουν τ' όνομά τους σε πράγματα, στους κρατήρες στη Σελήνη ή σε νέα είδη ζώων. Θα σας δώσω τη δυνατότητα να ονομάσετε ένα νέο συμμετρικό αντικείμενο που δεν έχει ονομαστεί ακόμη. Και αυτό το πράγμα -- τα είδη εξαφανίζονται, και τα φεγγάρια τα χτυπάνε μετεωρίτες και εκρύγνυνται αλλά αυτό το μαθηματικό αντικείμενο θα ζήσει για πάντα. Θα σας κάνει αθάνατο. Για να κερδίσετε αυτό το συμμετρικό αντικείμενο, θα πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση που σας έκανα στην αρχή. Πόσες συμμετρίες έχει ο κύβος του Ρούμπικ;
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Λοιπόν, ας βάλουμε μια σειρά. Αντί να φωνάζετε όλοι, θέλω να αρχίσετε να μετράτε πόσα ψηφία έχει αυτός ο αριθμός. Εντάξει; Αν το έχετε ως παραγοντικό, θα πρέπει να επεκτείνετε τα παραγοντικά. Εντάξει, τώρα αν θέλετε να παίξετε, θέλω να σηκωθείτε, εντάξει; Αν νομίζετε πως εικάζετε πόσα ψηφία, σωστά -- έχουμε ήδη έναν διαγωνιζόμενο εδώ. Αν μείνετε όλοι καθιστοί κερδίζει αυτόματα. Εντάξει. Τέλεια. Έχουμε τέσσερις εδώ, πέντε, έξι. Υπέροχα. Τέλεια. Ξεκινάμε. Μια χαρά.
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Οποιοσδήποτε με πέντε ή λιγότερα ψηφία, πρέπει να καθήσει, γιατί υποεκτιμήσατε. Πέντε ή λιγότερα ψηφία. Άρα αν είστε στις δεκάδες χιλιάδες πρέπει να καθήσετε. 60 ψηφία και πάνω, πρέπει να καθήσετε. Έχετε υπερεκτιμήσει. 20 ψηφία ή λιγότερα, καθήστε. Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός σας; Δύο; Έπρεπε να είχατε καθήσει πιο πριν. (Γέλια) Οι άλλοι, που κάθισαν στο 20, ας ξανασηκωθούν. Εντάξει; Αν σας είπα 20 ή λιγότερα, σηκωθείτε. Λόγω αυτού. Νομίζω πως υπήρχαν μερικοί εδώ. Εκείνοι που κάθισαν τελευταίοι.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
Εντάξει, πόσα ψηφία έχετε στον αριθμό σας; (Γέλια) 21. Εντάξει, καλά. Πόσα έχετε στον δικό σας; 18. Άρα πάει στην κυρία εδώ. 21 είναι το πλησιέστερο. Στην πραγματικότητα ο αριθμός συμμετριών στον κύβο του Ρούμπικ έχει 25 ψηφία. Τώρα πρέπει να ονομάσω αυτό το αντικείμενο. Λοιπόν, πώς ονομάζεστε; Χρειάζομαι το επώνυμό σας. Γενικά συμμετρικά αντικείμενα -- συλλαβίστε το μου. G-H-E-Z Όχι, το SO2 έχει ήδη χρησιμοποιηθεί στη μαθηματική γλώσσα. Δε γίνεται να το πάρετε. Λοιπόν, Γκετζ, πάμε. Αυτό είναι το νέο σου συμμετρικό αντικείμενο. Τώρα είσαι αθάνατη. (Χειροκρότημα)
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Αν θέλετε το δικό σας συμμετρικό αντικείμενο, έχω ένα πρόγραμμα που συγκεντρώνει χρήματα για μια φιλανθρωπική οργάνωση στη Γουατεμάλα, όπου θα ξενυχτήσω και θα επινοήσω για σας ένα αντικείμενο, για μια δωρεά σε αυτή τη φιλανθρωπική οργάνωση για να βοηθήσουμε στην εκπαίδευση των παιδιών. Και νομίζω ότι αυτό που με ωθεί, ως μαθηματικό, είναι αυτά που δεν είναι ορατά, αυτά που δεν έχουμε ανακαλύψει. Είναι όλα τα αναπάντητα ερωτήματα που κάνουν τα μαθηματικά ένα ζωντανό θέμα. Πάντα θα επιστρέφω σε αυτό το απόσπασμα από τα Ιαπωνικά «Δοκίμια στην Απραξία»: «Στα πάντα, η ομοιομορφία είναι ανεπιθύμητη. Αφήνοντας κάτι ατελές το κάνει ενδιαφέρον και αφήνει το αίσθημα ότι υπάρχει χώρος για ανάπτυξη». Σας ευχαριστώ. (Χειροκρότημα)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)