رجلان من خبز الزنجبيل لبيبان جدًا، كريسبي وتشوي، يتجولان فيصطادهما ثعلب. لأنه رآهما مبتسمان، قرّر أنه بدلًا من أكلهما ببساطة، سيضع صداقتهما على المحك باختبارهما بمعضلةٍ صعبةٍ. سيسأل كل منهما إن كان مستعدًا لإطلاق أو التضحية بالآخر. يمكنهم أن يتناقشا، ولكن لن يعلم أيٌّ منهما قرار الآخر إلا بعد حسم أمرهما والإغلاق على جوابهما.
Two perfectly rational gingerbread men, Crispy and Chewy, are out strolling when they’re caught by a fox. Seeing how happy they are, he decides that, instead of simply eating them, he’ll put their friendship to the test with a cruel dilemma. He’ll ask each gingerbread man whether he’d opt to Spare or Sacrifice the other. They can discuss, but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.
إن اختارا إعفاء بعضهما سيأكل الثعلب أحد أطرافهما فقط: إن اختار أحدهما العفو والآخر التضحية، سيأكل المعفي عنه كله، بينما سينجو الخائن وأطرافه سليمة. وأخيرًا، إن اختار كلاهما التضحية، سيأكل ثلاثة أطراف من كل واحدٍ منهما.
If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs; if one chooses to spare while the other sacrifices, the sparer will be fully eaten, while the traitor will run away with all his limbs intact. Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.
في نظرية اللعبة، يدعى هذا السيناريو بـ "معضلة السجين." لمعرفة كيف سيتعامل هذان الرجلان الزنجبيليان بعقلانية تامة، يمكننا عرض المخرجات الناتجة عن كل قرار. تمثل الصفوف خيارات كريسبي والأعمدة تمثل خيارات تشوي. بينما تمثل الأرقام في كل خلية المخرجات الناتجة عن قراراتهما، حيث تقاس على عدد الأطراف التي سيحتفظ بها كلٌ منهما:
In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.” To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality, we can map the outcomes of each decision. The rows represent Crispy’s choices, and the columns are Chewy’s. Meanwhile, the numbers in each cell represent the outcomes of their decisions, as measured in the number of limbs each would keep:
إذن هل نتوقع أن تصمد صداقتهما في اللعبة؟
So do we expect their friendship to last the game?
أولًا، لنأخذ خيارات تشوي بالحسبان. إذا عفا كريسبي عنه، يستطيع تشوي النجاة مضحيًا بكريسبي. ولكن إن ضحى كريسبي به، يستطيع تشوي الاحتفاظ بطرفٍ واحد إن ضحى بكريسبي أيضًا. مهما كان قرار كريسبي، سيكون الناتج مفيدًا لتشوي من خلال اختياره بالتضحية برفيقه. وينطبق ذات الشيء على كريسبي.
First, let’s consider Chewy’s options. If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy. But if Crispy sacrifices him, Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy. No matter what Crispy decides, Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion. The same is true for Crispy.
هذا هو الاستنتاج العياري لمعضلة السجين: ستخون الشخصيتان بعضهما البعض. إن استراتيجيتهم بالتضحية برفيقهما بشكلٍ غير مشروط ما يطلق عليه واضعو نظريات اللعبة بـ "توازن ناش،" بمعنى أن لا أحد يستطيع الفوز بالانحراف عنه.
This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma: the two characters will betray one another. Their strategy to unconditionally sacrifice their companion is what game theorists call the “Nash Equilibrium," meaning that neither can gain by deviating from it.
يتصرف كلًا منهما على هذا الأساس ويركض الثعلب المكار بمعدة مليئة بخبز الزنجبيل، تاركًا الصديقين السابقين بقدمٍ واحدة.
Crispy and Chewy act accordingly and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread, leaving the two former friends with just one leg to stand on.
بشكلٍ طبيعي، هنا ستنتهي القصة، ولكن صادف أن هناك ساحرًا شهدَ الفوضى التي حدثت. يخبر كريسبي وتشوي بأنه كعقاب لخيانتهما بعضهما، سيكرران هذه المعضلة بقية حياتهما، مكتملي الأطراف عند شروق الشمس. والآن ما الذي يحدث؟
Normally, this is where the story would end, but a wizard happened to be watching the whole mess unfold. He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other, they’re doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives, starting with all four limbs at each sunrise. Now what happens?
