Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
สองหนุ่มขนมปังขิงผู้มีเหตุผลสูง คริสปี และ ชูววี โดนหมาป่าจับขณะที่กำลังเดินเล่นอยู่ หมาป่าเห็นว่าพวกเขาดูมีความสุข จึงตัดสินใจว่า แทนที่จะกินพวกเขา มันจะทดสอบมิตรภาพของทั้งสอง ด้วยสถานการณ์ที่โหดร้าย มันถามขนมปังขิงแต่ละคนว่า จะเลือกไว้ชีวิตหรือสังเวยชีวิตเพื่อน พวกเขาพูดคุยกัน แต่ทั้งสองไม่มีทางรู้เลยว่าอีกฝั่ง จะเลือกอะไรจนกว่าผลการตัดสินใจจะออกมา
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
ถ้าทั้งสองคนเลือกไว้ชีวิตของกันและกัน หมาป่าจะกินแค่แขนหรือขาข้างเดียวของทั้งคู่ ถ้าฝ่ายหนึ่งเลือกไว้ชีวิต แต่อีกฝ่ายเลือกสังเวยชีวิตเพื่อน คนที่ไว้ชีวิตเพื่อนจะถูกกินทั้งตัว ในขณะที่ฝ่ายทรยศจะมีชีวิตรอดแบบครบ 32 สุดท้าย ถ้าทั้งสองเลือกให้เพื่อนถูกกิน หมาป่าจะกินแขนขาคนละ 3 ชิ้น
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
ในทฤษฎีเกม สถานการณ์แบบนี้เรียกว่า "ปัญหาของนักโทษ" (Prisoner's Dilemma) เพื่อดูว่าด้วยความมีเหตุผลของพวกเขา หนุ่มขนมปังขิงจะทำอย่างไร เราสามารถโยงผลลัพธ์กับทางเลือกแต่ละทาง แถวซ้ายแทนทางเลือกของคริสปี แถวบนแทนทางเลือกของชูววี ตัวเลขในแต่ละช่อง แทนผลลัพธ์ของการตัดสินใจ วัดจากจำนวนแขนขา ที่จะเหลือจากการตัดสินใจ
So do we expect their friendship to last the game?
เราหวังจะเห็นมิตรภาพ คงอยู่หลังจบเกมหรือไม่
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
อย่างแรกเรามาดูทางเลือกของชูววี ถ้าคริสปีเลือกไว้ชีวิตเขา ชูววีจะหนีไปได้ อย่างลอยนวลโดยสังเวยชีวิตของคริสปี แต่ถ้าคริสปีเลือกจะสังเวยชีวิตเขา ชูววีจะสามารถเก็บแขนหรือขาไว้หนึ่งข้าง ถ้าเลือกสังเวยชีวิตคริสปีเหมือนกัน ไม่ว่าคริสปีจะเลือกทางไหน ชูววีจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดโดยการเลือก สังเวยชีวิตของเพื่อน และจะเป็นเช่นเดียวกันกับคริสปี
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
นี่คือบทสรุปมาตรฐาน ของสถานการณ์ปัญหาของนักโทษ ตัวละครทั้งสองจะทรยศกันและกัน กลยุทธ์ของพวกเขาที่จะสังเวยชีวิตของเพื่อน คือสิ่งที่นักทฤษฎีเกมเรียกว่า "ความสมดุลแบบแนช" (Nash Equilibrium) ซึ่งหมายความว่าไม่มีฝ่ายไหนได้ จากการตัดสินใจที่ต่างจากนี้
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
คริสปีและชูววีเลือกตามนั้น และหมาป่าก็จะจากไป พร้อมกับท้องที่เต็มไปด้วยขนมปังขิง ทิ้งให้ขนมปังที่เคยเป็นเพื่อนกัน เหลือเพียงขาข้างเดียวไว้ยืน
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
ปกติแล้วเรื่องจะจบตรงนี้ แต่คราวนี้มีพ่อมดคอยดูเหตุการณ์ทั้งหมด เขาบอกคริสปีและชูววีว่า บทลงโทษของการทรยศกัน คือการถูกสาปให้ต้องเจอกับ สถานการณ์นี้ไปตลอดชีวิต โดยเริ่มวันใหม่ทุกวัน พร้อมแขนขาที่สมบูรณ์ จากตรงนี้จะเกิดอะไรขึ้น
