Am 30. Mai 1832 fiel ein Gewehrschuss im 13. Pariser Bezirk. (Gewehrschuss) Ein Bauer, der an diesem Morgen auf dem Weg zum Markt war, eilte in die Richtung, aus der der Schuss gekommen war. Dort fand er einen jungen Mann, der am Boden lag und sich vor Schmerzen wand. Er war offensichtlich bei einem Duell von einer Kugel getroffen worden. Der Name des jungen Mannes war Evariste Galois. Er war zu jener Zeit ein bekannter Pariser Revolutionär. Galois wurde ins Krankenhaus gebracht, wo er am nächsten Tag in den Armen seines Bruders starb. Das letzte, was er zu seinem Bruder sagte, war: „Weine nicht um mich, Alfred. Ich brauche allen Mut, den ich habe, um mit zwanzig zu sterben.“
On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
Tatsächlich war es nicht seine revolutionäre politische Gesinnung, für die Galois berühmt war. Einige Jahre zuvor jedoch – er ging damals noch zur Schule – hatte er eines der größten mathematischen Probleme seiner Zeit gelöst. Er schrieb den Gelehrten an der Pariser Akademie und versuchte, ihnen seine Theorie darzulegen. Die Gelehrten aber verstanden kein einziges Wort von dem, was er schrieb. (Gelächter) So notierte er fast alle seine mathematischen Überlegungen.
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
In der Nacht vor dem Duell erkannte er, dass dies vermutlich seine letzte Chance war, seinen großen Durchbruch zu erklären. Und so blieb er die ganze Nacht auf, schrieb und schrieb und versuchte, seine Ideen verständlich zu machen. Als der Morgen dämmerte und er sich aufmachte, seinem Schicksal zu begegnen, hinterließ er auf dem Tisch diesen Stapel Papier für die kommende Generation. Vielleicht lag es daran, dass er die ganze Nacht durchgearbeitet hatte, dass er an diesem Morgen so schlecht zielte und tödlich getroffen wurde.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
Aber in diesen seinen Dokumenten war eine neue Sprache enthalten: Eine Sprache, um eines der grundlegenden naturwissenschaftlichen Konzepte zu verstehen – nämlich Symmetrie. Fast könnte man Symmetrie als die Sprache der Natur bezeichnen. Sie erleichtert uns das Verständnis so vieler unterschiedlicher Aspekte in der Welt der Wissenschaft, zum Beispiel das Verständnis molekularer Strukturen. Welche Kristallformen möglich sind, verstehen wir durch die Mathematik der Symmetrie.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
In der Mikrobiologie sind symmetrische Objekte nicht erwünscht, weil sie fast immer äußerst unangenehm sind. Der aktuelle Schweinegrippevirus ist ein symmetrisches Objekt. Er nutzt die Wirksamkeit der Symmetrie, um sich so schnell zu verbreiten, wie er es tut. In einem größeren biologischen Kontext ist Symmetrie jedoch äußerst wichtig, weil sie genetische Informationen kommunizieren kann.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
Ich habe hier zwei Bilder, die ich künstlich symmetrisch gemacht habe. Wenn ich Sie fragen würde, welches davon Sie schöner finden, werden Sie sich vermutlich zu den beiden unteren hingezogen fühlen. Denn es ist schwer, Symmetrie zu erzeugen. Und wenn Sie sich symmetrisch machen können, signalisieren Sie damit, dass Sie gutes Erbmaterial haben, ein gutes Elternhaus, und dass Sie somit einen guten Partner abgeben. Symmetrie ist also eine Sprache, die helfen kann, genetische Informationen zu vermitteln.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
Symmetrie kann uns auch dabei helfen, zu verstehen, was im Large Hadron Collider des CERN passiert. Beziehungsweise, was im Large Hadron Collider des CERN nicht passiert. Sie hilft uns, Voraussagen zu treffen über die grundlegenden Partikel die wir dort vielleicht finden werden. Es scheint, als ob sie alle Aspekte einer fremdartigen symmetrischen Form seien, die sich in einer höheren Dimension befindet.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
