في ٣٠ من ماي ١٨٣٢ طلقة مسدس سمعت رنت صوتها عبر أنحاء المقاطعة ١٣ في باريس (طلقة مسدس) في ذالك الصباح، و بينما كان أحد الرعاة في طريقه للتسوق هرع مسرعا نحو مصدرالطلقة ليجد شابا صريعا فوق الثراب كان واضحا أنه قد جرح خلال مجابهة هذا الشاب كان يسمى، أوڨاريست ڴالوا كان ثوريا معروفا أنذاك في باريس حمل ڴالوا إلى الطبيب المحلي حيث توفي بين يدي أخيه في اليوم التالي آخر كلماته لأخيه، "لا تبكي علي يا ألفريد. فإني محتاج لجمع كل ما أقدر عليه من الشجاعة لأتوفي في عمر العشرين."
On the 30th of May, 1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."
في حقيقة الأمر، لم تكن الثورية السياسية ما كان معروفا به ڴالوا. لكن قبل عدة سنوات، و حينما كان بالمدرسة، قام بحل واحد من أكبر المسائل الرياضية حينها. لقد وجه عمله إلى الأكاديميين في باريس، في محاولة لتفسير نظريته. لكن الأكادميين لم يتمكنوا من فهم أي شيء مما كتب. (ضحك) هكذا، كيف كان يكتب معظم رياضياته.
It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.
خلال الليلة قبيل المجابهة، أدرك أن هذه ربما آخر فرصة له ليحاول تفسير تقدمه العظيم. فأمضى طوال الليل يكتب، في محاولة لتفسير أفكاره. و حينما أقبل الفجر، توجه لملاقاة قدره، ترك للأجيال القادمة، كومة من الأوراق فوق الطاولة من الممكن أن إمضاءه تلك الليلة في كتابة الرياضيات هو ما قد تسبب في قتله ذالك الصباح.
So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
لكن ما كانت تحتوي عليه تلك الأوراق كان لغة جديدة، لغة لفهم واحد من المفاهيم الأساسية في الميدان العلمي - ما يسمى "التماثل" إن التماثل هو لغة الطبيعة إنه يساعدنا على فهم أجزاء مختلفة من الميدان العلمي. من بين الأمثلة نجد، بنية الجزيئة. أي بنية بلورية يمكن الحصول عليها يمكن أن تفهم عبر رياضيات التماثل.
But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.
في علم الأحياء الدقيقة لا نريد الحصول على كائنات متماثلة. لأنها في معظم الوقت مخلوقات مزعجة. حاليا، أنفلولزا الخنازير لكائن متماثل. وهو يستغل كفائة التماثل ليتمكن من التكاثر بفعالية. لكننا نجد أن التماثل جد مهم، على مستوى المشهد البيولوجي العام، لأنه يكشف عن المعلومات الجينية.
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.
لقد أخذت صورتان و جعلتهما متماثلتان بطريقة إصطناعية. و إذا سألتكم أي صورة تجدون أجمل، ستختارون و بالتأكيد الصورتان بالأسفل. لأنه من الصعب الحصول على التماثل. و عندما تستطيع الحصول على بنية متماثلة، فإنك ترسل إشارة على أنك تحمل جينات متناسقة، و أنك ذو تنشئة حسنة وتشكل بالتالي شريكا جيدا. فبذالك يشكل التماثل لغة تساعد على إيصال المعلومات الجينية.
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.
يساعدنا التماثل أيضا على تفسير ما يحدث ب " مصادم الهادرون الكبير" في لابوراتوار "سيرن" أو ما لا يحدث هنالك. لكي نتمكن من توقع مميزات الجسيمات الأولية الأساسية التي يمكن أن نشاهد هناك، يتبين أنها أوجه شكل هندسي متماثل و غريب يوجد داخل فضاء متعدد الأبعاد.
Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.
و إني أعتقد أن كاليليو قد لخص، و بأسلوب رائع، قوة الرياضيات، التي تمكننا من فهم العالم حولنا. فيقول، "لن نستطيع قراءة الكون حتى أن نتعلم اللغة و نتعود على الحروف التي تكتب بها. إنه مكتوب بلغة رياضية. و المثلث، الدائرة، و الأشكال الهندسية الأخرى هي حروفها و التي دونها لا يمكن للإنسان أن يفهم أي كلمة."
