Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Dois homens de gengibre perfeitamente racionais, Crispy e Chewy, andavam a passear quando são apanhados por uma raposa. Ao ver quão felizes estavam, ela decide que, em vez de os comer, ia pôr a amizade deles à prova com um dilema cruel. Perguntou a cada homem se optaria por Salvar ou Sacrificar o outro. Eles podem conversar, mas só saberão o que o outro escolheu depois das suas decisões estarem tomadas.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
Se ambos escolherem salvar o outro, a raposa só comerá um membro de cada um; se um escolher Salvar enquanto o outro escolher Sacrificar, o que escolheu Salvar será completamente devorado. enquanto o traidor escapará com todos os membros intactos. Por fim, se ambos escolherem Sacrificar, a raposa comerá três membros de cada um.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
Na teoria dos jogos, este cenário chama-se o “Dilema do Prisioneiro.” Para imaginar como estes homens vão agir de forma perfeitamente racional, podemos fazer um mapa com os resultados de cada decisão. As linhas representam as opções de Crispy e as colunas as de Chewy. Entretanto, os números em cada célula representam os resultados das suas decisões, medidos conforme o número de membros que cada um manterá.
So do we expect their friendship to last the game?
Será que esta amizade resiste ao jogo?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
Primeiro, consideremos as opções de Chewy. Se Crispy o salvar, Chewy pode escapar sem danos sacrificando Crispy. Mas, se Crispy o sacrificar, Chewy pode manter um dos seus membros se também sacrificar Crispy. Seja o que for que Crispy decida, Chewy terá sempre o melhor resultado se escolher sacrificar o seu companheiro. O mesmo é verdade para Crispy.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
Esta é a conclusão padrão do Dilema do Prisioneiro: as duas personagens vão trair-se. A estratégia de sacrificar incondicionalmente o companheiro é o que os teóricos do jogo designam por “Equilíbrio de Nash”, significando que nenhum pode ganhar se se desviar dele.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy e Chewy agem em conformidade e a raposa matreira vai-se embora com a barriga cheia de biscoitos de gengibre, deixando os dois antigos amigos apenas com uma perna.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
Normalmente, é aqui que a história acaba, mas um feiticeiro assistiu o desenrolar do enredo. Diz a Crispy e a Chewy que, como castigo por se terem atraiçoado, estão condenados a repetir este dilema durante o resto das suas vidas, começando com os quatro membros a cada nascer do sol. E agora, o que é que acontece?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
Isto chama-se o Dilema Infinito do Prisioneiro e é um autêntico modificador do jogo. Agora, os homens de gengibre podem usar as suas decisões futuras como moeda de troca para as decisões atuais. Considerem esta estratégia: concordam salvar o outro diariamente. Se um deles decidir sacrificar o outro, o outro retaliará, escolhendo “sacrificar” até à eternidade. Será que isto é suficiente para que os pobres biscoitos sensíveis
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
decidam cooperar? Para perceber isso, temos de ter em conta outras considerações: Os homens de gengibre provavelmente preocupam-se menos com o futuro do que se preocupam com o presente. Por outras palavras, podem ignorar o quanto se preocupam com os membros futuros, a cujo número vamos chamar “delta”. Isto é parecido com a ideia de a inflação desgastar o valor do dinheiro. Se o delta for metade, no dia 1, eles preocupam-se metade com os membros do dia 2 do que os do dia 1 preocupam-se 1/4 com os membros do dia 3 do que com os do dia 1 e por aí em diante.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Um delta de 0 significa que não se preocupam com os seus membros futuros, por isso repetirão a sua escolha inicial de sacrifício mútuo eternamente. Mas à medida que o delta se aproxima de 1, eles farão todos os possíveis para evitar o sofrimento de perderem três membros eternamente, o que significa que vão optar por se salvarem um ao outro. A certa altura, poderão ir por um ou outro lado. Podemos encontrar esse ponto, escrevendo as séries infinitas que representam cada estratégia, pô-las em igualdade e resolver o delta.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
Isto dá 1/3, o que significa que desde que Crispy e Chewy se preocupem com o amanhã pelo menos um 1/3 do que o que se preocupam hoje, é melhor para eles salvar e cooperar para sempre.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Esta análise não é única para biscoitos e feiticeiros; vemos isto acontecer em situações reais como negociações de mercado e política internacional. Líderes racionais devem assumir que as decisões que tomam hoje terão impacto amanhã nas decisões dos seus adversários. O egoísmo pode ganhar a curto prazo, mas com os incentivos certos, a cooperação pacífica é não só possível, mas matematicamente demonstrável e ideal.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Quanto aos homens de gengibre, a sua eternidade pode parecer migalhas, mas desde que arrisquem um no outro, a sua amizade nunca ficará pela metade.