Galileo hat, wie ich finde, sehr treffend zusammengefasst, wie die Macht der Mathematik uns hilft, die naturwissenschaftliche Welt um uns herum zu begreifen. Er schrieb: „Wir können das Universum nicht lesen, bevor wir nicht seine Sprache beherrschen und uns mit den Zeichen vertraut machen, in denen es geschrieben ist. Es ist in einer mathematischen Sprache geschrieben. Und ihre Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Formen, ohne die es einem Menschen unmöglich wäre, ein einziges Wort zu verstehen.“
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
Aber nicht nur Wissenschaftler interessieren sich für Symmetrie. Auch Künstler lieben es, mit ihr zu spielen. Sie haben zudem ein etwas zwiespältigeres Verhältnis zu ihr. Das hier ist Thomas Mann, der in seinem „Zauberberg“ über Symmetrie spricht. Er lässt eine seiner Figuren eine Schneeflocke betrachten: „[Dem Leben] schauderte vor der genauen Richtigkeit, es empfand sie als tödlich, als das Geheimnis des Todes selbst.‟
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
Künstler lieben es, Erwartungshaltungen von Symmetrie aufzubauen und sie dann zu brechen. Ein wunderbares Beispiel hierfür entdeckte ich, als ich einen Kollegen in Japan besuchte, Professor Kurokawa. Er nahm mich mit zu den Tempeln von Nikko. Kurz nachdem dieses Foto aufgenommen wurde, stiegen wir die Stufen empor. Das Tor, das Sie im Hintergrund sehen, besteht aus acht Säulen, die mit wundervollen symmetrischen Mustern verziert sind. Sieben der Säulen sind absolut identisch; die achte steht auf dem Kopf.
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
Ich sagte zu Professor Kurrokawa: „Wow! Die Architekten müssen sich ja wirklich die Haare gerauft haben, als sie gemerkt haben, dass sie einen Fehler gemacht und diese hier falsch herum aufgestellt haben.‟ Und er sagte: „Nein, nein, nein. Das war Absicht.‟ Dann verwies er mich auf dieses wunderbare Zitat aus den japanischen „Betrachtungen aus der Stille“ aus dem 14. Jahrhundert. Darin schreibt der Autor: „In allen Dingen ist Gleichförmigkeit wenig wünschenswert. Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant, und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.“ Selbst wenn sie einen kaiserlichen Palast errichten, lassen sie immer einen Bereich unvollendet.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
Aber wenn ich ein Gebäude auf der Welt wählen müsste, um darin auf einer einsamen Insel den Rest meines Lebens zu verbringen, dann würde ich – als Symmetriesüchtiger – die Alhambra in Granada wählen. Dieser Palast ist ein Loblied auf die Symmetrie. Vor kurzem nahm ich meine Familie mit dorthin. Wir unternehmen diese etwas nerdigen mathematischen Ausflüge; meine Familie liebt das. Dies ist meine Sohn Tamer. Wie Sie sehen, hat er viel Freude an unserem mathematischen Ausflug zur Alhambra. Aber ich wollte ihm etwas zeigen, das ihn bereichert. Ich glaube, eines der Probleme mit Schulmathematik ist die Tatsache, dass die Schulen Mathematik nicht im Kontext der Welt sehen, in der wir leben. Ich wollte ihm daher die Augen öffnen dafür, wie viel Symmetrie sich in der Alhambra finden lässt.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
Sobald Sie eintreten, sehen Sie es sofort: die Spiegelsymmetrie im Wasser. Aber es sind die Wände, an denen sich das wirklich Aufregende abspielt. Die maurischen Künstler durften nichts abbilden, das eine Seele hat. Daher fanden sie zu einer eher geometrischen Kunst. Was also ist Symmetrie? Die Alhambra stellt gewissermaßen alle diese Fragen. Was ist Symmetrie? Wenn es zwei solche Wände gibt, besitzen sie dann dieselben symmetrischen Eigenschaften? Können wir behaupten, wir hätten alle Symmetrien der Alhambra entdeckt?