And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."
لكن ليس العلماء وحدهم الذين يهتمون بالتماثل. إن الفنانين أيضا يحبون اللعب بالتماثل. هم كذلك لهم صلة غريبة به. هكذا نجد طوماس مان يتكلم على التماثل في "الجبل السحري" حيث تصف أحد شخصياته نذفة الثلج. و يقول أنه " قد ارتعش من دقته الكاملة، وجد أنها تحمل ذوق الموت، نخاع الموت."
But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."
و لكن الفنانين يحبون وضع توقعات تماثلية ثم القيام بكسرها. من بين أجمل الأمثلة على هذا وجدتها حينما زرت أحد أصدقائي في اليابان، بروفسور كوروكاوا. اخذني معبد في نيكو. بعدما أخذنا هذه الصورة، صعدنا الأدرج. تحمل تملك البوابة التي ترونها في الخلفية ثمانية أعمدة، ذات تصميم متماثل و جميل. يتطابق سبع منهم تماما لكن الثامن مقلوب رأسا على عقب.
But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.
فقلت للبروفيسور كوروكاوا، "واو، لا بد أن المهندسين أحرجوا لما تبين لهم خطأهم." فأجاب، "لا لا لا. إنه عمل متعمد" و ذكر لي هذه القولة اليابينية الجميلة مقتطفة من "مقالات في الفراغ" من القرن ١٤. حيث يقول الكاتب، "في كل شيء، لا نفضل النظام. جعل شيء ما غير كامل، يزيده أهمية. و يعطينا إحساسا بأنه هنالك مجال للتحسين." حتى خلال بناء القصر الإمبراطوري، فإنهم يدعون قطعة غير كاملة.
And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.
إذا خيرت أي مبنى في العالم لأقضي به الباقي من حياتي، وسط جزيرة فارغة، و بكوني مولع بالتماثل، سأختار قصر الحمراء بغرناطة. يشكل هذا القصر نشيدا للتماثل. أخذت مؤخرا عائلتي - نقوم بهذا النوع من الرحلات الرياضية، و التي تحبها عائلتي. هذا إبني تامر. كما ترون يستمتع برحلتنا الرياضية في قصر الحمراء. إني أريد أن أغني معرفته. إني أعتقد أن المشكل في تعليم الرياضيات هو أنه لا يرتكز حول علاقة الرياضيات بالعالم الذي نعيش فيه. و هكذا أردت أن أفتح عينيه على وجود التماثل عبر أنحاء قصر الحمراء.
But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.
أول شيء نراه هو الإنعكاس التماثلي في الماء. لكن الأكثر تشويقا هو ما يوجد على الجدران. قد منع على الفنانين البربر من تمثيل كائنات حية. و بذالك قاموا باكتشاف الفن الهندسي. فما هو التماثل؟ يطرح قصر الحمراء بطريقة ما كل هذه الأسئلة. ما هو التماثل؟ عندما لدينا جدارين، هل لهما نفس الأشكال المتماثلة؟ هل يمكننا أن نأكد يأنهم قد اكتشفوا كل طرق التماثل بقصر الحمراء؟
You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [there] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?
ڴالوا هو الذي قام باكتشاف اللغة التي تمكننا من الإجابة على البعض من هذه الأسئلة. إن التماثل بالنسبة لڴالوا - على عكس طوماس مان، الذي يراه ساكنا و مميتا -- إن التماثل بالنسبة لڴالوا يتجسد في الحركة. ماذا يمكن أن نفعل بكائن متماثل، تحريكه بطريقة ما، حتى يبدو على نفس الهيئة التي كان عليها قبل تحريكه؟ أحب وصف ذالك بخدعة الحركة. ماذا يمكن أن تفعل لشيء ما؟ أغمض عينيك. أحركه، و أرجعه إلى مكانه. فيبدو كما في حالته البدائية.
And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.
