Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
Существовала бы математика без людей? С древних времён люди горячо спорят, была ли математика открыта или изобретена. Создали ли мы математические концепции, чтобы легче понять мир, или математика — родной язык самой вселенной, существующий независимо от того, узнаем ли мы правду или нет? Действительно ли существуют числа, полигоны и уравнения, или это просто бесплотные отображения чего-то чисто теоретического? Идея независимого существования математики имеет давних приверженцев. Пифагорейцы в V веке в Греции считали числа и живыми существами, и универсальными принципами. Они считали число один — «монад» — источником всех остальных чисел и всего мира. Числа активно действовали в природе. Платон утверждал, что математические концепты реальны, как сама вселенная, независимо от наших знаний о них. Евклид, отец геометрии, считал, что сама природа была физическим проявлением математических законов. Другие считают, что даже если числа и могут существовать физически, то математические формулы — точно нет. Их значения истинности соответствуют правилам, созданным людьми. Таким образом, математика — изобретённое логическое упражнение, не существующее вне сознательного мышления человека, язык абстрактных соотношений, составленных по замеченным мозгом принципам, созданный, чтобы выделить из хаоса нужный, но искусственный порядок. Одним из сторонников такого мнения был Леопольд Кронекер, профессор математики, живший в XIX веке в Германии. Его убеждения заключаются в известном высказывании: «Бог создал натуральные числа; всё остальное — дело рук человека». Во времена математика Давида Гильберта было движение сделать математику логическим построением. Гильберт попытался аксиоматизировать всю математику, как Евклид сделал с геометрией. Он и другие, предпринявшие такую попытку, считали математику глубоко философской, но всё-таки игрой. Анри Пуанкаре, один из отцов неевклидовой геометрии, считал, что существование неевклидовой геометрии, занимающейся неодномерными плоскостями гиперболической и эллиптической кривизны, доказало, что евклидова геометрия, давняя геометрия простых плоскостей, была не универсальной истиной, а, скорее, результатом применения лишь одного набора правил игры. Но в 1960-м году Юджин Вигнер, нобелевский лауреат в физике, дал жизнь фразе «необъяснимая эффективность математики», серьёзно продвигая идею, что математика реальна и люди её открыли. Вигнер заметил, что многие чисто математические теории развивались в вакууме, часто не для описания каких-либо физических явлений, а через десятилетия и даже века оказались основаниями, необходимыми для объяснения механизмов работы вселенной. Например, теория чисел британского математика Годфри Харди, который хвалился тем, что ничто из этой работы никогда не принесёт пользы для описания каких-либо явлений в реальном мире, помогла в создании криптографии. Ещё одна из его чисто теоретических работ стала известной как закон Харди — Вайнберга в генетике и заслужила Нобелевскую премию. А Фибоначчи наткнулся на свою знаменитую последовательность, изучая рост идеализированной популяции кроликов. Позже человечество обнаружило эту последовательность в природе повсеместно: от семян подсолнечника и лепестков цветка до структуры ананаса и даже в разветвлении бронхов в лёгких. Или неевклидова работа Бернхарда Римана 1850-х годов, которую век спустя Эйнштейн использовал для модели общей теории относительности. Вот ещё больший скачок: математическая теория узлов, впервые разработанная в 1771 году для описания геометрии вложений, была использована в конце XX века для объяснения того, как молекула ДНК распутывается в процессе репликации. Возможно, она даже даст ключевое объяснение для теории струн. Некоторые самые влиятельные в истории человечества математики и учёные присоединились к этой дискуссии, часто неожиданными способами. Итак, математика — это изобретение или открытие? Искусственное построение или универсальная истина? Человеческое творение или природное, возможно, божественное? Это очень глубокие вопросы, и спор часто затрагивает духовность. Ответ может зависеть от конкретно обсуждаемого концепта, но иногда возникает чувство, что это — искажённый парадокс дзен. Если в лесу какое-то число деревьев, но их некому считать, существует ли это число?