Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
Existiria a matemática se não houvesse pessoas? Desde os tempos antigos que os homens discutem acaloradamente se a matemática foi descoberta ou inventada. Fomos nós que criámos os conceitos matemáticos para nos ajudarem a compreender o universo à nossa volta? Ou é a matemática a linguagem nativa do próprio universo, que existe, quer nós descubramos as suas verdades, quer não? Os números, os polígonos e as equações são de facto reais ou meras representações etéreas de qualquer ideal teórico? A realidade independente da matemática tem defensores antigos. Os pitagóricos da Grécia do século V acreditavam que os números eram entidades vivas e princípios universais. Chamavam ao número um, "a mónada", a geradora de todos os outros números e a origem de toda a criação. Os números eram agentes ativos na Natureza. Platão defendia que os conceitos matemáticos eram concretos e tão reais como o próprio universo, independentemente do nosso conhecimento deles. Euclides, o pai da geometria, acreditava que a própria Natureza era a manifestação física das leis matemáticas. Outros defendem que, embora os números possam existir ou não fisicamente, as afirmações matemáticas não existem. Os seus valores da verdade baseiam-se em regras criadas pelos homens. Portanto, a matemática é um exercício lógico inventado, sem existência fora do pensamento consciente da humanidade, uma linguagem de relações abstratas, baseadas em padrões construídos pelo cérebro, construída para ser usada nos padrões para inventar uma ordem útil mas artificial do caos. Um proponente deste tipo de ideia foi Leopold Kronecker, um professor de matemática na Alemanha do século XIX. A sua crença está resumida na sua conhecida declaração: "Deus criou os números naturais, tudo o resto é obra do homem". Durante a vida do matemático David Hilbert, houve uma tendência para instituir a matemática como uma construção lógica. Hilbert tentou axiomatizar toda a matemática, tal como Euclides tinha feito com a geometria. Ele e outros, que tentaram isso, viam a matemática como um jogo profundamente filosófico mas, de qualquer modo, um jogo. Henri Poincaré, um dos pais da geometria não euclidiana, achava que a existência da geometria não euclidiana, que tratava das superfícies não planas das curvas hiperbólicas e elípticas, provava que a geometria de Euclides, a geometria tão antiga das superfícies planas, não era uma verdade universal, mas o resultado de utilizar um determinado conjunto de regras do jogo. Mas, em 1960, Eugene Wigner, o prémio Nobel da Física, consagrou a frase, "a eficácia absurda da matemática", fortalecendo a ideia de que a matemática é real e foi descoberta pelas pessoas. Wigner assinalou que muitas teorias puramente matemáticas desenvolvidas num vácuo, muitas vezes sem pensarem em descrever quaisquer fenómenos físicos, provaram, décadas ou séculos depois, que eram a moldura necessária para explicar como o universo tem vindo sempre a funcionar. Por exemplo, a teoria dos números do matemático britânico Godfrey Hardy, que se gabou de que nada do seu trabalho seria alguma vez considerado útil na descrição de quaisquer fenómenos do mundo real, ajudou a instituir a criptografia. Outra parte do seu trabalho puramente teórico ficou conhecido como a lei da genética Hardy-Weinberg e ganhou um prémio Nobel. Fibonacci encontrou a sua famosa sequência quando observava o crescimento duma população idealizada de coelhos. Mais tarde, a Humanidade encontrou esta sequência na Natureza, desde as sementes dos girassóis e os arranjos das pétalas das flores, à estrutura de um ananás, e mesmo à ramificação dos brônquios nos pulmões. Ou há o trabalho não euclidiano de Bernhard Riemann na década de 1850, que Einstein usou no modelo para a relatividade geral, um século mais tarde. Este é um salto ainda maior: a teoria matemática dos nós, desenvolvida pela primeira vez por volta de 1771 para descrever a geometria da posição, foi usada no final do século XX para explicar como o ADN se desemaranha durante o processo de reprodução. Até pode fornecer explicações fundamentais para a teoria das cordas. Alguns dos mais influentes matemáticos e cientistas de toda a História Humana, também concordaram sobre esta questão, muitas vezes de forma surpreendente. Então, a matemática é uma invenção ou uma descoberta? Uma construção artificial ou uma verdade universal? Um produto humano ou uma criação natural, possivelmente divina? Estas questões são tão profundas que o debate, por vezes, torna-se espiritual por natureza. A resposta pode depender do conceito específico com que é encarado, mas pode parecer uma narrativa "zen" distorcida. Se houver um certo número de árvores numa floresta, mas não houver ninguém para as contar,