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
นี่เรียกว่าสถานการณ์ปัญหาของนักโทษ ที่ไม่มีวันจบและเป็นจุดเปลี่ยนของเกม เพราะว่าขนมปังขิงสามารถ ใช้การตัดสินใจในอนาคต มาเป็นเครื่องต่อรอง เหตุการณ์ในปัจจุบัน ลองพิจารณากลยุทธ์นี้: ทั้งสองตกลง ว่าจะไว้ชีวิตกันและกันทุกวัน ถ้ามีคนใดคนนึงเลือกจะสังเวยอีกคน อีกคนก็จะแก้แค้นด้วยการเลือกสังเวย ตลอดชั่วกาล นี่เพียงพอที่จะทำให้ขนมปัง เพื่อนรักที่น่าสงสาร ตกลงที่จะร่วมมือกันหรือไม่
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
เพื่อหาคำตอบ เราจะต้องพิจารณาอีกหนึ่งปัจจัย หนุ่มขนมปังขิงทั้งสอง อาจจะคิดถึงอนาคต น้อยกว่าที่คิดถึงปัจจุบัน อีกนัยหนึ่งคือพวกเขาอาจจะไม่คำนึงถึง จำนวนแขนขาที่จะมี ในอนาคตเท่าไหร่นัก ซึ่งเราจะเรียกว่าเดลตา (Delta) คล้ายกับแนวคิดที่ว่า เงินเฟ้อทำให้ค่าเงินลดลง ถ้าค่าเดลตาคือครึ่งหนึ่ง ในวันแรกพวกเขาจะคิดถึงแขนขา ในวันที่สองลดลงครึ่งหนึ่งจากวันแรก ในวันที่สามก็จะคิดถึงแขนขา แค่ 1 ส่วน 4 จากวันแรก แบบนี้ไปเรื่อย ๆ
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
เดลตาเป็น 0 หมายความว่า พวกเขาไม่สนใจแขนขาในอนาคตเลย แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจแบบเดิม ที่สังเวยชีวิตของทั้งคู่ไม่จบสิ้น แต่เมื่อเดลตาใกล้ 1 พวกเขาจะทำทุกอย่าง เพื่อหลีกเลี่ยงความเจ็บปวดที่จะต้อง สูญเสียขาแขนไป หมายความว่าพวกเขาจะเลือก ไว้ชีวิตกันและกัน ณ เวลาหนึ่ง พวกเขาอาจจะเลือกอะไรก็ได้ เราสามารถหาได้ว่าเวลานั้น จะเกิดขึ้นเมื่อไหร่ โดยการเขียนอนุกรมอนันต์แทน การตัดสินใจแบบต่าง ๆ ไปเรื่อย ๆ เปรียบเทียบการตัดสินใจ เพื่อหาค่าเดลตา
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
ซึ่งได้ 1 ส่วน 3 แปลว่าตราบใดที่ คริสปีและชูววีคิดถึงวันพรุ่งนี้ อย่างน้อย 1 ส่วน 3 ของที่คิดถึงวันนี้ จะดีที่สุดสำหรับพวกเขา หากเลือกที่จะไว้ชีวิตและร่วมมือกันตลอดไป
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
การวิเคราะห์นี้ไม่ใช่เกิดขึ้นแค่กับ ขนมปังและพ่อมด แต่เราเห็นเกิดขึ้นในเหตุการณ์จริง อย่างการต่อรองซื้อขายและ การเมืองระหว่างประเทศ ผู้นำที่มีตรรกะจะตั้งสมมติฐานว่า การตัดสินใจในวันนี้ จะส่งผลต่อการตัดสินใจของ ฝ่ายตรงข้ามวันพรุ่งนี้ ความเห็นแก่ตัวอาจนำมาซึ่งชัยชนะระยะสั้น แต่ด้วยแรงจูงใจที่เหมาะสม การร่วมมือร่วมใจกันไม่เพียงแค่เกิดขึ้น แต่เป็นสิ่งที่ดีเลิศในทางปฏิบัติและในทางคณิตศาสตร์
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
สำหรับหนุ่มขนมปังขิง ชีวิตอาจจะเละเทะไปชั่วกาล แต่ตราบใดที่รอดชีวิตไป ด้วยแขนหรือขาเพียงหนึ่งข้าง มิตรภาพของพวกเขาก็จะไม่มีวันจบสิ้น