هذا يدعى معضلة السجين اللانهائية، وهي مغير حقيقي للعبة. لأن رجلا الزنجبيل يستطيعان استخدام قراراتهما المستقبلية للمفاوضة على قرارتهما الحالية. ضع في اعتبارك هذه الاستراتيجية: يتفق كلاهما على إعفاء بعضهما البعض كل يوم. إذا اختار أحدهما التضحية بالآخر، سينتقم الآخر باختياره "التضحية" لأبد الآبدين. إذن هل هذا كافٍ لجعل هذين المخبوزين القليلي الإدراك للموافقة على التعاون؟
This is called an Infinite Prisoner’s Dilemma, and it’s a literal game changer. That’s because the gingerbread men can now use their future decisions as bargaining chips for the present ones. Consider this strategy: both agree to spare each other every day. If one ever chooses to sacrifice, the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity. So is that enough to get these poor sentient baked goods to agree to cooperate?
لاكتشاف ذلك علينا أن نأخذ بالحسبان اعتبارًا آخر: ربما يكترث رجلا الزنجبيل للمستقبل أكثر من الوقت الحاضر. بمعنى آخر، ربما يخفضان كم يهتمان لعدد أطرافهما المستقبلية بضعة أرقام، التي سنطلق عليها اسم دلتا. هذا مشابه لفكرة التضخم الجارف لقيمة المال. فإذا كانت دلتا تعادل النصف، في اليوم الأول سينخفض الاهتمام إلى النصف لعدد الأطراف في اليوم الثاني عن سابقه، وفي اليوم الثالث ستنخفض لربع الاهتمام عن اليوم الأول وهكذا دواليك.
To figure that out, we have to factor in another consideration: the gingerbread men probably care about the future less than they care about the present. In other words, they might discount how much they care about their future limbs by some number, which we’ll call delta. This is similar to the idea of inflation eroding the value of money. If delta is one half, on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs, day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.
قيمة تعادل الصفر للدلتا تعني أنهما لا يهتمان بأطرافهما المستقبلية أبدّا، لذلك سيكرران خيارهما الأساسي وهو التضحية المشتركة بشكل لا نهائي. ولكن باقتارب قيمة دلتا للواحد، سيقومان بكل ما يمكن لتفادي ألم خسارة الأطراف الثلاثة اللامتناهية، مما يعني أنهما سيعفوان عن بعضهما. وفي أي نقطة من الطريق يمكن أن يختارا أيًا من الاتجاهين. يمكننا اكتشاف أين تلك النقطة بكتابة السلسلة اللانهائية التي تمثل كل استراتيجية، مساوين المعادلات ببعضها، ونحل قيمة دلتا.
A delta of 0 means that they don’t care about their future limbs at all, so they’ll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly. But as delta approaches 1, they’ll do anything possible to avoid the pain of infinite triple limb consumption, which means they’ll choose to spare each other. At some point in between they could go either way. We can find out where that point is by writing the infinite series that represents each strategy, setting them equal to each other, and solving for delta.
هذا يؤدي لناتج قدره 1/3، ما يعني طالما أن كلًا من كريسبي وتشوي يهتما بالغد بمعدل 1/3 ما يعادل اليوم، فإعفاء أحدهما الآخر وتعاونهما أمرٌ حتمي للأبد.
That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow at least 1/3 as much as today, it’s optimal for them to spare and cooperate forever.
هذا التحليل لا يقتصر على المخبوزات والسحرة: ولكن نراه في الحياة الواقعية مثل المفاوضات التجارية والسياسات الدولية. يفترض القادة الحكماء بأن قراراتهم اليوم سوف تؤثر على خصومهم غدًا. ربما تربح الأنانية على المدى القصير، ولكن مع الحوافز المناسبة، التعاون السلمي ليس فقط ممكنًا، ولكن رياضيًا قابل للتطبيق ومثالي.
This analysis isn’t unique to cookies and wizards; we see it play out in real-life situations like trade negotiations and international politics. Rational leaders must assume that the decisions they make today will impact those of their adversaries tomorrow. Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives, peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.
أما بالنسبة لرجلي الزنجبيل قد تبدو الأبدية مليئة بالفتات لهما، ولكن طالما يخرجا بطرف، فصداقتهم لن تصبح نصف مطبوخة مرة أخرى.
As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby, but so long as they go out on a limb, their friendship will never again be half-baked.