Δύο απολύτως λογικοί μπισκοτάνθρωποι, ο Τραγανούλης και ο Λαστιχωτούλης, βολτάρουν χαλαρά όταν τους τσακώνει μια αλεπού. Βλέποντάς τους τόσο ευτυχισμένους αποφασίζει αντί απλώς να τους φάει, να δοκιμάσει τη φιλία τους, με ένα σκληρό δίλημμα. Θα ζητήσει από τον καθένα να επιλέξει αν θα σώσει ή αν θα θυσιάσει τον άλλο. Μπορούν να το συζητήσουν, αλλά δεν θα ξέρουν τι επέλεξε ο άλλος, μέχρι να κλειδώσουν οι αποφάσεις τους.
Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
Αν και οι δύο επιλέξουν να σώσουν τον άλλο,
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs;
η αλεπού θα φάει μόνο ένα άκρο από τον καθένα. Αν ο ένας επιλέξει να σώσει, ενώ ο άλλος να θυσιάσει τον άλλο, τότε ο θυσιασμένος θα φαγωθεί ολόκληρος, ενώ ο προδότης θα φύγει αρτιμελής. Τέλος, αν και οι δύο επιλέξουν να θυσιάσουν τον άλλο, τότε η αλεπού θα φάει τρία άκρα από τον καθένα.
if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each. In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.”
Στη Θεωρία των Παιγνίων, το σενάριο αυτό ονομάζεται:
«Το Δίλημμα Του Φυλακισμένου». Για να καταλάβουμε πώς θα αποφασίσουν αν σκεφτούν ορθολογικά θα κάνουμε ένα σχήμα με τα αποτελέσματα της κάθε απόφασης. Οι οριζόντιες σειρές απεικονίζουν τις επιλογές του Τραγανούλη, και οι στήλες του Λαστιχωτούλη. Οι αριθμοί σε κάθε κελί αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσματα των αποφάσεών τους. Δηλαδή τον αριθμό των άκρων με τον οποίο θα απομείνει ο καθένας.
To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep: So do we expect their friendship to last the game?
Θα δούμε, λοιπόν, αν η φιλία τους θα κρατήσει ως το τέλος του παιχνιδιού.
First, let’s consider Chewy’s options.
Κατ′ αρχάς, ας δούμε τις επιλογές του Λαστιχωτούλη. Αν ο Τραγανούλης τον σώσει, τότε θα φύγει αρτιμελής και θα θυσιάσει τον Τραγανούλη. Αν, όμως, ο Τραγανούλης τον θυσιάσει τότε μπορεί να κρατήσει ένα άκρο του αν θυσιάσει και αυτός τον Τραγανούλη. Ασχέτως του τι αποφασίσει ο Τραγανούλης, το βέλτιστο αποτέλεσμα είναι για τον Λαστιχωτούλη να επιλέξει να θυσιάσει τον σύντροφό του. Το ίδιο ισχύει και για τον Τραγανούλη.
If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy. This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma:
Αυτό είναι το πιο κοινό συμπέρασμα του Διλήμματος του Φυλακισμένου: οι δύο χαρακτήρες θα προδώσουν ο ένας τον άλλο. Η στρατηγική τους να θυσιάσουν, σε κάθε περίπτωση, τον σύντροφό τους ονομάζεται από τους θεωρητικούς των παιγνίων: «Ισορροπία Νας». Δηλαδή κανείς από τους δύο δεν μπορεί να κερδίσει αν παρεκκλίνει από αυτήν.
the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it. Crispy and Chewy act accordingly
Ο Τραγανούλης και ο Λαστιχωτούλης έπραξαν ανάλογα, και η πονηρή αλεπού έφυγε με το στομάχι γεμάτο με μπισκοτόψωμο, αφήνοντας τους δυο πρώην φίλους μόνο με ένα πόδι.
and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on. Normally, this is where the story would end,
Κανονικά, εδώ τελειώνει η ιστορία, αλλά έτυχε ένας μάγος να παρακολουθεί όλο αυτό το χάλι. Τους λέει, λοιπόν, ότι ως τιμωρία που πρόδωσε ο ένας τον άλλο, είναι αναγκασμένοι να επαναλαμβάνουν αυτό το δίλημμα για το υπόλοιπο της ζωής τους, ξεκινώντας αρτιμελείς κάθε πρωί. Τώρα τι γίνεται;
but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
Αυτό αποκαλείται: «Το Άπειρο Δίλημμα του Φυλακισμένου»,
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer.