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
Es war Galois, der eine Sprache entwickelte, die in der Lage ist, einige dieser Fragen zu beantworten. Denn für Galois war Symmetrie – anders als für Thomas Mann, für den sie etwas Stilles und Tödliches bedeutete – für Galois ging es bei Symmetrie ausschließlich um Bewegung. Was können Sie mit einem symmetrischen Objekt tun, Wie können Sie es bewegen, so dass es anschließend genauso aussieht wie vorher? Ich nenne das gerne die magischen Züge. Was können Sie mit einem Objekt tun? Schließen Sie Ihre Augen. Ich bewege es und setze es wieder ab. Es sieht so aus wie vorher.
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
Nehmen wir beispielsweise die Wände der Alhambra. Ich kann all diese Kacheln nehmen und am gelben Punkt fixieren, sie um 90 Grad drehen, sie alle absetzen – und sie fügen sich wieder perfekt ein. Wenn Sie Ihre Augen wieder öffnen, würden Sie nicht merken, dass sich die Kacheln bewegt haben. Aber es ist gerade die Bewegung, die die Symmetrie in der Alhambra auszeichnet. Aber es geht auch darum, eine Sprache dafür zu entwickeln. Die Stärke der Mathematik besteht darin, etwas in etwas anderes zu verwandeln; Geometrie in Sprache.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
Ich werde Sie dazu bringen, vielleicht auch mathematisch etwas antreiben, – also halten Sie sich gut fest – ich werde Sie dazu bringen, diese Sprache verstehen, die es uns erlaubt, zu begreifen, was Symmetrie ist. So. Nehmen wir diese beiden symmetrischen Objekte hier. Nehmen wir den sechsarmigen geschwungenen Seestern. Was kann ich mit dem Seestern alles tun, damit er unverändert aussieht? Nun, hier habe ich ihn um eine Sechsteldrehung rotieren lassen. Und er sieht immer noch genauso aus wie vorher. Ich könnte ihn um eine Dritteldrehung drehen, oder eine halbe. Ich könnte ihn auf sich selbst abbilden oder um eine 2/3-Drehung drehen. Es gibt noch eine fünfte Symmetrie: Ich kann ihm um eine Fünfsechstel-Drehung drehen. Das sind die Dinge, die ich mit einem symmetrischen Objekt tun kann, ohne es zu verändern.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
Nun, Galois sah noch eine sechste Symmetrieeigenschaft: Weiß jemand, was ich noch damit tun könnte, ohne es zu verändern? Ich kann es nicht umdrehen, weil ich eine kleine Hürde eingebaut habe, nicht wahr? Es hat keine Spiegelachse. Aber ich kann es einfach dort lassen, wo es ist, es aufnehmen und wieder absetzen. Für Galois war das die nullte Symmetrie. Die Erfindung der Null war übrigens ein sehr modernes Konzept der Inder aus dem 7. Jahrhundert vor Christus. Es scheint verrückt, über Nichts zu reden. Und dies ist dieselbe Idee. Dies ist ein symmetrisches … Alles ist symmetrisch, wenn man es belässt, wo es ist.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
Dieses Objekt hat also sechs Symmetrieeigenschaften. Und was ist mit dem Dreieck? Nun, ich kann es im Uhrzeigersinn um eine Dritteldrehung drehen, oder ein Drittel im Gegenuhrzeigersinn. Aber jetzt gibt es auch eine Spiegelsymmetrie. Ich kann es an der X-Achse spiegeln oder an der Y-Achse oder an der Z-Achse. Fünf Symmetrien und natürlich die nullte Symmetrie, wenn ich es anhebe und auf sich selbst ablege. Beide Objekte haben also sechs Symmetrieeigenschaften. Nun bin ich ja ein großer Anhänger der Idee, dass Mathematik kein Zuschauersport ist, und dass man Mathematik anwenden muss, um sie wirklich zu verstehen.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
Hier also eine kleine Aufgabe für Sie: Und am Ende meines Vortrags erhält derjenige, der der Antwort am nächsten kommt, einen Preis. Der Zauberwürfel. Wie viele Symmetrien hat ein Zauberwürfel? Was kann ich damit tun, damit er hinterher immer noch wie ein Würfel aussieht? Alles klar? Ich möchte, dass Sie darüber nachdenken, während wir weitermachen, und zählen, wie viele Symmetrien er hat. Und wer der Antwort am nächsten kommt, erhält am Ende einen Preis.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
Aber lassen Sie uns nun zurückkehren zu den Symmetrieeigenschaften dieser beiden Objekte. Galois hatte erkannt, dass es nicht nur um individuelle Symmetrien geht, sondern darum, wie sie miteinander interagieren: Das ist es, was die Symmetrie eines Objektes ausmacht. Wenn ich einen magischen Zug ausführe und dann noch einen, ergibt sich daraus eine dritte. Hier sehen wir, wie Galois begann, eine Sprache zu entwickeln, die helfen sollte, die Substanz der unsichtbaren Dinge sichtbar zu machen, die abstrakte Idee der Symmetrie, die diesem physikalischen Objekt zu eigen ist. Was passiert zum Beispiel, wenn ich den Seestern erst um eine Sechsteldrehung drehe und dann um eine Dritteldrehung?
