Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Dwa racjonalne pierniki Crispy i Chewy spacerują, kiedy dopada je lis. Widząc ich szczęście, lis decyduje, że zamiast po prostu je zjeść, sprawdzi przyjaźń pierniczków przy pomocy okrutnego dylematu. Zapyta każdego z nich, czy chce oszczędzić, czy poświęcić drugiego. Pierniczki mogą ze sobą rozmawiać, ale żaden nie będzie znał wyboru drugiego, aż ich decyzje nie staną się ostateczne.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
Jeśli oba wybiorą oszczędzenie drugiego, lis zje tylko po jednej kończynie. Jeśli jeden wybierze oszczędzenie, a drugi poświęcenie kolegi, oszczędzający zostanie zjedzony w całości, a zdrajca będzie mógł uciec z nietkniętymi kończynami. Jeśli obaj wybiorą poświęcenie kolegi, lis zje po trzy kończyny każdego piernika.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
W teorii gier ten scenariusz to "Dylemat więźnia". Żeby zrozumieć zachowanie pierniczków, można sporządzić tabelę z możliwymi rezultatami. Rzędy przedstawiają możliwości Crispy'ego, a kolumny Chewy'ego. Liczby w każdej komórce przedstawiają wyniki ich decyzji, mierzoną liczbą kończyn, którą każdy by zachował.
So do we expect their friendship to last the game?
Czy ich przyjaźń to przetrwa?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
Rozważmy opcje Chewy'ego. Jeśli Crispy go oszczędzi, Chewy może zachować kończyny, poświęcając Crispy'ego. Ale jeśli Crispy go poświęci, Chewy poświęcając Crispy'ego zachowa jedną kończynę. Niezależnie od decyzji Crispy'ego Chewy najlepiej zrobi, wybierając poświęcenie towarzysza. Tak samo jest u Crispy'ego.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
To typowa konkluzja dylematu więźnia. Dwie strony nawzajem się zdradzą. Ich strategia bezwarunkowego poświęcenia towarzysza to w teorii gier "Równowaga Nasha". Oznacza, że na zdradzie nie zyska ani jeden, ani drugi.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy i Chewy zachowują się w ten sposób i zadowolony lis ucieka z brzuchem pełnym pierników, zostawiając dwóch byłych przyjaciół z jedną nogą.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
To byłby koniec historii, ale tak się składa, że na to wszystko patrzył czarodziej. Mówi Crispy'emu i Chewy'emu, że w ramach kary za obopólną zdradę zostają skazani na powtarzanie dylematu do końca życia, zaczynając ze wszystkimi kończynami o świcie. Co teraz?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
To nieskończony dylemat więźnia, który zmienia zasady gry. Teraz pierniki mogą użyć przyszłych decyzji jako kart przetargowych przy podejmowaniu aktualnych decyzji. Rozważmy strategię, w której pierniki oszczędzają się każdego dnia. Jeśli jeden zdradzi drugiego, drugi zemści się, poświęcając kolegę przez resztę wieczności. Czy to wystarczy, żeby biedne żywe wypieki zgodziły się na współpracę?
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Żeby to zrozumieć, trzeba uwzględnić coś jeszcze. Pierniki mniej przejmują się przyszłością niż teraźniejszością. Innymi słowy, mogą ignorować ryzyko przejmowania się kończynami o daną liczbę. Nazwijmy ją deltą. To przypomina pomysł inflacji osłabiającej wartość pieniądza. Jeśli delta to połowa, drugiego dnia pierniki przejmują się kończynami dwa razy mniej niż pierwszego dnia, trzeciego dnia cztery razy mniej niż pierwszego dnia i tak dalej.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Delta równa zero znaczy, że wcale nie przejmują się losem kończyn, więc bez końca powtarzają początkowy wybór poświęcenia kolegi. Ale gdy delta zbliża się do 1, są gotowe zrobić wszystko, żeby uniknąć bólu nieskończonej konsumpcji kończyn, co oznacza, że wybiorą oszczędzenie. W pewnym momencie będą mogli zdecydować i tak, i tak. Możemy znaleźć ten punkt, wypisując nieskończone ciągi przedstawiające każdą strategię, stawiając je naprzeciw i rozwiązując, żeby znaleźć deltę.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
To daje jedną trzecią, czyli dopóki Crispy i Chewy przejmują się jutrem co najmniej w 1/3 tego, co dziś, najlepsze będą dla nich oszczędzanie kolegi i współpraca.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Ta analiza nie ogranicza się do pierników i czarodziejów. Widać to w rzeczywistych sytuacjach, jak negocjacje handlowe i polityka międzynarodowa. Rozsądni liderzy zakładają, że decyzje podejmowane dziś wpłyną na ich przeciwników jutro. Egoizm opłaca się na krótką metę, ale przy odpowiedniej motywacji stała współpraca jest nie tylko możliwa, ale i matematycznie idealna.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Co do pierników, ich wieczność może być krucha, ale dopóki ryzykują, nic nie zagrozi ich przyjaźni.