فعلى سبيل المثال، جدران قصر الحمراء، يمكن أن آخذ كل هاته القطع، و وضعهم فوق المنطقة الصفراء، أديرهم بزاوية ٩٠ درجة، و عندما أرجعهم إلى المكان الأولي، يتطابقون تماما. و عندما تفتح عينيك لن تستطيع القول أن القطع قد تحركت. لكن الحركة هي التي تميز التماثل بداخل قصر الحمراء. لكن الأمر يهم أيضا إنتاج لغة لوصف كل هذا. غالبا ما نجد أن قوة الرياضيات تتمثل في تغيير شيء ما إلى آخر، تغيير هندسة ما إلى لغة.
So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.
و بهذا سأقوم بقيادتكم، ربما أضغط قليلا على معلوماتكم الرياضية - فتمسكوا جيدا - سأدفعكم قليلا لفهم هذه اللغة، التي تمكننا من فهم التماثل. فلنأخذ على سبيل المثال هذين الشكلين المتماثلين. لنأخذ مثال نجم البحر السداسي الملتوي. ماذا يمكنني أن أفعل بنجم البحر فيبدو على نفس الهيئة؟ أديره بسدس دورة كاملة، فيأخذ هيئته البدائية. يمكنني أن أديره بثلث دورة، أو نصف دورة، أو أرجعه إلى مكانه، أو أديره ثلثي دورة. و في تماثل خامس، يمكن أن أديره بخمس سدس من الدورة. كل هذا يشكل ما يمكن أن أفعل بشكل متماثل حتى أجعله على نفس الهيئة قبل أن أبدأ بتحريكه.
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.
في حقيقة الأمر بالنسبة لڴالوا، هنالك تماثل سادس. هل يمكن لأحد ما أن يجد حركة أخرى بجعل الشكل على حالته الأولية؟ لا يمكنني قلبه لأني حرفته قليلا، ألم أفعل؟ إنه لا يمتلك أي تماثل محوري. فقط، يمكن أن أتركه في مكانه، أرفعه من مكانه، ثم أضعه. و كان هذا التماثل رقم صفر بالنسبة لڴالوا. في حقيقة الأمر كان إختراع الصفر مفهوما حديثا، القرن السابع ق.م، من قبل الهنود. قد يبدوا التكلم عن العدم جنونا. نجد نفس الفكرة هنا. هذا تماثل -- و بذالك كل شيء له تماثل، حينما تتركه في مكانه.
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
و بالتالي، يتوفر هذا الشكل على ستة تماثلات. فماذا بالنسبة للمثلث؟ يمكنني أن أديره بثلث دورة باتجاه عقارب الساعة أو عكس عقارب الساعة بثلث دورة. أما بالنسبة لهذا فإن له تماثلات محورية. يمكن أن أعكسه بالنسبة للمحور المار بـ X، أو بالنسبة للمحور المار بـ Y، أو بالنسبة للمحور المار بـ Z. خمس تماثلات و التماثل الصفر حيث أرفعه و أضعه في مكانه. وبذالك لهذين الشكلين ست تماثلات. أما الآن، إني أعتقد بشدة أن الرياضيات ليست رياضة للتفرج فقط، و يجب عليكم أن تمارسوا الرياضيات للتمكن من فهمها.
So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.
فهذا سؤال صغير لكم. و في النهاية سأعطي جائزة لمن سيكون الأقرب من الجواب. مكعب الروبيك. ما هو عدد التماثلات التي يمتلك مكعب الروبيك؟ كم مرة يمكن أن أحرك هذا الشكل ليبقى على شكل مكعب عندما أرجعه لمكانه؟ حسنا؟ أريدكم أن تفكروا في المسألة خلال ما يتبقى، و أن تعدوا كم هنالك من تماثل. وفي النهاية ستكون هنالك جائزة لأقرب جواب.
