Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Doi oameni de turtă dulce perfect raționali, Crispy și Chewy, se plimbau, când au fost prinși de o vulpe. Văzându-i ce fericiți sunt, ea decide că în loc să îi mănânce, o să le testeze prietenia cu o dilemă crudă. Ea îi va întreba pe fiecare dacă va vrea să-l ierte sau sacrifice pe celălalt. Ei pot discuta, dar niciunul nu va ști ce a ales celălalt până la final.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
Dacă amândoi aleg să-l ierte pe celălalt, vulpea le va mânca doar un picior. Dacă unul alege să-l ierte în timp ce celălalt să-l sacrifice, cel care a iertat va fi mâncat complet, în timp ce trădătorul va putea pleca cu picioarele intacte. În final, dacă amândoi aleg să sacrifice, vulpea va mânca trei membre din fiecare.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
În teoria jocurilor, acest scenariu poartă numele de „Dilema prizonierului”. Pentru a afla cum vor acționa raționând perfect, putem face o hartă a rezultatelor fiecărei decizii. Rândurile sunt deciziile lui Crispy, iar coloanele cele ale lui Chewy. În acest timp, cifrele din fiecare pătrățel reprezintă rezultatul deciziilor lor, măsurate în numărul de membre rămase fiecăruia.
So do we expect their friendship to last the game?
Deci, ne așteptăm ca prietenia lor să reziste?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
Mai întâi să considerăm opțiunile lui Chewy. Dacă Crispy îl iartă, Chewy poate fugi întreg sacrificându-l pe Crispy. Dar dacă Crispy îl sacrifică pe el, Chewy poate rămâne cu un singur membru dacă și el îl sacrifică pe Crispy. Indiferent de ce decide Crispy, Chewy mereu va beneficia de cele mai bune rezultate sacrificându-și colegul. La fel e și pentru Crispy.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
Aceasta e soluția standard a Dilemei Prizonierului: cele două personaje se vor trăda reciproc. Strategia lor pentru sacrificarea necondiționată a prietenului e ceea ce poartă numele de „Echilibrul lui Nash”, ce semnifică că niciunul nu poate câștiga nimic acționând altfel.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy și Chewy vor reacționa conform. și vulpea îngâmfată va fugi cu o burtă plină de turtă dulce, lăsându-i pe cei doi foști prieteni cu un singur picior.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
În mod normal, aici se sfârșește povestea, dar se întâmplă ca un vrăjitor să vadă toată tărășenia. El le-a zis lui Crispy si Chewy că îi va pedepsi pentru că s-au trădat și sunt sortiți să repete această dilemă pentru tot restul vieții lor, începând cu toate cele patru membre la fiecare răsărit de soare. Ce se întâmplă acum?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
Aceasta se numește „Dilema infinită a Prizonierului” și schimbă totul. Asta pentru că oamenii de turtă dulce pot folosi acum deciziile lor viitoare ca jetoane de negociere pentru cele actuale. Considerați această strategie: ambii sunt de acord să se ierte în fiecare zi. Dacă unul alege vreodată să sacrifice, celălalt se va răzbuna alegând „Sacrificiul” pentru restul eternității. Deci, e asta suficient pentru a face acești omuleți de turtă dulce să accepte să coopereze?
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Pentru a ne da seama, trebuie să luăm în considerare un alt factor: oamenilor de turtă dulce probabil le pasă de viitor mai puțin decât le pasă de prezent. În alte cuvinte, s-ar putea să le pese mai puțin de viitoarele lor membre cu un anumit factor, pe care îl numim delta. Acest lucru este similar cu ideea de inflație a banilor. Dacă delta este 1/2, în ziua unu le va păsa de membrele din ziua doi de două ori mai puțin, în ziua trei, de patru ori mai puțin decât în prima zi, și așa mai departe.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Un delta de 0 înseamnă că nu le pasă deloc de viitor, așa că își vor repeta alegerea inițială de sacrificiu reciproc la nesfârșit. Dar dacă delta se apropie de 1, vor face tot ce e posibil pentru a evita durerea pierderii infinite a celor trei membre, ceea ce înseamnă că vor alege să se ierte reciproc. Există o valoare între 1 și 0 la care acest lucru se schimbă. Putem afla această valoare prin scrierea unor serii infinite care reprezintă fiecare strategie, egalându-le una cu cealaltă, și rezolvând ecuația pentru delta.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
Rezultatul e 1/3, însemnând că dacă le pasă de ziua de mâine cel puțin 1/3 cât azi, este optim pentru ei să ierte și să coopereze pentru totdeauna.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Această analiză nu este unică oamenilor de turtă dulce și vrăjitorilor; o observăm în situații reale precum negocieri comerciale și politică internațională. Liderii raționali trebuie să-și asume că deciziile pe care le iau astăzi vor avea un impact asupra deciziilor adversarilor mâine. Egoismul poate câștiga pe termen scurt, dar cu stimulentele adecvate, cooperarea pașnică nu e doar posibilă, ci demonstrabilă și ideală matematic.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Cât despre oamenii din turtă dulce, eternitatea lor poate fi destul de sumbră, dar atâta timp rămân cu trei membre, prietenia lor va fi veșnică.