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
Ich habe mal Namen verteilt. Die Großbuchstaben A, B, C, D, E, F sind die Namen für die Drehungen. B zum Beispiel lässt den kleinen gelben Punkt zum B am Seestern wandern und so weiter. Was also, wenn ich zuerst B ausführe, was einer Sechsteldrehung entspricht, und dann C, eine Dritteldrehung? Nun, lassen Sie uns das tun. Eine Sechsteldrehung gefolgt von einer Dritteldrehung: Das Ergebnis aus beiden ist dasselbe, als ob ich den Stern auf einmal um eine halbe Drehung gedreht hätte. Diese kleine Tabelle hier hält fest, wie die Algebra hinter diesen Symmetrien funktioniert. Ich führe erst eine aus und danach eine andere. Die Antwort ist D, eine halbe Drehung. Würde das in der umgekehrten Reihenfolge auch funktionieren? Machte das einen Unterschied? Mal sehen. Zuerst also eine Dritteldrehung und dann eine Sechsteldrehung. Natürlich macht das keinen Unterschied. Es ergibt sich eine halbe Drehung.
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
Auch die Interaktion der Symmetrien ist hier also symmetrisch. Ein Dreieck hingegen hat völlig andere Symmetrieeigenschaften. Sehen wir uns an, was passiert, wenn wir am Dreieck zwei Symmetrien ausführen, eine nach der anderen. Zuerst eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn und dann eine Spiegelung an der X-Achse. Nun, der addierte Effekt ist so, als hätte ich gleich eine Spiegelung an der Z-Achse vorgenommen. Jetzt in umgekehrter Reihenfolge. Zuerst die Spiegelung an der X-Achse, dann eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn. Der Effekt addiert sich zu etwas, was das Dreieck völlig anders aussehen lässt. Es sieht aus, als hätte man es an der Y-Achse gespiegelt.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
Jetzt spielt die Reihenfolge der Operationen also eine Rolle. Und dadurch können wir die Symmetrieeigenschaften dieser Objekte unterscheiden: Beide besitzen sechs Symmetrien. Warum also nicht einfach sagen, dass sie dieselben Symmetrien besitzen? Die Art und Weise, wie die Symmetrien interagieren, erlaubt uns (denn jetzt haben wir eine Sprache dafür), zu zeigen, dass diese Symmetrien vollkommen verschieden sind. Sie können das selbst ausprobieren, wenn Sie später in einem Lokal sitzen. Nehmen Sie einen Bierdeckel und lassen sie ihn um eine Vierteldrehung rotieren, dann drehen Sie ihn um. Und dann dasselbe in umgekehrter Reihenfolge. Das Bild wird in die entgegengesetzte Richtung zeigen.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
Galois hat eine Reihe von Gesetzen aufgestellt dafür, wie diese Tabellen, diese Symmetrien, interagieren. Es sind beinahe kleine Sudokutabellen. Keine Symmetrie taucht zweimal in einer Zeile oder Spalte auf. Diese Gesetzmäßigkeiten erlaubten ihm die Aussage, dass es insgesamt nur zwei Objekte gibt, die sechs Symmetrien aufweisen. Und es sind die Symmetrien des Dreiecks oder des sechsarmigen Seesterns. Ich finde, das ist eine unglaubliche Entwicklung. Es ist fast so, als ob er die Idee der Zahl für Symmetrien entwickelt hätte. Hier vorne sind ein, zwei, drei Menschen auf ein, zwei, drei Stühlen. Die Menschen auf den Stühlen sind sehr verschieden, die Zahl aber, die abstrakte Idee der Zahl, ist dieselbe.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
Und jetzt können wir es verstehen: Gehen wir zurück zu den Wänden der Alhambra. Zwei völlig unterschiedliche Wände, zwei verschiedene geometrische Bilder. Aber durch die Sprache Galois' können wir verstehen, dass die zugrunde liegenden abstrakten Symmetrien dieselben sind. Nehmen wir zum Beispiel diese wundervolle Wand hier mit leicht geschwungenen Dreiecken. Man kann sie um eine Sechsteldrehung drehen, wenn man die Farben ignoriert. Die Farben müssen nicht übereinstimmen. Aber die Formen stimmen überein, wenn ich eine Sechsteldrehung ausführe und als Rotationsachse den Punkt wähle, an dem sich die Dreiecke berühren. Wie sieht es aus mit dem Mittelpunkt eines Dreiecks? Ich lasse es um eine Dritteldrehung um seinen Mittelpunkt rotieren, und alles passt zueinander. Und dann gibt es da einen interessanten Punkt, die Mitte einer Seitenkante, wo ich es um 180 Grad drehen kann. Und wieder sind die Kacheln deckungsgleich. Drehen wir sie also um den Rotationspunkt auf der Mitte der Seitenkante, und sie sind deckungsgleich.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