So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
لنعد إلى التماثلات التي يمتلكها هذين الشكلين. ما أدرك ڴالوا: ليس التماثلات وحدها، بل كيف تتفاعل بينها و هو في الحقيقة ما يميز تماثل شكل ما. إذا طبقت خدعة الحركة مرة، و أتبعتها بأخرى، تعطي التركيبة خدعة حركة ثالثة. و هنا نشاهد ڴالوا بادئا بتطوير لغة لمعاينة جوهر الأشياء الخفية، المفهوم التجريدي للتماثل الذي يوجد وراء الشكل المادي. على سبيل المثال، إذا أدرت نجم البحر بسدس دورة، ثم بثلث دورة؟
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?
لقد إستعملت رموزا. الحروف الكبيرة، A ،B ،C ،D ،E ،F، تشكل أسماء الحركات الدائرية. B، على سبيل المثال، تدير النقطة الصفراء الصغيرة إلى النقطة B على نجم البحر. نفس الشيء بالنسبة للآخرين. فماذا إذا قمت بـ B، و التي هي سدس دورة، متبوعة بـ C، ثلث دورة؟ لنقم بهذا. سدس دورة، ثم ثلث دورة، تبدوا النتيجة كما أني أدرته بنصف دورة في مرة واحدة. يعبر هذا الجدول عن الطريقة التي يعمل بها جبر هذه التماثلات. أقوم بحركة متبوعة بأخرى، الجواب هو الحركة D، نصف الدورة. ماذا إذا غيرت الترتيب؟ هل سيغير شيئا؟ فلنرى. لنقم بثلث الدورة أولا، ثم بسدس الدورة. طبعا، ليس هنالك أي فرق. مازلنا نحصل على نصف دورة.
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.
كما أن هنالك نوع من التماثل في الطريقة التي تتفاعل بها التماثلات. لكن هذا مختلف تماما عن تماثلات المثلث. لنرى ماذا يحدث إذا طبقنا تماثلين على المثلث، واحدا بعد الآخر. لنطبق ثلث دورة على عكس عقارب الساعة، و لنعكسه بالنسبة للمحور المار عبر X. كنتيجة لهذا نحصل على الإنعكاس بالنسبة للمحور المار عبر Z كما لو طبقناه في البداية. و الآن، لنقم بعكس الترتيب. لنطبق الإنعكاس عبر X أولا، متبوعا بثلث دورة على عكس عقارب الساعة. نجد المثلث في تشكيلة مختلفة تماما. كما لو أنه قد عكس بالنسبة للمحور المار عبر Y.
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle, one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.
نجد في هذه المرة أن الترتيب مهم. يمكننا هذا من تمييز لماذا تماثلات هذه الأشكال -- يتوفر كلا الشكلين على ست تماثلات. فلماذا لا يجب أن نقول بأن لهما نفس التماثلات؟ لكن الطريقة التي تتفاعل بها التماثلات تمكننا -- نملك الآن لغة تمكننا من تحديد لماذا تختلف هذه التماثلات إختلافا جوهريا. يمكنكم أن تجربوا هذا عندما تمرون من بعد بالحانة. خذوا شراب "بير ماط"، و أديروه ربع دورة، ثم أقلبوه. و افعلوا نفس الشيء في الترتيب الآخر، ستجدون أن الصورة توجد في الجهة المعاكسه.
Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.
قد حدد ڴالوا بعض القوانين التي تحكم كيف أن هذه الجداول، كيف تتفاعل التماثلات. إنها تكاد تكون جداول سودوكو صغيرة. لا تجدون مرتين أي تماثل في أي عمود أو صف. بواسطة هذه القوانين، تمكن من أن يؤكد بأن هنالك شكلين فقط يحملان ست تماثلات. و سيقوم بنفس الشيء بالنسبة لتماثلات المثلث، أو تماثلات نجم البحر السداسي. إني أعتقد أن هذا يشكل تقدما مذهلا. كأنما قمنا بتطوير مفهوم العدد من أجل التماثل. أمامي هنا، لدي واحد، إثنين، ثلاثة أشخاص جالسين فوق واحد، إثنين، ثلاثة كراسي. تختلف هؤلاء الأشخاص تماما، لكن العدد، فكرة العدد التجريدية، هي نفسها.
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one, two, three people sitting on one, two, three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.
