In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity. Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How? Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms. But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key. Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on. Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" -- filling up only the infinite even-numbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job. Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number. So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room 128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc. Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique room-assignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus. Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on. Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number. The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What self-respecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary? But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the ever-diligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Az 1920-as években David Hilbert német matematikus kitalált egy híres gondolatkísérletet, hogy megmutassa, milyen nehéz is befogadni az agyunknak a végtelen fogalmát. Képzelj el egy szállodát végtelen számú szobával és egy rátermett éjszakai recepcióssal. Egy éjjel éppen teltház van a Végtelen Szállóban: az összes szobát kiadták végtelen számú vendégnek. Egy férfi besétál a szállodába, és kér egy szobát. Ahelyett, hogy elküldené, a recepciós elhatározza, hogy helyet szorít neki. Igen, de hogy? Egyszerű: megkéri az 1-es számú szoba lakóját, hogy költözzön át a 2-es szobába, a 2-es szoba lakóját, hogy költözzön a 3-as szobába, és így tovább. Minden vendég átköltözik tehát az "n"-es számú szobából az "n+1"-es számú szobába. Mivel végtelen számú szoba van, akad új szoba minden eddigi vendég számára. Így aztán az 1-es szoba felszabadul az új vendégnek. Az eljárás megismételhető akárhány véges számú új vendég kedvéért. Ha mondjuk egy turistabusz hoz 40 embert, akinek szoba kell, akkor minden eddigi vendég egyszerűen átköltözik az "n"-es számú szobából az "n+40"-es szobába, és így felszabadul az első 40 szoba. Csakhogy most egy végtelenül nagy busz érkezik megszámlálhatóan végtelen számú utassal, és mindenki külön szobát akar. A megoldás kulcsa a megszámlálhatóság. A végtelen busz végtelen sok utasa egy pillanatra meghökkenti a recepcióst, de aztán rájön, hogy volna egy mód arra, hogy minden új vendég helyet kapjon. Megkéri az 1-es szoba lakóját, hogy költözzön át a 2-es szobába. A 2-es szoba lakóját megkéri, hogy költözzön a 4-es szobába, a 3-as szoba vendégét, hogy költözzön a 6-os szobába, és így tovább. Minden korábbi vendég átköltözik az "n"-edik számú szobából a "2n"-es számú szobába, miáltal csak a végtelen sok páros számú szoba lesz betöltve. Így tehát felszabadította a végtelen sok páratlan számú szoba mindegyikét, amelyeket aztán elfoglalhatnak azok, akik a végtelen buszról sorolnak befelé. Mindenki elégedett, és a szálloda forgalma jobb, mint valaha. Azazhogy a forgalom pontosan akkora, amekkora volt, végtelen sok dollárnyi bevételt hozva éjjelente. Terjed a híre a hihetetlen szállodának. Emberek özönlenek oda közelről-távolról. Egy éjjel aztán hihetetlen dolog történik. A recepciós kinéz az a szálloda elé, és látja: végtelen sorban állnak odakint a végtelen nagy buszok, mindegyiken megszámlálhatóan végtelen utassal. Mit lehet itt tenni? Ha nem talál helyet nekik, a szálloda elmaradt haszna végtelenül nagy lesz, ami az állásába fog kerülni. Szerencsére eszébe jut, hogy Kr. e. 300 körül Eukleidész bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám létezik. Így hát, a látszólag lehetetlen feladatnak, hogy végtelen sok szobát találjon végtelen sok busznyi végtelen sok fáradt utasnak, úgy tesz eleget a recepciós, hogy az addigi vendégeket átteszi az első prímszám, azaz a 2, annyiadik hatványának megfelelő számú szobába, amennyi az eredeti szobaszáma volt. Tehát az a vendég, aki eddig a 7-es szobában lakott, most átmegy a 2^7-es számú szobába, vagyis a 128-as szobába. Aztán a recepciós fogja azokat, akik az első végtelen busszal jöttek, és odaadja nekik azt a szobát, melynek száma a következő prímszám, azaz a 3, annyiadik hatványa, amennyi az utas ülésszáma volt a buszon. Tehát az a vendég, aki az első busz 7-es ülésén utazott, a 3^7-es számú szobát kapja, más szóval a 2178-as számú szobát. És így tovább, az első busz minden utasára. A második busz utasai a következő prímszám, az 5, hatványai szerint kapnak szobát. A következő buszé a 7 hatványai szerint. Aztán jön sorra a többi busz: 11 hatvánayi, 13 hatványai, 17 hatványai stb. Mivel ezeknek a számoknak a törzstényezős alakja csak az 1-et és az adott prímszám természetes kitevőjű hatványait tartalmazza, nincs átfedés a kiadott szobaszámokban. Az összes busz utasa elindulhat hát a maga szobájába az egyértelmű szoba-hozzárendelési séma szerint, mely egyedi prímszámokon alapul. Ily módon a recepciós elszállásolhatja az összes busz összes utasát. Emellett sok szoba még kihasználatlanul is marad, ahogy a 6-os szoba is, mivel a 6 nem hatványa egyik prímszámnak sem. Szerencsére a főnökség nem túl erős matekból, ezért az állás nincs veszélyben. A recepciós stratégiái csak azért működnek, mert a Végtelen Szálló, akármilyen logisztikai rémálom is, csak a legalacsonyabb szintű végtelenről kapta a nevét, tudniillik a megszámlálhatóan végtelenről, mely a természetes számok -- az 1, 2, 3, 4 és így tovább -- sajátja. Georg Cantor a végtelennek ezt a szintjét alef-nullnak nevezte el. A szobák számozására természetes számokat használunk, ahogy a buszülések számozására is. Ha magasabb rendű végtelennel akad dolgunk, mint a valós számoké, ezek a rendezett stratégiák már nem működnek, mert nem lehetséges szisztematikusan sorra keríteni minden számot. A Végtelen Szálló a Valós Számhoz épületében negatív szobaszámok vannak az alagsorban, vannak tört szobaszámok is, ezért az 1/2-es szoba lakója azt gyanítja, hogy fele akkora helyen szorong, mint az, aki az 1-est kapta. Vannak négyzetgyökös szobák, mint a gyök 2, és ott a pi szoba is, melynek lakói π-rítóst kapnak reggelire. Melyik magára adó recepciós szeretne ilyen helyen dolgozni akár végtelen nagy fizetésért is? De odaát a Hilbert-féle Végtelen Szállóban, ahol soha nincs üres szoba, de mégis akad hely az új vendégnek, azok a helyzetek, amelyeket kezelnie kell a szorgos de talán túlontúl vendégszerető recepciósnak, arra emlékeztetnek minket, milyen nehéz is viszonylag véges agyvelőnkkel felfogni akkora fogalmat, mint a végtelen. Segíthetnél esetleg te is a problémamegoldásban egy kiadós alvás után. Ha nem zavar, ha hajnali 2-kor átköltöztetünk egy másik szobába.