Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Crispy y Chewy, dos hombrecitos de jengibre racionales, están paseando cuando, de repente, un zorro los atrapa. Los ve tan felices que, en vez de comérselos, decide que pondrá a prueba su amistad con un dilema cruel: preguntará a cada uno si salvaría o sacrificaría al otro. Pueden hablarlo, pero no saber qué ha elegido el otro hasta que cada uno por su cuenta haya tomado una decisión.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
Si ambos deciden salvar al otro, solo se comerá un miembro de cada uno, pero si uno decide salvar a su amigo y el otro, sacrificarlo, se comerá al que se haya salvado y el otro podrá huir intacto. En cambio, si ambos eligen el sacrificio, se comerá tres miembros de cada uno.
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
En la teoría de juegos, a este escenario se le llama el Dilema del Prisionero. Para imaginarnos cómo actuarán estos hombrecitos de jengibre racionales podemos hacer un esquema con los resultados de cada elección. Las filas representan las elecciones de Crispy, mientras que las columnas figuran las de Chewy. Por otra parte, los números de las casillas ilustran los resultados de cada decisión, que se cuantifican en función de los miembros que conservarían.
So do we expect their friendship to last the game?
La pregunta es: ¿triunfará la amistad en el juego?
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
En primer lugar, consideremos las opciones de Chewy. Si Crispy lo salva, Chewy escapará ileso porque Crispy se sacrificará, pero si su amigo lo sacrifica, Chewy conservará un miembro si también decide sacrificar a Crispy. Sea cual sea la decisión de Crispy, el mejor resultado para Chewy implica sacrificar a su amigo. Y las mismas opciones van para Crispy.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
Esta es la conclusión estándar del Dilema del Prisionero: los individuos se traicionarán mutuamente. La estrategia de sacrificar al compañero es lo que los teóricos del juego llaman el Equilibrio de Nasch, es decir, los individuos no obtendrán beneficios si se desvían de esta estretegia.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
Crispy y Chewy tomarán la misma decisión, y el zorro, por su parte, se atiborrará de pan de jengibre y los dejará con tan solo una pierna.
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
La historia normalmente terminaría aquí, pero resulta que un mago había presenciado los hechos y les dice a Crispy y a Chewy que, como castigo por su traición, estarían condenados a repetir el dilema de por vida y que cada día despertarían otra vez con todos los miembros. ¿Cuál es, ahora, la cuestión?
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
Es el Dilema del Prisionero Iterado, que cambia las reglas del juego porque los hombrecitos de jengibre recurrirán a las decisiones futuras para negociar las del presente. La estrategia sería la siguiente: cada día ambos decidirían salvar al otro. Si alguna vez alguno eligiese el sacrificio, el otro se vengaría eligiendo sacrificarlo toda la eternidad. ¿Sería esto suficiente para que estos pastelitos animados al fin se decidiesen a colaborar?
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Para resolverlo, hay que hacer otra apreciación: a los hombrecitos de jengibre probablemente les importa más el futuro que el presente. Dicho de otro modo, dividirán el valor que les dan a sus miembros del futuro por un número que llamaremos delta. Es como la inflación que erosiona el valor del dinero. Si delta es 1/2 , valorarán los miembros del día 2 la mitad de lo que valoran los del día 1; los del día 3, un cuarto de lo que valoran los del día 1, etc.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Si delta es 0, significa que no valoran nada en absoluto sus miembros futuros, con lo cual reiterarán su decisión inicial del sacrificio mutuo infinitamente. En cambio, si delta se aproxima a 1, harán todo lo posible por evitar el sufrimiento infinito de perder los 3 miembros, con lo cual elegirán salvarse el uno al otro. El cambio de opinión se producirá en un punto intermedio. Podemos hallarlo escribiendo las series infinitas que representan cada estrategia, configurándolas de igual manera y dividiéndolas por delta.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
El resultado es 1/3, es decir, que, como Crispy y Chewy se preocupan por el futuro al menos 1/3 de lo que se preocupan por el presente, es mejor que se salven y cooperen para siempre.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
Este análisis no solo es aplicable a galletas y hechiceros, sino también a situaciones reales como los intercambios comerciales y la política internacional. Los líderes deben asumir que las decisiones que tomen hoy condicionarán las que tomen sus adversarios mañana. El egoísmo puede imponerse en el corto plazo, pero con los incentivos adecuados, la cooperación pacífica no solo es posible, sino también matemáticamente ideal.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.
Tal vez la eternidad de los hombrecitos de jengibre estará hecha migas, pero mientras conserven una pierna, tendrán una amistad bien horneada.