يمكن لنا الآن أن نرى ذلك: لنعد إلى جدران قصر الحمراء. لدينا هنا حائطان مختلفان، صور هندسية جد مختلفة. لكن، عن طريق استخدام لغة ڴالوا، نستطيع أن نفهم أن التماثلات التجريدية الكامنة وراء هذه الأشياء تتمثل في نفس الشيء. لنأخذ على سبيل المثال هذا الجدار الجميل الذي يحمل مثلثات محرفة قليلا. يمكن أن نديرهم بسدس دورة إذا تجاهلنا الألوان. إننا لا نقارن الألوان. لكن تتطابق الأشكال إذا أدرتهم بسدس دورة حول النقطة حيث تتلاقى كل المثلثات. و ماذا بالنسبة لمركز مثلث؟ يمكنني أن أديره بثلث دورة حول مركز المثلث، و كل شيء يتطابق. هنالك أيضا منطقة تثير الإهتمام في منتصف حرف، حيث يمكنني أن أدير ب ١٨٠ درجة. و لمرة أخرى تتطابق كل القطع. و بذالك نجد أن كل شيء يتطابق بعد نصف دورة.
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
لنتنقل الآن إلى جدار آخر في قصر الحمراء. نجد هنا نفس التماثلات، و نفس التفاعلات. فنجد هنا سدس دورة. ثلث دورة حيث تتلاقى القطع Z. و نجد أيضا نصف دورة على نصف المسافة بين النجوم السداسية. و على الرغم من أن هذه الجدران جد مختلفة، أنتج ڴالوا لغة لقول أن نفس التماثلات تكمن ورائها. نسمي هذا التماثل ٦-٣-٢.
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.
نجد هنا مثالا آخر في قصر الحمراء. فهذا جدار، سقف، و أرضية. إنها تبدوا مختلفة جدا. لكن تمكننا هذه اللغة من القول بأنها تمثيلات لنفس التماثل التجريدي، و الذي يسمى ٤-٤-٢. ليس له أي علاقة مع كرة القدم، لكن لأن هنالك مكاننين حيث يمكن تدوير الشكل بربع دورة، و آخر بنصف دورة.
Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.
تعطينا قوة هذه اللغة أكثر من هذا، لأنها تمكن ڴالوا من قول، "هل استكشف الفنانون البربر كل التماثلات الممكنة على جدران قصر الحمراء؟" و لقد تبين أنهم اقتربوا من ذلك. يمكنكم تبيين ذالك، باستخدام لغة ڴالوا، هنالك في حقيقة الأمر فقط ١٧ تماثل مختلف ممكن فوق جدران قصر الحمراء. و إذا حاولنا إنتاج التماثل رقم ١٨، فإنه سيكون مشابها لواحد من هؤلاء ١٧.
Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.
لكن هذه أشياء يمكننا أن نشاهدها. و تكمن قوة لغة ڴالوا الرياضية في كون أنها تمكننا من إنتاج أشكال متماثلة في العالم التجريدي، بعيدا وراء البعدين، الثلاثة أبعاد، عبر الأربعة أو الخمسة أو الفضاء لا نهائي الأبعاد. و هنالك حيث أشتغل. انا أنتج أشكالا رياضية، أشكالا متماثلة، عن طريق استخدام لغة ڴالوا، في فضاءات ذات أبعاد جد كبيرة. إني أعتقد بذالك أن هذا مثال عظيم على الأشياء التجريدية، التي يمكن إنتاجها بواسطة قوة اللغة الرياضية.
But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.
و بذالك، مثل ڴالوا، سهرت طوال الليلة الماضية لأنتج لكم شكل رياضي متماثل جديد. لدي هنا صورة له. لكنها و للأسف ليست صورة تماما. إذا تمكنت من إحضار لوحتي هنا في الجانب، عظيم، ممتاز. حسنا. للأسف لا يمكنني أن أريكم صورة لهذا الشكل المتماثل. لكن لدي هنا اللغة التي تصف كيف تتفاعل التماثلات.
So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.
