In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity. Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How? Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms. But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key. Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on. Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" -- filling up only the infinite even-numbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job. Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number. So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room 128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc. Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique room-assignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus. Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on. Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number. The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What self-respecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary? But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the ever-diligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Dvadesetih godina 20. veka nemački matematičar Dejvid Hilbert smislio je čuveni misaoni eksperiment da bi nam pokazao kako je teško zamisliti pojam beskonačnosti. Zamislite hotel sa beskonačnim brojem soba i vrlo vrednim noćnim poslovođom. Jedne noći, Beskonačni hotel je dupke pun, ceo je popunjen beskonačnim brojem gostiju. Čovek ulazi u hotel i traži sobu. Ne želeći da ga odbije, noćni poslovođa odlučuje da mu napravi mesta. Kako? Lako. Zamoli gosta iz sobe broj 1 da se premesti u sobu broj 2, gosta iz sobe 2 da pređe u sobu 3 i tako dalje. Svaki gost prelazi iz sobe "n" u sobu "n+1". Pošto ima beskonačan broj soba, postoji nova soba za svakog postojećeg gosta. Time ostaje slobodna soba za novu mušteriju. Ovaj proces se može ponoviti za svaki konačan broj novih gostiju. Ako bi, na primer, autobus istovario 40 novih ljudi koji traže sobe, onda svaki postojeći gost samo pređe iz sobe broj "n" u sobu broj "n+40" i tako se otvori prvih 40 soba. Ali sada, beskonačno veliki autobus sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika pristaje pored hotela. Prebrojivo beskonačno je ključna stvar. Beskonačni autobus sa beskonačnim putnicima zbunjuje poslovođu u prvi mah, ali onda shvata da postoji način da smesti sve nove ljude. Zamoli gosta u sobi 1 da pređe u sobu 2. Onda zamoli gosta iz sobe 2 da pređe u sobu 4, gosta iz sobe 3 da pređe u sobu 6 i tako dalje. Svaki postojeći gost prelazi iz sobe broj "n" u sobu broj "2n" popunjavajući samo beskonačan broj parnih soba. Uradivši ovo, on je ispraznio sve neparne sobe kojih ima beskonačan broj, u koje su onda ušli ljudi koji su izašli iz beskonačnog autobusa. Svi su zadovoljni i hotel posluje bolje nego ikad. U stvari, posluje sa istom zaradom kao i uvek, inkasirajući beskonačan broj dolara svake noći. Priča o ovom neverovatnom hotelu se širi. Ljudi dolaze sa svih strana. Jedne noći, dešava se nezamislivo. Noćni poslovođa gleda napolje i vidi beskonačnu kolonu beskonačno velikih autobusa, svaki sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika. Šta može da uradi? Ako ne nađe sobe za njih hotel će izgubiti beskonačnu sumu novca, a on će sigurno izgubiti posao. Srećom, seti se da je oko 300. godine p.n.e Euklid dokazao da postoji beskonačan broj prostih brojeva. Da bi ispunio ovaj naizgled nemoguć zadatak da nađe beskonačan broj kreveta za beskonačne autobuse, pune umornih putnika u beskonačnom broju, noćni poslovođa dodeljuje svakom već postojećem gostu prvi prost broj, 2, stepenovan brojem njihove sobe. Tako gost iz sobe broj 7 odlazi u sobu broj 2^7 (2 na sedmi), a to je soba 128. Poslovođa zatim uzima ljude iz prvog od beskonačnih autobusa i dodeljuje im sobu broj: sledeći prost broj, 3, stepenovan brojem njihovog sedišta u autobusu. Tako osoba na sedištu broj 7 u prvom autobusu odlazi u sobu broj 3^7 to jest u sobu 2.187. To se nastavlja za ceo prvi autobus. Putnicima iz drugog autobusa se dodeljuju eksponenti sledećeg prostog broja, 5. Sledećem autobusu, eksponenti broja 7. Sledećim autobusima: eksponenti broja 11, eksponenti broja 13, broja 17 itd. Pošto svaki od ovih brojeva kao delioce ima samo 1 i prirodne brojeve eksponente prostog broja u osnovi, nema preklapanja brojeva soba. Svi putnici se raspoređuju po sobama koristeći jedinstvenu šemu dodeljivanja soba zasnovanu na jedinstvenim prostim brojevima. Na ovaj način noćni poslovođa može da smesti svakog putnika iz svakog autobusa. Mada, ostaće mnogo nepopunjenih soba, kao, na primer soba 6 jer 6 nije eksponent nijednog prostog broja. Srećom, njegovi šefovi nisu bili dobri iz matematike, tako da nije u opasnosti da izgubi posao. Strategije noćnog poslovođe su moguće jer, iako je Beskonačni hotel sigurno logistička noćna mora, on samo operiše sa najnižim nivoom beskonačnosti, uglavnom sa prebrojivom beskonačnošću prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4 itd. Georg Kantor je nazvao ovaj nivo beskonačnosti "alef-nula". Koristimo prirodne brojeve za brojeve soba, kao i za brojeve sedišta u autobusima. Ako bismo operisali sa višim nivoima beskonačnosti, kao što su oni realnih brojeva, ove strukturirane strategije ne bi više bile moguće jer nemamo načina da sistematski uključimo svaki broj. Beskonačni hotel realnih brojeva ima negativne brojeve soba u podrumu, sobe sa razlomcima, tako da čovek u sobi broj 1/2 uvek sumnja da je dobio manju sobu od osobe u sobi 1. Sobe sa kvadratnim korenom, kao soba "koren iz 2" i soba "pi", gde gosti očekuju besplatnu pitu. Koji poslovođa sa samopoštovanjem bi hteo da radi tu, čak i za beskonačnu platu? Ali u Hilbertovom Beskonačnom hotelu, gde nikad nema praznih soba i uvek ima mesta za još gostiju, scenarija sa kojima se suočava uvek marljivi i možda suviše gostoljubivi poslovođa služe da nas podsete na to kako je teško za naše relativno konačne umove da shvate tako veliki pojam kao što je beskonačnost. Možda možete da se pozabavite ovim problemima posle dobrog noćnog sna. Ali iskreno, možda ćete morati da promenite sobu u 2 sata noću.