In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity. Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How? Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms. But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key. Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on. Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" -- filling up only the infinite even-numbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job. Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number. So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room 128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc. Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique room-assignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus. Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on. Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number. The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What self-respecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary? But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the ever-diligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
En la década de 1920, el matemático alemán David Hilbert creó un famoso ejercicio mental para mostrarnos lo difícil que es entender el concepto de infinito. Imaginen un hotel con una cantidad infinita de habitaciones y un gerente nocturno muy eficiente. Una noche, el Hotel Infinito está completamente lleno, totalmente ocupado con una cantidad infinita de huéspedes. Un hombre llega al hotel y pide una habitación. En vez de despacharlo, el gerente nocturno decide conseguirle una habitación. ¿Cómo? Fácil... le pide al huésped de la habitación núm. 1 que se pase a la habitación núm. 2, al huésped de la habitación núm. 2 a la habitación núm. 3, y así sucesivamente. Todos los huéspedes se mueven de la habitación número "n" a la habitación número "n+1". Como hay una cantidad infinita de habitaciones, hay una habitación para cada huésped. Esto deja la habitación núm. 1 vacía para el nuevo huésped. El proceso puede repetirse para cualquier número infinito de nuevos huéspedes. Si, digamos, llega un autobús con 40 nuevos huéspedes en busca de habitaciones, entonces todos los huéspedes alojados se pasan de la habitación número "n" a la habitación número "n+40", vaciando así las 40 primeras habitaciones. Pero ahora un autobús infinitamente largo con un infinito numerable de pasajeros llega para alquilar cuartos. Infinito numerable es la clave. Ahora, el bus infinito con cantidad de pasajeros infinita deja inicialmente atónito al gerente nocturno, pero este se da cuenta de que hay una forma de darle hospedaje a todos. Le pide al huésped de la habitación núm. 1 que se pase a la habitación núm. 2. Luego le pide al huésped de la habitación núm. 2 que se pase a la habitación núm. 4, al huésped de la habitación 3 que se pase a la habitación 6, y así sucesivamente. Todos los huéspedes se pasan de la habitación número "n" a la habitación número "2n", llenando únicamente las habitaciones con número infinitos pares. Al hacer esto, se han vaciado todas las habitaciones con números infinitos impares, que son ocupados por las personas que venían en el bus infinito. Todo el mundo está feliz y el negocio del hotel prospera más que nunca. Bueno, de hecho está prosperando exactamente de la misma forma que siempre, cobrando una suma infinita de dólares por noche. Se corre la voz sobre este hotel increíble. Viene gente de todas partes. Una noche ocurre lo más inesperado. El gerente nocturno mira hacia afuera y ve una cola infinita de buses infinitamente largos, todos con una cantidad numerable infinita de pasajeros. ¿Qué puede hacer? Si no puede conseguirles habitaciones el hotel perderá una cantidad infinita de dinero, y él ciertamente perderá el trabajo. Con suerte se acuerda que alrededor del año 300 a.C. Euclides demostró que hay una cantidad infinita de números primos. Así que para lograr lo que parece una tarea imposible de conseguir camas infinitas para los buses infinitos con una cantidad infinita de viajeros cansados, el gerente nocturno le asigna a todos los huéspedes existentes el primer número primo, 2, elevado al número de la habitación en la que están hospedados. Así que el huésped de la habitación 7 se pasa a la habitación 2^7, que es la habitación 128. El gerente nocturno toma a todas las personas en el primero de los buses infinitos y le asigna las habitaciones del próximo número primo, 3, elevado al número correspondiente a sus asientos en el bus. Así que la persona del asiento 7 del primer bus, se hospedará en la habitación 3^7 o la habitación 2187. Así continúa para todos en el primer bus. A los pasajeros del segundo bus se les asignan según los exponentes de 5, el próximo número primo. El siguiente bus, según los exponentes de 7. Así continúa con los buses que siguen: según los exponentes de 11, los exponentes de 13, los exponentes de 17, etc. Como cada uno de estos números solo tienen el 1 y números naturales como exponentes de estos números primos que funcionan como base, no hay una superposición en los números. A todos los pasajeros de los buses se les asigna una habitación empleando un sistema de asignación único, basados en números primos únicos. De esta forma, el gerente nocturno puede alojar a todos los pasajeros en todos los buses. Sin embargo, habrá habitaciones que quedarán vacías, como la habitación 6, porque el 6 no es la potencia de ningún número primo. Con suerte sus jefes no eran muy buenos en matemáticas, así que su trabajo está asegurado. Las estrategias del gerente nocturno son solo posibles porque aunque el Hotel Infinito es ciertamente una pesadilla logística, solo tiene que lidiar con números infinitos bajos, principalmente, los infinitos contables de los números naturales, como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo. Georg Cantor denominó este nivel de infinito álef-cero. Usamos número naturales en las habitaciones, así como en los asientos de los buses. Si tuviésemos que lidiar con niveles de infinito más altos, como el de los números reales, estas estrategias estructuradas no serían posible porque no hay manera de que podamos incluir sistemáticamente todos los números. El Hotel Infinito de los Números Reales tendría habitaciones con números negativos en el sótano, habitaciones con fracciones, de modo que el huésped de la habitación 1/2 siempre sospechará que tiene menos espacio que el huésped en la habitación número 1. Habitaciones a la raíz cuadrada, como la habitación radical de 2, la habitación pi, donde los huéspedes esperan recibir postres gratis. ¿Qué gerente nocturno que se respete querría trabajar allí así sea por un salario infinito? Pero en el Hotel Infinito de Hilbert, donde nunca hay una vacante, y siempre hay más cuartos, los escenarios que enfrenta el siempre muy diligente y quizás demasiado hospitalario gerente nocturno nos sirve para recordarnos lo difícil que es para nuestras mentes relativamente finitas entender un concepto tan grande como el infinito. Quizás puedan ayudar a abordar estos problemas después de una buena noche de descanso. Aunque honestamente, quizás tengamos que cambiarlos de habitación a las 2 de la mañana.