Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
Liệu toán học có tồn tại nếu con người không xuất hiện hay không? Từ thời xa xưa, con người đã không ngừng tranh luận rằng toán học được tìm ra hay được tạo ra. Liệu ta đã tạo ra các khái niệm toán học để hiểu rõ về vũ trụ xung quanh, hay toán học chính là ngôn ngữ của chính vũ trụ, luôn hiện hữu dù ta có tìm ra sự thật về nó hay không? Những con số, hình học và phương trình có thật sự tồn tại, hay chỉ là đại điện cao cả của những lý thuyết lý tưởng? Sự tồn tại độc lập của toán học đã được chứng minh bởi những người xưa. Ở thế kỉ thứ 5, những người thời Pytago ở Hy Lạp tin rằng các con số vừa là thực thể sống vừa là nguyên lý vũ trụ. Họ gọi số 1 là "đơn tử", là chữ số tạo ra các con số khác và là nguồn gốc của mọi vật. Các con số là những thực thể chủ động trong tự nhiên. Plato cho rằng các khái niệm toán học là rõ ràng và tồn tại như vũ trụ vậy, dù chúng ta có biết đến nó hay không. Euclid, cha đẻ của hình học, tin rằng bản thân tự nhiên chính là sự hiện diện hữu hình của các quy tắc toán học. Những người khác lại cho rằng dù các con số có hiện diện hay không, những lý thuyết toán học hoàn toàn không hề hiện hữu. Giá trị đúng đắn của chúng nằm ở những quy định do con người tạo ra. Vì thế toán học là tư duy logic được phát minh bởi con người, và không hề xuất hiện tại nơi nào khác nằm ngoài suy nghĩ của con người, là ngôn ngữ của các mối quan hệ trừu tượng dựa trên xu hướng hoạt động của bộ não, dùng những xu hướng đó để tạo ra trật tự hữu ích từ những hỗn loạn. Một trong những người ủng hộ ý kiến này là Leopold Kronecker, một giáo sư toán học ở Đức vào thế kỉ thứ 19. Niềm tin của ông tóm gọn trong câu nói nổi tiểng: "Chúa tạo ra số tự nhiên, những việc còn lại là của con người". Vào thời nhà toán học David Hilbert còn sống, có một xu hướng xây dựng toán học như một công trình logic. Hilbert cố gắng biến toán học thành những câu thành ngữ, như Euclid đã làm với hình học. Ông và những người cùng ý định coi toán như một trò chơi triết học, chỉ một trò chơi mà thôi. Henri Poincaré, cha đẻ của hình học phi Euclid, tin rằng sự tồn tại của hình học phi Euclid giải quyết vấn đề liên quan đến hình học không gian của độ cong hyperbole và elip, chứng tỏ rằng hình học của Euclid, tồn tại lâu đời về hình học phẳng, không phải là một sự thật vũ trụ, mà chỉ là kết quả của việc sử dụng một số luật lệ trò chơi toán học. Nhưng vào năm 1960, người đạt giải Nobel Vật lý Eugene Wigner sáng tạo ra cụm từ "tính hiệu quả không lý giải được của toán học" đã làm tăng giá trị của ý kiến cho rằng toán học là có thật và được tìm ra bởi con người. Wigner chỉ ra rằng nhiều lý thuyết toán học được tạo ra mà không để miêu tả hiện tượng vật chất nào được chứng minh vài thập niên hay vài thể kỉ sau đó, trở thành cơ sở cần thiết để giải thích sự hoạt động của vũ trụ. Ví dụ như thuyết số học của nhà toán học người Anh Gottfried Hardy, người tự nhận không có thành quả nào của ông sẽ hữu ích trong việc giải thích các hiện tượng của thế giới đã giúp tạo nên mật mã học. Một công trình lý thuyết khác của ông được biết đến như Định luật Hardy trong di truyền học, đã giành giải Nobel. Và Fibonacci tình cờ phát hiện ra dãy số nổi tiếng khi nghiên cứu sự phát triển dân số ở thỏ. Loài người sau này tìm thấy dãy số này ở khắp nơi trong tự nhiên, từ sự sắp xếp hạt và cánh ở hoa hướng dương đến cấu trúc của quả dứa, thậm chí ở các nhánh của cuống phổi. Hay nghiên cứu về hình học phi Euclid của Bernhard Riemann vào những năm 1850 đã được Einstein sử dụng như hình mẫu cho thuyết tương đối ở thể kỉ sau đó. Một thành tựu lớn hơn là: lý thuyết nút được xây dựng vào khoảng năm 1771 dùng để miêu tả hình học vị trí được sử dụng vào cuối thể kỉ 20 để giải thích sự tháo xoắn của ADN trong quá trình nhân đôi. Nó thậm chí còn giải thích cho lý thuyết dây. Một số nhà toán học và khoa học có ảnh hưởng nhất trong lịch sử nhân loại đã không ngừng thán phục sự ảnh hưởng này một cách đầy ngạc nhiên. Vậy thì, toán học là một phát minh hay là một khám phá? Thành quả của con người hay sự thật của vũ trụ? Sản phẩm của con người hay sự sáng tạo đầy thần thánh của tự nhiên? Những câu hỏi này sâu xa đến mức nó đã biến cuộc tranh cãi thành vấn đề tâm linh. Câu trả lời có lẽ phụ thuộc vào khái niệm mà ta đang tìm hiểu, nhưng có thể nó sẽ nghe như công án thiền bị bóp méo vậy. Nếu có một số lượng cây trong rừng mà không có ai ở đó để đếm chúng, con số đó liệu có tồn tại?