Jetzt gehen wir zu einer anderen Wand in der Alhambra, die ganz anders aussieht. Dort finden wir dieselben Symmetrien und dasselbe Verhalten. So, das war eine Sechsteldrehung. Und eine Dritteldrehung dort, wo sich die Z-Stücke berühren. Und die Achse für die halbe Drehung ist in der Mitte der sechszackigen Sterne. Und obwohl diese Wände völlig unterschiedlich aussehen, hat Galois eine Sprache entwickelt, die aussagt, dass die zugrunde liegenden Symmetrien identisch sind. Eine solche Symmetrie nennen wir 6-3-2.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
Hier ist ein weiteres Beispiel aus der Alhambra. Eine Wand, eine Decke, ein Fußboden. Alle sehen unterschiedlich aus. Aber diese Sprache ermöglicht uns die Aussage, dass sie alle Abbildungen desselben symmetrischen abstrakten Objektes sind, das wir 4-4-2 nennen, was jetzt aber nichts mit Fußball zu tun hat. Es gibt zwei Rotationspunkte, an denen man eine Vierteldrehung ausführen kann, und einen, an denen man eine halbe Drehung ausführen kann.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
Diese Sprache ist aber noch viel mächtiger, denn Galois kann fragen: „Haben die maurischen Künstler alle nur möglichen Symmetrien an den Wänden der Alhambra entdeckt?“ Wie sich herausstellt, lautet die Antwort beinahe „Ja“. Man kann mit Galois’ Sprache beweisen, dass es nur siebzehn unterschiedliche Symmetrien an den Wänden der Alhambra gibt. Wollten Sie eine andere Wand mit dieser achtzehnten Symmetrie gestalten, müsste sie dieselbe Symmetrie aufweisen wie eine der anderen siebzehn hier.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
Aber dies sind Dinge, die wir sehen können. Und die Macht der Galoischen mathematischen Sprache erlaubt es uns, symmetrische Objekte in der unsichtbaren Welt zu erschaffen, jenseits des Zwei- oder Dreidimensionalen, bis hin zur vierten oder fünften oder einer nten Dimension. Auf diesem Gebiet arbeite ich. Ich erschaffe mathematische, symmetrische Objekte, indem ich die Sprache Galois’ benutze; und das in Räumen mit sehr vielen Dimensionen. Ich glaube, dies ist ein wundervolles Beispiel für die unsichtbaren Dinge, die wir dank der Sprache der Mathematik erschaffen können.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
Wie Galois bin also auch heute Nacht aufgeblieben und habe ein neues mathematisches Objekt für Sie geschaffen. Hier ist ein Bild davon. Leider ist es nicht wirklich ein Bild. Kann ich bitte meinen Zeichenblock haben? Danke, wunderbar. OK. Leider kann ich Ihnen nicht zeigen, wie das symmetrische Objekt aussieht. Aber dies ist die Sprache, die beschreibt, wie die Symmetrien interagieren.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
Dieses neue symmetrische Objekt hat noch keinen Namen. Nun, Menschen lieben es, Dingen ihren Namen zu geben, wie Mondkratern oder neuen Tierarten. Sie haben nun also die Gelegenheit, einem neuen symmetrischen Objekt, das noch keinen Namen hat, Ihren Namen zu geben. Und dieses Objekt – während Tierarten aussterben und Mondkrater von Meteoren getroffen werden und explodieren – dieses Objekt ist unsterblich. Es wird Sie unsterblich machen. Um dieses symmetrische Objekt zu gewinnen, müssen Sie die Frage beantworten, die ich Ihnen eingangs gestellt habe. Wie viele Symmetrien besitzt der Zauberwürfel?
