Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Due omini di pan di zenzero perfettamente razionali, Crispy e Chewy, se ne vanno a spasso quando incontrano una volpe. Vedendoli così felici, la volpe decide che, anziché limitarsi a mangiarli, metterà alla prova la loro amicizia con un crudele dilemma. Chiederà a ciascuno di loro di scegliere se risparmiare o sacrificare l'altro. Gli omini possono discuterne, ma nessuno saprà cosa ha scelto l'altro finché le loro decisioni non saranno definitive.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
Se entrambi scelgono di risparmiarsi a vicenda, la volpe mangerà un arto a ciascuno. Se uno decide di risparmiare l'altro e l'altro decide di sacrificarlo, il primo sarà interamente divorato, mentre il traditore se la caverà senza perdere neppure un arto. Se, infine, entrambi scelgono di sacrificare l'altro, la volpe mangerà tre arti a ciascuno.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
Nella teoria dei giochi, questo scenario è noto come il "Dilemma del Prigioniero". Per capire come si comporteranno questi due omini perfettamente razionali, possiamo disegnare una tabella con l'esito delle diverse decisioni. Le righe indicano le scelte di Crispy, le colonne quelle di Chewy. I numeri scritti in ogni casella indicano l'esito delle loro decisioni, e cioè quanti arti restano a ciascuno dei due.
So do we expect their friendship to last the game?
Secondo voi la loro amicizia sopravviverà alla prova?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
Vediamo anzitutto le opzioni di Chewy. Se Crispy lo risparmia, Chewy può uscirne indenne sacrificando Crispy. Se invece Crispy lo sacrifica, Chewy può salvare un arto sacrificando a sua volta Crispy. Qualsiasi cosa decida Crispy, Chewy ottiene sempre l'esito migliore scegliendo di sacrificare il suo compagno. Lo stesso dicasi per Crispy.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
Questa è la classica conclusione del Dilemma del Prigioniero: i due personaggi si tradiranno a vicenda. Questa strategia di sacrificare il compagno senza riserve nella teoria dei giochi si chiama "equilibrio di Nash", nel senso che abbandonare questa strategia non conviene né all'uno né all'altro.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy e Chewy si comportano di conseguenza e la volpe se ne va tutta soddisfatta con la pancia piena di pan di zenzero, lasciando i due amici di un tempo a reggersi su una gamba sola.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
Di solito, la storia finisce qui, ma si dà il caso che ci sia un mago lì a guardare tutto questo pasticcio. Il mago dice a Crispy e Chewy che come punizione per il reciproco tradimento dovranno continuare ad affrontare questo dilemma per tutta la vita, ricominciando a ogni levar del sole con tutti e quattro gli arti. Che cosa succede ora?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
Questo è il Dilemma del Prigioniero ripetuto, ed è un vero e proprio cambio di gioco. Ora, infatti, gli omini di pan di zenzero possono usare le loro decisioni future come moneta di scambio per le decisioni del giorno concordando questa strategia: entrambi si impegneranno a risparmiarsi a vicenda ogni giorno. Se mai uno scegliesse di sacrificare l'altro, l'altro si vendicherà scegliendo "sacrificare" per l'eternità. Basterà per convincere questi poveri biscottini senzienti a mettersi d'accordo per collaborare?
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Per scoprirlo, dobbiamo tener conto di un altro elemento: probabilmente gli omini di pan di zenzero si preoccupano per il futuro meno che per il presente. In altre parole, potrebbero ridurre la preoccupazione per i propri arti nel futuro di una certa quantità, che chiameremo "delta". È un po' il concetto dell'inflazione che erode il valore del denaro. Se delta è pari a un mezzo, il giorno 1 gli omini attribuiscono agli arti del giorno 2 la metà del valore degli arti del giorno 1, a quelli del giorno 3 un quarto del valore del giorno 1, e così via.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Un delta pari a zero significa che non si preoccupano affatto dei propri arti nel futuro, per cui ripeteranno la scelta iniziale di sacrificarsi a vicenda all'infinito. Quando invece delta si avvicina a uno, faranno tutto il possibile per evitare l'eterna sofferenza della perdita dei tre arti, vale a dire che sceglieranno di risparmiarsi l'un l'altro. A un certo punto tra i due estremi, potrebbero scegliere l'una o l'altra cosa. Possiamo individuare questo punto scrivendo le due serie infinite che rappresentano ciascuna strategia, ponendole uguali tra loro e risolvendo in base a delta.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
Il risultato è un terzo, vale a dire che, finché i due si preoccupano per il domani almeno un terzo di quanto fanno per l'oggi, la soluzione ottimale è quella di risparmiarsi e collaborare per sempre.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Questa analisi non si applica solo ai biscotti e ai maghi; la vediamo all'opera in situazioni reali, come le trattative commerciali e la politica internazionale. I leader razionali devono capire che le decisioni che prendono oggi incideranno su quelle che prenderanno i loro avversari domani. L'egoismo può convenire nell'immediato, ma, con gli opportuni incentivi, la collaborazione pacifica non solo è possibile, ma è l'ideale, come dimostrato matematicamente.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Quanto agli omini di pan di zenzero, potranno anche avere un futuro zoppicante, ma, finché si sbilanceranno, la loro amicizia starà sempre in piedi.