Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
İki mükemmel akıl sahibi zencefilli kurabiye adam Crispy ve Chewy bir tilki tarafından yakalandıklarında dışarıda geziniyorlardır. Ne kadar mutlu olduklarını görünce onları sadece yemek yerine, acımasız bir ikilemle dostluklarını test edeceğine karar verir. Her zencefilli kurabiye adama diğerini Bağışlacağını veya Feda etmeyeceğini soracaktır. Tartışabilirler ancak hiçbiri kararlarında kesin olana kadar diğerinin ne seçtiğini bilemez.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
İkisi de diğerinin bağışlanmasını seçerse tilki uzuvlarından sadece birini yiyecek; biri diğerini feda ederken bağışlamayı seçerse hain tüm uzuvları sağlam bir şekilde kaçarken bağışlayıcı tamamıyla yenilecektir. Sonunda her ikisi de feda etmeyi seçerse tilki her birinden 3 uzuv yiyecektir.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
Oyun teorisinde, bu senaryoya "Tutsak İkilemi" denir. Bu zencefilli kurabiye adamlarının mükemmel akılcılığında nasıl davranacaklarını anlamak için her kararın sonucunu planlayabiliriz. Sıralar Crispy'nin ve sütunlar ise Chewy'nin seçeneklerini temsil eder. Bu arada, her bir hücredeki sayılar her birinin tutacağı uzuv sayısıyla ölçülen kararlarının sonuçlarını temsil eder:
So do we expect their friendship to last the game?
Öyleyse dostluklarının maç boyunca devam etmesini mi bekliyoruz?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
İlk olarak, Chewy'nin seçeneklerini dikkate alalım. Crispy onu bağışlarsa Chewy, Crispy'i feda ederek sağ salim kaçabilir. Ancak Crispy onu feda ederse Chewy de Crispy'i feda ederse uzuvlarından birini tutabilir. Crispy ne karar verirse versin Chewy her zaman en iyi sonucu arkadaşını feda etmeyi seçerek yaşar. Aynısı Crispy içinde geçerlidir.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
Bu, Tutsak İkilemin standart sonucudur: iki karakter birbirine ihanet edecek. Arkadaşlarını koşulsuz feda etme stratejileri, oyun teorisyenlerinin "Nash Dengesi" dediği şeydir, yani hiçbiri ondan saparak kazanamaz.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy ve Chewy buna göre davranır ve kendini beğenmiş tilki, zencefilli kurabiye dolu bir göbekle kaçar ve iki eski arkadaşı ayakta durmaları için yalnızca tek bir bacakla bırakır.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
Genellikle burası hikâyenin biteceği yerdir ancak bir büyücü bütün karışıklığın ortaya çıkmasını izlemekteydi. Crispy ve Chewy'e birbirlerine ihanet etmenin bir cezası olarak hayatlarının geri kalanında bu ikilemeyi her güneşin doğuşunda dört uzuvdan başlayarak tekrar etmeye mahkûm olduklarını söyler. Şimdi ne olacak?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
Buna bir Sonsuz Tutsak İkilemi denir ve tam bir ezber bozandır. Bunun nedeni, zencefilli kurabiye adamların artık gelecekteki kararlarını mevcut kararları için pazarlık kozu olarak kullanabilmeleridir. Bu strateji düşünün: Her ikisi de her gün birbirlerinden ayrılmayı kabul ediyor. Biri fedakârlık yapmayı seçerse diğeri sonsuzluğun geri kalanı için "fedakârlık"ı seçerek misilleme yapacak. Öyleyse bu, zavallı duygusal unlu mamüllerin işbirliği yapmayı kabul etmeleri için yeterli mi?
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Bunu anlamak için başka düşünceyi hesaba katmalıyız: Zencefilli kurabiye adamlar geleceği muhtemelen şimdiki zamandan daha az önemsiyorlar. Başka bir ifadeyle, gelecekteki uzuvlarına ne kadar önem verdiklerini delta olarak adlandıracağımız bir sayıya indirebilirler. Bu, paranın değerini sarsan enflasyon fikrine benzerdir. Delta yarım ise birinci günde 2. gün uzuvlarını 1. gün uzuvlarının yarısı kadar, 3.gün uzuvlarına 1.gün uzuvlarının dörtte biri kadar önem verirler vb.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
0 delta, gelecekteki uzuvlarını hiç önem vermedikleri anlamına gelir böylece ilk ortak fedakarlık seçimlerini sonsuza kadar tekrar edeceklerdir. Ancak delta 1'e yaklaştıkça sonsuz üç misli uzuv tüketiminin acısından kaçınmak için mümkün olan her şeyi yapacaklar, bu da birbirlerini bağışlamayı seçecekleri anlamına gelmektedir. Aralarında belli bir noktada her halükarda gidebilirler. Bu noktanın nerede olduğunu her stratejiyi temsil eden sonsuz serileri yazarak, onları birbirine eşitleyerek ve deltayı çözerek bulabiliriz.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
Bu 1/3'ü sağlar, Crispy ve Chewy yarına bugünkü kadar en az 1/3 önem verdiği sürece sonsuza kadar bağışlamak ve işbirliği yapmak onlar için en uygunudur.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Bu analiz, kurabiyeler ve büyücüler için eşsiz değildir; ticaret müzakereleri ve uluslararası siyaset gibi gerçek hayattaki durumlarda ortaya çıktığını görürüz. Akıl sahibi liderler, bugün aldıkları kararların yarın rakiplerinin kararlarını etkileyeceğini varsaymalılardır. Bencillik, kısa vadede galip gelebilir ancak uygun teşviklerle barışçıl işbirliği sadece mümkün değil, aynı zamanda açıkça ve matematiksel olarak da uygundur.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Zencefilli kurabiye adamlara gelince sonsuzlukları oldukça kötü olabilir, ancak bir uzuvla dışarıya çıktıkları sürece dostlukları bir daha asla az pişmiş olmayacaktır.