In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity. Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How? Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms. But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key. Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on. Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" -- filling up only the infinite even-numbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job. Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number. So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room 128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc. Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique room-assignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus. Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on. Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number. The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What self-respecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary? But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the ever-diligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
1920'lerde, Alman matematikçi David Hilbert sonsuzluk kavramını anlamamızın ne kadar zor olduğunu bize göstermek için ünlü bir düşünce deneyi tasarladı. Sonsuz sayıda odası olan bir otel ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin. Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır. Otele bir adam girer ve bir oda ister. Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine ona bir oda açmaya karar verir. Nasıl mı? Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan 2 numaralı odaya taşınmasını, 2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder, ve böyle devam eder. Bütün konuklar "n" oda numarasından "n+1" oda numarasına taşınır. Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır. Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır. Bu işlem her sınırlı sayıda yeni müşteri için tekrarlanabilir. Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele oda isteyen 40 yeni kişi getirse, otelde olan bütün konuklar sadece "n" numaralı odadan "n+40" numaralı odaya taşınırlar, böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar. Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs sayısal olarak sonsuz yolcuyla oda tutmak için otele yanaşır. "Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir. Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır ama gece müdürü her yeni kişiyi yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder. 1 numaralı odadaki konuktan 2 numaralı odaya geçmesini rica eder. Sonra 2 numaralı odadaki konuktan 4 numaralı odaya geçmesini, 3 numaralı odadaki konuktan 6 numaraya geçmesini ister, ve böyle devam eder. Her mevcut konuk "n" numaralı odadan "2n" numaralı odaya taşınır, böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar. Bu sayede gece müdürü sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış ve bu odalara da sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir. Herkes mutludur ve otelin işleri de her zamankinden daha tıkırındadır. Yani, aslında tamamen her zamankiyle aynı miktarda kazanmaktadırlar, zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır. Bu inanılmaz otelin şanı yayılır. Uzaktan yakından insanlar akın eder. Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir. Gece müdürü dışarı bakar ve sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan sonsuz büyüklükte otobüslerden sonsuz bir sıra görür. Ne yapabilir? Eğer hepsine birer oda bulamazsa otel sonsuz miktarda para kaybedecektir ve kendisi kesin işini kaybedecektir. Neyse ki M.Ö. 300 yılı civarında Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtladığını hatırlıyordur. Sonsuz sayıda otobüs dolusu sonsuz sayıda yorgun yolcuya sonsuz sayıda yatak bulmak gibi neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için gece müdürü bütün mevcut konukları ilk asal sayı olan 2'nin mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir. Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini 2^7 numaralı odaya, yani 128 numaralı odaya gider. Sonra, gece müdürü sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları bir sonraki asal olan 3'ü otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir. Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi 3^7 numaralı odaya gider, yani 2,187 numaralı oda. Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder. İkinci otobüsteki yolcular bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir. Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine. Her otobüs bunu takip eder: 11'in üsleri, 13'ün üsleri, 17'nin üsleri, vs. Bu sayıların her biri çarpan olarak sadece 1 ve asal sayılarının doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için, çakışan hiçbir oda numarası yoktur.. Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle odalarına dağılır. Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki her yolcuyu ağırlayabilir. Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır Örneğin, 6 numaralı oda, çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir. Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil, yani işi güvende. Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi, Sonsuz Otel her ne kadar mantıksal bir kabus olsa da, sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor. Esas olarak, doğal sayıların sayılabilir sonsuzluğu bu, 1, 2 ,3, 4 ve devamı. Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir. Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için doğal sayılar kullanılır. Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık, örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk, sistematik olarak her sayıyı dahil edecek bir yöntemimiz olmadığı için bu yapılandırılmış stratejiler artık mümkün olmazdı. Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in bodrum katta negatif sayılı odaları, kesirli odaları vardır, yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir. Kök 2 veya pi gibi numaralı karekök odalarda konuklar ikram tatlı bekler. Hangi özsaygısı olan gece müdürü sonsuz bir maaşa rağmen orada çalışmak ister ki? Fakat asla boş odası olmayan ve her zaman yer bulabileceğiniz Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde, her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver gece müdürünün karşılaştığı durumlar bize nispeten sonlu akıllarımızın sonsuzluk kadar büyük bir kavramı anlamasının ne kadar zor olduğunu hatırlatır. Belki de güzel bir uykudan sonra bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz. Ama doğrusu, sabahın 2'sinde odanızı değiştirmemiz gerekebilir.