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
Okay, ich bringe hier mal etwas Ordnung hinein. Statt dass alle durcheinander rufen, möchte ich wissen, wie viele Stellen die Zahl hat. OK? Wenn Sie das Ergebnis als Fakultät berechnet haben, haben, müssen Sie die Fakultäten erweitern. Also, wenn Sie jetzt mitspielen wollen, stehen Sie bitte auf, ja? Wenn Sie ungefähr schätzen können, wie viele Stellen – OK – hier haben wir schon jemanden – Wenn die anderen alle sitzen bleiben, ist er automatisch der Gewinner. OK. Ausgezeichnet. Wir haben vier, fünf, sechs. Großartig. Ausgezeichnet. Das sollte für den Anfang reichen. Gut.
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
Alle mit fünf oder weniger Stellen, bitte setzen. Sie haben sich nach unten verschätzt. Fünf oder weniger Stellen. Wenn Sie also etwas in den Zehntausendern haben, bitte setzen. Sechzig Stellen oder mehr, bitte setzen. Sie haben sich nach oben verschätzt. Zwanzig Stellen oder weniger, setzen. Wie viele Stellen hat Ihre Zahl? Zwei? Dann hätten Sie sich schon früher setzen müssen. (Lachen im Publikum) Also nochmal die anderen, die sich während der Zwanziger gesetzt haben, OK? Wenn ich also gesagt habe, zwanzig oder weniger, bitte wieder aufstehen. Hier, ich glaube, hier gab es Einige. Die, die sich als letzte gesetzt haben.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
OK, wie viele Stelle hat Ihre Zahl? (Lacht) Einundzwanzig. OK, gut. Und wie viele bei Ihnen? Achtzehn. Damit hat diese Dame hier gewonnen. Einundzwanzig ist am nächsten dran. Die Zahl – also die Anzahl der Symmetrien eines Zauberwürfels – hat fünfundzwanzig Stellen Jetzt muss ich dem Objekt einen Namen geben. Wie heißen Sie? Ich brauche Ihren Nachnamen. Symmetrische Objekte haben grundsätzlich – Bitte buchstabieren Sie ihn für mich. G-H-E-Z Nein, SO2 ist schon besetzt in der Sprache der Mathematik. Das können Sie nicht bekommen. Also Ghez, bitte schön. Dies ist Ihr neues symmetrisches Objekt. Jetzt sind Sie unsterblich. (Applaus)
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
Und wenn auch Sie ein symmetrisches Objekt besitzen möchten, ich betreibe ein Projekt, mit dem ich Gelder für Guatemala sammele. Ich werde die ganze Nacht aufbleiben und mir für Sie ein Objekt ausdenken, für einen Spende zugunsten dieser Einrichtung, die Kindern in Guatemala den Weg ins Bildungssystem ebnet. Ich denke, was mich als Mathematiker antreibt, sind die unsichtbaren Dinge, die, die wir noch nicht entdeckt haben. Es sind all die unbeantworteten Fragen, die die Mathematik zu etwas Lebendigem machen. Und ich werde immer wieder auf dieses Zitat aus den „Betrachtungen aus der Stille‟ verweisen: „In allen Dingen ist Gleichförmigkeit nicht wünschenswert. Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant, und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.‟ Danke. (Applaus)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)