το οποίο στην κυριολεξία αλλάζει το παιχνίδι, επειδή τα μπισκοτανθρωπάκια μας μπορούν τώρα να χρησιμοποιήσουν τις μελλοντικές τους αποφάσεις ως διαπραγματευτικά χαρτιά για το τι απόφαση θα πάρουν σήμερα. Σκεφτείτε αυτή τη στρατηγική: Και οι δύο συμφωνούν να σώζουν τον άλλο κάθε πρωί. Αν ο ένας κάποια στιγμή αποφασίζει να θυσιάσει τον άλλο, ο άλλος θα ανταποδώσει επιλέγοντας «θυσία» για το υπόλοιπο της αιωνιότητας. Είναι, λοιπόν, αρκετό αυτό ώστε να καταφέρουν τα ευαίσθητα αυτά αρτοσκευάσματα να συμφωνήσουν να συνεργαστούν;
That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate? To figure that out, we have to factor in another consideration:
Για να το βρούμε, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη έναν άλλο παράγοντα. Το κατά πόσο τα μπισκοτανθωπάκια νοιάζονται περισσότερο για το μέλλον τους, παρά για το παρόν τους. Με άλλα λόγια, μπορούν να μειώνουν το πόσο νοιάζονται για τα μελλοντικά τους άκρα, με έναν αριθμητικό παράγοντα που θα ονομάσουμε Δέλτα. Μοιάζει με την ιδέα του πληθωρισμού που διαβρώνει την αξία του χρήματος. Αν ο Δέλτα είναι 1/2, την πρώτη ημέρα ενδιαφέρονται για τα άκρα της δεύτερης ημέρας, κατά το 1/2 της πρώτης ημέρας. Για τα άκρα της τρίτης μέρας, κατά το 1/4 της πρώτης μέρας, κ.ο.κ.
the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
Αν ο Δέλτα είναι μηδέν σημαίνει
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all,
ότι δεν ενδιαφέρονται για τα μελλοντικά τους άκρα καθόλου
και θα επαναλαμβάνουν την αρχική επιλογή της αμοιβαίας θυσίας στο άπειρο. Καθώς όμως ο Δέλτα πλησιάζει το 1, θα κάνουν τα πάντα για να αποφύγουν το άπειρο κόψιψο τριών άκρων, πράγμα που σημαίνει ότι θα επιλέξουν να σώσει ο ένας τον άλλο. Κάποια στιγμή στο ενδιάμεσο θα μπορούσαν να πάνε προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Μπορούμε να βρούμε αυτό το σημείο γράφοντας την άπειρη σειρά της κάθε στρατηγικής, βάζοντάς τες ίσες μεταξύ τους και βρίσκοντας τον Δέλτα.
so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
Αυτό μας δίνει 1/3, που σημαίνει ότι όσο τα μπισκοτάκια μας
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow
ενδιαφέρονται για το αύριο τουλάχιστον κατά το 1/3 του σήμερα, το βέλτιστο γι′ αυτά είναι να σώζουν το ένα το άλλο, και να συνεργάζονται για πάντα.
at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever. This analysis isn’t unique to cookies and wizards;
Η ανάλυση αυτή δεν ισχύει μόνο για μπισκότα και μάγους. Ισχύει και στην πραγματική ζωή, όπως στις εμπορικές διαπραγματεύσεις και τη διεθνή πολιτική. Οι ορθολογικά σκεπτόμενοι ηγέτες πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τους ότι οι αποφάσεις που παίρνουν σήμερα θα επηρεάσουν τους αντιπάλους τους αύριο. Ο εγωισμός μπορεί να νικά βραχυπρόθεσμα, αλλά με τα κατάλληλα κίνητρα, η ειρηνική συνεργασία δεν είναι μόνο δυνατή, αλλά και αποδεδειγμένα μαθηματικά ιδανική.
we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal. As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby,
Όσον για τα μπισκοτανθρωπάκια μας, η αιωνιότητά τους μπορεί να είναι ψίχουλα, αλλά όσο μπορούν να τη γλιτώσουν με ένα πόδι, η φιλία τους θα έχει ψηθεί καλά.
but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.