لا يحمل هذا الشكل المتماثل الجديد أي إسم بعد. و يحب الناس استخدام أسمائهم لتسمية أشياء، كالحفر فوق وجه القمر، أو جنس جديد من الحيوانات. سأعطيكم الحظ لتعطوا إسمكم إلى شكل متماثل جديد الذي لم يسمى من قبل. و هذا الشكل -- تموت الأجناس، و ترتطم الأقمار بنيازك ثم تنفجر -- لكن سيعيش هذا الشكل الرياضي أبدا. سيجعلكم خالدين. من أجل أن تفوزوا بهذا الشكل التماثلي، يجب عليكم أن تجيبوا على السؤال الذي طرحته في البداية. ما هوعدد تماثلات مكعب الروبيكس؟
Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?
حسنا، سأقوم بالفرز. بدلا من أن تصرخوا، أريدكم أن تعدوا كم هنالك من مرتبة في ارقامكم في ذالك العدد. حسنا؟ إذا حصلتم على عدد عاملي، يجب عليكم أن تنشروا العاملي. حسنا، و إذا أردتم اللعب الآن، أريدكم أن تقفوا، حسنا؟ إذا كنتم تظنون أن لديكم تقدير لعدد المراتب، جيد -- لدينا متنافس هنا -- أذا بقي جميعكم جالسين فسيفوز تلقائيا. حسنا. ممتاز. لدينا أربع هنا، خمس، ست. عظيم. ممتاز. يمكننا الآن أن نواصل.
Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here, five, six. Great. Excellent. That should get us going. All right.
أي أحد لديه خمس مراتب أو أقل، يجب عليكم أن تجلسوا. و هذا لأن تقديركم كان بخسا. خمس مراتب أو أقل. فإذا كنتم في العشر آلاف فأجلسوا. ٦٠ مرتبة أو أكثر، فأجلسوا. كان تقديركم مبالغا فيه. ٢٠ مرتبة أو أقل، أجلسوا. كم مرتبة يوجد في عددك؟ إثنين؟ كان يجب عليك أن تجلس من قبل. (ضحك) لنرجع إلى الآخرين، الذين جلسوا في الـ ٢٠، قفوا مجددا. حسنا؟ إذا قلت لكم ٢٠ أو أقل، قفوا. لأن هذا. أظن أن بعضا منهم كانوا هنا. آخر الأشخاص الذين جلسوا.
Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.
حسنا، كم رقما لديك في عددك؟ (ضحك) ٢١. حسنا جيد. كم لديك؟ ١٨. تمنح الجائزة للسيدة هنا. ٢١ هو الأقرب. هنالك في حقيقة الأمر -- يحمل عدد التماثلات في مكعب الروبيكس عدد من ٢٥ رقم. أريد الآن أن أسمي هذا الشكل. فما هو إسمك؟ أحتاج إلى لقبك. تكون الأشكال المتماثلة في عامة الأمر -- تهجي لي حروفه. ج-ه-أ-ز لا س.ؤ.٢ قد تم استخدامه من قبل، في حقيقة الأمر، في اللغة الرياضية. فلا يمكنك استعماله. لدينا "جيز" إذا. هذا شكلك التماثلي الجديد. فالآن أنتي خالدة. (تصفيق)
Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)
و إذا أردتم شكلكم المتماثل الشخصي، لدي مشروع، جمع المال من أجل دعم خيري في غواتيمالا، حيث سأسهر الليل كله لأصمم لكم الشكل، مقابل تبرع لإعانة الأطفال على الدخول إلى المدرسة، في غواتيمالا. و إني أظن أن ما يدفعني لهذا، كعالم رياضيات، هو هذه الأشياء التي لا نرى، الأشياء التي لم نكتشف من بعد. كل الأسئلة التي لم يجب عليها من بعد هي التي تجعل من الرياضيات موضوعا حيا. و سأقوم دوما بالرجوع إلى تلك المقولة اليابانية المقتطفة من "مقالات في الفراغ": "في كل شيء، لا نحب النظام. جعل شيء ما غير كامل، يزيده أهمية، و يعطينا إحساسا بأنه هنالك مجال للتحسين." شكرا لكم. (تصفيق)
And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)